专题04 轴对称图形 7大高频考点（期末真题汇编）八年级数学上学期新教材人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04轴对称图形 ☆7大高频考点概览 考点01轴对称图形及其性质 考点02线段垂直平分线 考点03画轴对称图形 考点04等腰三角形 考点05等边三角形 考点06最短路径 考点07等腰三角形性质和判定的综合 考点01 轴对称图形及其性质 一、单选题 1.(24-25八年级上·甘肃武威期末)下列图形中，是轴对称图形的是() 2.(24-25八年级上·湖北襄阳·期末)下列四幅图案中，不是轴对称图形的是( ) 3.(25-26八年级上·全国·期末)下列图形中，属于轴对称图形的是（) D 4.(25-26八年级上·全国·期末)“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气 候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒 种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（)· 1/32 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 5.(24-25八年级上·江苏无锡·期末)已知△ABC与△A'B'C分别在直线I的两侧且关于直线I对称，点A 与点、点B与点B,点C与点C都是关于直线I的对称点，下列线段被直线I垂直平分的是() A.AB' B.BB' C.BC D.AC' 6.(24-25八年级上·安徽合肥期末)如图，已知△ABC中△ACB为钝角，以边AC,BC所在直线为对称 轴作△ABC的对称图形△ACD和△BCE,线段BE与AD相交于点F,CE交AD于G,CD交BE于H,连接 CF.有如下结论：①若∠ACB=150°，则∠BFD=60°：②若∠ECD=90°，则∠ACB=150°；③CF平分 ∠AFB;④AF=CF+EF.其中错误的结论是()· B A.① B.② C.③ D.④ 7.(24-25八年级上福建泉州·期末)如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形ABED)关于AE所 在的直线对称，下列判断不正确的是（) A.AB=AD B.BC=CD C.BE=DE D.BC=AC 8.(24-25八年级上·全国·期末)社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A,B阅读交流，要使 A,B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在() 2/32 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 居民区A 居民区A 居民区B 下居民区B A. B. 街道 街道 C 居民区A 居民区B 居民区A C.街道 D 居民区B 街道h+ C 二、填空题 9.(2425八年级上全国期末)已知点4a-2与点(3，-)关于y轴对称，则0+b=一 10.(24-25八年级上·福建福州期末)如图，△ABC的面积为6，AB=5,AD平分∠BAC,若M,N分 别是AD,AC上的动点，则MN+CM的最小值为 A M D I1.(24-25八年级上福建期末)如图，在△ABC ∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10 ， 如果点D,E 分别为边BC,AB上的动点，那么AD+DE的最小值是· B 12.(24-25八年级上·全国·期末)如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D4, C的位置上，ED与BC交于G点，若∠EFG=56°，则∠AEG=一· 3/32 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D 13.(2425八年级下-山东聊城期末)如图，直线与直线相交，∠a=60°，点P在∠a内.用下面的 方法作P的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作尸关于的对称点，然 后再以为对称轴作B关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点“，如此继续，得到一系 列点，B,乃，B,…,P,若与P重合，则”的最小值为 ●P 三、解答题 14.(24-25八年级上广西柳州·期末)实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片ABC,点M,N分别是边AC, BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC,点C的对应点为点D. D- 2 D N 图1 图2 图3 (I)若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠I与∠ACB的数量关系是 (2)若如图2所示，点D在△ABC内部，∠ACB=35°，求∠1+∠2的度数： (3)若如图3所示，点D在△ABC外部，则∠1，∠2和∠ACB之间有怎样的数量关系？请证明. 4/32 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 15.(24-25八年级上·河北邢台·期末)综合与实践课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角 的平分线的方法， 小惠说：我用两个全等三角形（△ABC≌△DEF)可以画角的平分线. 作法如下：如图1 ①将两三角形的顶点B,E重合，点F在边AB上，点C在边BD上： ②AC与DF交于点P,连接BP,射线BP即为∠ABD的平分线 M B(E) 图1 图2 (1)图1的阴影部分（填“是”或“不是”）轴对称图形： (2)求证：BP平分∠ABD; (3)小旭看了小惠的作法并认真思考后，他认为只要利用有刻度的直尺，就能画出任意锐角的平分线.请你 和小旭一样，利用小惠的思路，通过有刻度的直尺，在图2中作出∠MON的平分线OK,并简述画图的过 程 16.(24-25八年级下·广东深圳期末)【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初 中数学的学习.在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立 几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧.定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个 无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形 D C B-- 图1 图2 图3 (I)操作发现：如图I,将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH,若△ABC的面积为12.BC=6, 则此完美长方形EFGH的边长FG=,面积为_. (2)类比探究：如图2，将口ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG,若口ABCD的面积为20，BC=5, 求完美长方形AEFG的周长. 5/32 命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (3)拓展延伸：如图3，将口ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH,若EF:EH=5:12,AD=26,则 长方形EFGH的周长为_，口ABCD的面积为_. 考点02 线段垂直平分线 一、 单选题 1.(24-25八年级上云南保山：期末)如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于24B的长为半 径画弧，两弧相交于点M,点N,过这两个点作直线MN,交BC于点D,连接AD.若BC=7,CD=3, 则AD的长为() A.6 B.5 C.4 D.3 2.(24-25八年级上·安徽滁州期末)如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E,交BC 于点D,若CB=10,AC=6,则△ACD的周长为() E A.14 B.16 C.18 D.20 3.(24-25八年级上山东日照期末)下列命题中，逆命题成立的有() ①同旁内角互补，两直线平行：②如果两个角是直角，那么它们相等：③全等三角形的对应边相等：④ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6/32 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25八年级上·江苏常州期末)如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3Cm,△ABD的 周长为l3cm,则△ABC的周长为_cm. 5.(24-25八年级上江苏南京·期末)命题“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的 逆命题可表述为一 6.(24-25八年级上：山西晋中·期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直 平分线EF分别交AB、AC于点E、F.若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点.则△BDM 的周长的最小值为—一 B 三、解答题 7.(24-25八年级上·湖北十堰期末)电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射塔P 到两城镇A,B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位 置.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）、 m B A n 8.(24-25八年级下·湖南长沙期末)如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB, BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. 7/32 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (I)求证：点P在线段BC的垂直平分线上； (2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角 相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键， 目目 考点03 画轴对称图形 一、单选题 1.(24-25八年级上·山东临沂·期末)时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（) 15:50 A.12:20 B.02:21 C.15:50 D.05:51 2.(24-25八年级上·湖北荆州期末)某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽 车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为() 2Qe∂☑ A.E9362 B.E9365 C.E6395 D.E6392 3.(24-25八年级上江西景德镇·期末)如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一 个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法() A.1种 B.3种 C.5种 D.7种 8/32 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25八年级上浙江绍兴·期末)如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形 的是() A B. 5.(24-25八年级上山东烟台期末)如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在 这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形，则符合条件 的不同的画法有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 二、解答题 6.(24-25八年级上·全国期末)指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴。 7.(24-25八年级上·江苏期末)如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形 9/32 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B (I)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l: (2)结合所画图形，在直线I上画出点P,使PA+PC最小. 8.(24-25八年级上·甘肃武威期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A(0,5八B(-3,2)C(-1,1). (①)画出△ABC关于y轴对称 △MB,G,并写出的坐标： B 2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后 △AB,C,写出2的坐标 B 9.(24-25八年级上·吉林期末)在3×3的正方形网格图中，有△ABC和△DEF,三角形的顶点都在格点 上，且△ABC和aDEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的△DEF. B B A B 10.（24-25八年级上辽宁期末)如图，在平面直角坐标系中，△1BC三个顶点的坐标分别是4L,2), B(5,5)C(7,2 10/32 专题04 轴对称图形 7大高频考点概览 考点01轴对称图形及其性质 考点02线段垂直平分线 考点03画轴对称图形 考点04等腰三角形 考点05等边三角形 考点06最短路径 考点07等腰三角形性质和判定的综合 地 城 考点01 轴对称图形及其性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列四幅图案中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，对各项进行判断找出不是轴对称图形即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意． B、是轴对称图形，故本选项不符合题意． C、是轴对称图形，故本选项不符合题意． D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形． 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】由题知A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D. 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质即可得线段、、都被直线垂直平分，进而可得答案． 【详解】解：∵点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点， ∴线段、、都被直线垂直平分． 故选：B． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， ①若，则， ∴， ∴，故①正确； ②若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；，故③正确； 在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故④错误； 故选：D． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形关于所在的直线对称，且点为上一点， ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； 而与不一定相等，故D选项不一定正确，符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级上·全国·期末）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期末）已知点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题考查对称点的特点，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，，进而可得a、b的值，然后可得的值． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·福建·期末）如图，在中，．如果点D，E分别为边上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对称的性质，作点A关于的对称点，作点，交于点D．则，所以．即的最小值为． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D． 则， ∴． 即的最小值为． ∵， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，的位置上，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用平行线的性质和折叠的性质求角度，准确计算是解题的关键． 先根据长方形对边平行得出度数，再依据折叠的性质得出的度数，进而求出的度数，最后根据平角为求出的度数． 【详解】由题意可得：， ， 由折叠可得：， ， ． 故答案是． 13．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点在内．用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，如此继续，得到一系列点，，，，，若与重合，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故答案为：6． 三、解答题 14．（24-25八年级上·广西柳州·期末）实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______； (2)若如图所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质可得出数量关系． （2）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相加即可求解． （3）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相减即可证明其数量关系． 【详解】（1）解：∵点D恰好在上， ∴C，D，N三点在一条直线上， ∴， 由折叠可知，，， ∴， 故答案为：． （2）连接，如下图所示： 由折叠可知，， ， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3）． 证明：连接，如下图所示： 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·河北邢台·期末）综合与实践课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：我用两个全等三角形（）可以画角的平分线． 作法如下：如图1 ①将两三角形的顶点重合，点在边上，点在边上； ②与交于点，连接，射线即为的平分线． (1)图1的阴影部分 （填“是”或“不是”）轴对称图形； (2)求证：平分； (3)小旭看了小惠的作法并认真思考后，他认为只要利用有刻度的直尺，就能画出任意锐角的平分线．请你和小旭一样，利用小惠的思路，通过有刻度的直尺，在图2中作出的平分线，并简述画图的过程． 【答案】(1)是 (2)证明见详解 (3)作图及过程见详解 【分析】本题考查几何综合，涉及轴对称图形的识别、三角形全等的判定与性质、基本作图等知识，熟练掌握相关几何知识是解决问题的关键． （1）由轴对称图形定义直接判断即可得到答案； （2）由三角形全等的判断与性质求证即可得到答案； （3）由阅读材料，结合（2）的证明过程，作图求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 阴影部分关于直线轴对称， 故答案为：是； （2）证明：， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分； （3）解：如图所示： 作图过程是：用刻度尺作，连接与交于点， 射线即为的平分线． 16．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12．，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究：如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)拓展延伸：如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则长方形的周长为 ，的面积为 ． 【答案】(1)3；6 (2)13 (3)68， 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决此题的关键．   （1）由折叠可知点H是中点，，过点A作于M，根据三角形面积求的长，由，点H是中点可知是中位线，得到 进而求完美长方形面积； （2）根据折叠可知，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长； （3）由折叠可证点E，G分别是中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为26，设，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可． 【详解】（1）由折叠可知，， ∴，点H是中点 ∵ ∴ 即， 过点A作于M， ∵四边形是长方形 ∴ ∴ ∴H是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴完美长方形的面积为 故答案为：3，6 （2）由折叠可知 同理可知 ∴长方形的面积为         ∴长方形的周长为 （3）由折叠可证点E，G分别是的中点 ∴ 由题意知 ∴ ∴为平行四边形 ∴ 在中，设，则 由勾股定理得 ∴ ∴周长为：    面积为： 故答案为：68， 地 城 考点02 线段垂直平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南保山·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，则的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）下列命题中，逆命题成立的有（   ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了写出命题的逆命题，命题真假的判定，判断每个命题的逆命题是否正确，需先写出逆命题，再根据相关定理判断其真假． 【详解】解：①原命题：同旁内角互补，两直线平行． 逆命题：两直线平行，同旁内角互补． 根据平行线性质，两直线平行时同旁内角互补，逆命题成立． ②原命题：如果两个角是直角，那么它们相等． 逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角． 相等的角不一定是直角（如角），逆命题不成立． ③原命题：全等三角形的对应边相等． 逆命题：对应边相等的三角形全等． 根据全等三角形判定定理，三边对应相等的三角形全等，逆命题成立． ④原命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 逆命题：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据垂直平分线判定定理，逆命题成立． 综上，逆命题成立的为①、③、④，共3个， 故选C． 二、填空题 4．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）命题“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题可表述为 ． 【答案】有两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了逆命题，将原命题的题设和结论互换即可写出它的逆命题，找出原命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题可表述为与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由垂直平分线得到，推出的长为的最小值即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等腰三角形，点D为底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故答案为：11． 三、解答题 7．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 地 城 考点03 画轴对称图形 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可得题中图形在现实中的样子. 【详解】根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为 故选：C. 【点睛】本题考查了平面镜成像的特征，可以看成是数学里图形沿一条直线翻折后的变化. 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（    ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示，    一共有3种涂法， 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的应用．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图，选项B，C，D补上一个正方形，都能使它成为一个轴对称图形． 选项A补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形． 故选：A． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图在4×4的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形，则符合条件的不同的画法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查利用轴对称设计图案的知识，利用轴对称的性质找到对称轴，再画上相关网格即可． 【详解】根据轴对称图形可作如图所示： 共有4种画法， 故选：D． 2、 解答题 6．（24-25八年级上·全国·期末）指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可． 本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，有三个图形是轴对称图形，对称轴作图如下： 7．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （2）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 连接，利用网格图形作的垂直平分线，即正方形的对角线所在的直线， ∴直线即为对称轴； （2）解：如图所示，点即为所求； 连接，交直线于点， 根据轴对称的性质，， 根据两点之间线段最短得， 此时，此时的值最小． 8．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移8个单位，画出平移后的，写出的坐标； 【答案】(1)见解析，的坐标是； (2)见解析， 【分析】本题考查了图形的平移和翻折，熟练掌握利用平移变换与轴对称变换作图是解决本题的关键； （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，顺次连接得到，根据点的位置得到的坐标即可； （2）分别作出点A，B，C向右平移8个单位的对应点，顺次连接对应点得到，根据点的位置得到的坐标即可； 【详解】（1）解：作图如图， ∴为所作的图形，的坐标是； （2）作图如图， ∴为所作的图形，． 9．（24-25八年级上·吉林·期末）在的正方形网格图中，有和，三角形的顶点都在格点上，且和关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形．根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】解：如图，即为所求． 10．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析，，， (2)是，见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作图，再写出坐标即可； （2）先作出，再由轴对称的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所画， 由图可得：，，； （2）解：如图所示，为所画， 与成轴对称，直线即为所画． 地 城 考点04 等腰三角形 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东江门·期末）等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能组成三角形，这点非常重要，也是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况：当腰为4时，，不能组成三角形； 当腰为9时，，所以能构成三角形， 周长是：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质； 本题等腰三角形的一个角是，未指明是顶角还是底角，需要进行分类讨论；当的角是底角时，不满足三角形内角和定理，再分析的角是顶角时的情况，满足三角形内角和定理，然后即可求解 【详解】解：当的角是底角时，另一底角也为，不满足三角形内角和定理， 当的角是顶角时，底角的度数为， 故选：C 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比． 【详解】解：当为腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东河源·期末）若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】题目主要考查因式分解的应用，三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解题关键 根据平方差公式和提取公因式即可得，再由三角形三边关系得出，得，即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴，     ∴， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 故选：B． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，定理与逆定理的定义，正确记忆相关知识点是解题的关键；根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理与逆定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故该命题是假命题，A选项不符合题意； B．每个定理不一定有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故“对顶角相等”没有逆定理． 故该命题是假命题，B选项不符合题意； C．等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，故该命题是假命题，C选项不符合题意； D．因为等腰三角形的两个底角相等，故两个底角的和一定小于， 故每个底角都是小于的角， 即等腰三角形的底角一定是锐角，故该命题是真命题，D选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 7．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，解题的关键是正确理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．根据长方形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③正确，无法判断和是否相等． 【详解】解：根据长方形的性质和折叠可得： ，， 在和中， ∴，故③正确； ∴， ∴ 是等腰三角形，故①正确； 无法判断和是否相等，故②错误， 综上可知：①③正确，共2个． 故选：B． 8．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得平行，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据旋转的性质得出，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意可得，将绕点旋转得到， 故， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）若等腰三角形的一个角为，则顶角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分顶角为和底角为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①顶角为； ②当底角为时，顶角的度数为； 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据三角形内角和定理可得，根据线段垂直平分线的性质可知、，根据等边对等角可得、，根据角之间的关系可以得到． 【详解】解：在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为： ． 11．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，在等腰中，，将中的沿向下翻折，使点A落在点C处．若，则的长是 ．    【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的判断与性质、折叠的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由折叠的性质可知，再证明是等腰三角形即可得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ∵将中的沿向下翻折，使点A落在点C处， ， ， ∴， 故答案为：3． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，可证明得到，则可推出，同理可得；再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在五边形中，，，，连接，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的判定．先判定，进而得到，根据等腰三角形的性质即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ． 14．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角得，结合，故，，再运用对顶角相等得，结合有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可作答． （2）先设的长为，因为，得，由（1）得是等腰三角形，故，又因为，，即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 （2）解：设的长为， 则， ∵， ∴， 由（1）得是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 16．（24-25八年级上·安徽·期末）在中，于平分，且于，并与相交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）先根据角平分线的意义得出，再根据垂直的意义得，从而可利用证明； （2）先证明，再根据等边对等角得到结论； （3）先利用同角的余角相等证得，并证得，从而可利用证明； （4）先利用全等三角形的性质分别得到，，再利用三线合一证明，从而可得结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， 在与中， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ，， ， ，， ，， ， 在与中， ； （4）证明：， ， 又于， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质（），三线合一，同角的余角相等，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 17．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）． (1)请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形； (2)请求出甲图中各角的度数． 【答案】(1)丙图中除外的所有等腰三角形： (2)， 【分析】本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）根据等腰三角形的特征，可作出判断； （2）由等腰三角形的性质，可得，由折叠，得，，则，再在中利用三角形内角和定理列方程，求出的度数，即可解决问题． 【详解】（1）解：丙图中除外的所有等腰三角形：； （2）解：∵， ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故甲图中各角的度数分别为． 19．（24-25八年级上·北京·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时，那么___________ 度； (2)设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②图见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，再通过证明，得到，利用角的和差即可求解； （2）①根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，再通过证明，得到，最后利用角的和差即可得出结论；②先根据题意补全图形，根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，得到，再通过证明，得到，最后利用角的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）解：①，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ②补全图形如下： ，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 20．（24-25八年级上·广东河源·期末）△是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）证明，可得； （2）证明即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点使得与全等，理由如下： 连接，    ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点05 等边三角形 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③线段是的对称轴； ④线段AE是的角平分线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，关键是根据等边三角形的性质三线合一解答．根据等边三角形的性质、等腰三角形“三线合一”的性质、角平分线和对称轴的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， 故结论①②正确， ∵为等边三角形，， ∴所在直线是的对称轴， ∴“线段是的对称轴”不正确，故结论③错误； ∵为等边三角形，， ∴， ∴线段是的角平分线，故结论④正确． 故正确个数有3个． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，先证明，再根据全等三角形的性质和大角对大边进行判断． 【详解】解：①为等边三角形， ，． ， ， ， 无法判断，故①说法不正确； ②， ， 故②说法正确； ③，， ， 即， 故③说法正确； ④，， ， ． 综上所述，说法正确的为②③④， 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 【详解】解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 5．（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，准确分析判断是解题的关键；根据等边三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意； B、有两个角等于的三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、一条边上的高也是这条边的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故C符合题意； D、有一个外角等于的等腰三角形，则其相邻的内角为，有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故D不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． 由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ，， ∴，， ． 故选：A． 8．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选： 9．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线；根据等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线逐一判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；故A正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故D正确； ∴为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分； ∴；故B正确； 题中并没有说是的中点， ∴无法确定，故C错误； 故选：C． 10．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，证明是解题的关键． 根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断③． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； ， 和边上的高相等， 即点B到和边的距离相等， 平分，故③正确； 综上可知，正确的结论有3个， 故选：D． 二、解答题 11．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后由直角三角形的锐角互余得到，结合对顶角相等，即可根据等角对等边证得结论； （2）根据已知条件可知是等边三角形，进而得到，由30度角所对直角边等于斜边的一半得到，然后根据线段的和差运算即可求得的长，从而得到的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 12．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）证明， 得出即可； （2）先分别求出，，得出，根据等角对等边求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 14．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形 (3)125或140或110 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解： 由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； （3）解：由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15． （24-25八年级上·湖北襄阳·期末） 问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 【答案】问题初探：，理由见解析；类比再探：；方法迁移：；拓展创新：，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． （1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出； （2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出； （3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出； （4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）如图所示，过点作交于点， ， ， 在中， ， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图所示，过点作交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点06 最短路径 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建·期末）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南·期末）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题，熟练掌握轴对称最短路径中的“造桥选址问题”的方法是解题的关键．“造桥选址问题”是先利用平移的思想转化为常见的最值问题，再利用“两点之间线段最短”即可解决． 【详解】解：由于河岸是固定的，桥与河的两岸相互垂直 所以桥的长度是固定的， 因此当最小时，即最小， 将沿河岸垂直的方向平移，点移动到点，点移动到点， 则，， 则，其中点，位置固定， 则当点，，共线时，最短， 则最小， 故C选项符合题意， 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短． 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：由题意得：这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 7．（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)的面积为__________． (3)在轴上画一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析， (2)5.5 (3)见解析 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长方形的面积减去四周三个三角形的面积； （3）连接，与x轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，； （2）解：， 故答案为：5.5； （3）解：如图，连接与x轴交于P，则此时的值最小，点P即为所求． 9．（24-25八年级上·广东·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． （24-25八年级上·吉林·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 地 城 考点07 等腰三角形性质和判定的综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，先由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可得，据此证明得到，即可证明是等边三角形． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ， ． ． ， ． ． 是等边三角形． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，以，为底边，在外作等腰和等腰，使，点是边上的中点，连接并延长到，使，连接，． (1)求证：； (2)①小明发现：若，，则______°； ②小华发现：去掉条件“”，利用条件“”，也可以求出的度数．请根据小华的发现，求出的度数； (3)连接，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，② (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据证明，即可得到结论； （2）①由题意得到，设，，根据题意得到，由得到，根据计算即可得到答案； ②由题得，设，，得到，由得到，计算即可得到答案； （3）连接，先证明，得到，，再证明是等边三角形，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点D为BC边上的中点， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：①，， ， 设，， 根据题意得，， ，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 故答案为：； ② ， 设，， 根据题意得，， ，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ； （3）解： 理由如下：连接FG ∵ ∴， ， ， ∴ ∵，， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴是等边三角形 又∵， ∴， ∴ 设等边三角形边长为a，则， ∴ ∴ ∴， 即 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知，，且，满足，，点关于轴的对称点为． (1)求，的值和点的坐标； (2)如图1，点在的延长线上，点在边上，且，连接，若点为的中点，求证：； (3)如图2，若点在线段上，点在线段上，满足，试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识及利用非负性求值，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由非负性可求，的值，可求得点的坐标，再根据关于轴对称坐标的特征，即可求得点的坐标； （2）根据（1）中所求坐标，可知是等边三角形，过点作交于，可得也是等边三角形，利用垂直平分线的性质可得，，，可得（），从而得到，延长至，使得，连接，可得（），从而得到，，可证得（），即可证得； （3）在上截取，连接，在的延长线上截取，连接，由“”可证，可得由外角的性质可得，可得结论． 【详解】（1）解：∵，即 ∴，， ∴ ∵点关于轴的对称点为 ∴点的坐标为： （2）由（1）可知，，， ∴，，由勾股定理，得：， ∴是等边三角形，则， 过点作交于，可得也是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵点为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴ 在与中， ∴（）， 又∵ ∴， 延长至，使得，连接， 又∵点为的中点， ∴ 又∵ ∴（） ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 在与中， ∴（） ∴ （3），理由如下： 如图2，在上截取，连接，在的延长线上截取，连接， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知：如图所示，在ΔABC和ΔADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE,，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点, 连接AM,AN,MN． ⑴.求证：BE=CD ⑵.求证：ΔAMN是等腰三角形. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【详解】试题分析：（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AF为公共边，利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE=CD； （2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出ME=ND，由三角形ABE与三角形ACD全等，得到对应边AE=AD，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出三角形AME与三角形AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN，即三角形AMN为等腰三角形． 试题解析：⑴.∵ ∴ 即 在和中 ∴≌ ∴ ⑵.由≌知： 又∵分别为的中点，且 ∴ 在和中 ∴≌ ∴ 即是等腰三角形 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 6．（19-20八年级上·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．    （1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°； （2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE； （3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）25，105；（2）见解析；（3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°. 【分析】（1）利用邻补角的性质、等边对等角和三角形内角和定理解题即可； （2）利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AAS即可得出△ABD≌△DCE； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，在利用等腰三角形的性质和三角形的外角即可分别求出∠BDA. 【详解】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝105°，∠ADE＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝25°，∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE=25° ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝50°， ∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣25°＝105°， 故答案为：25，105； （2）∵∠B＝∠C＝50°， ∴∠DEC+∠EDC=180°﹣∠C＝130°， 又∵∠ADE＝50°， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE =130°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）． （3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°， ①当ED=EA时， ∴∠DAE＝∠EDA=50°， ∴∠BDA＝∠C＋DAE＝100°； ②当DA=DE时， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝65°， ∴∠BDA＝∠C＋DAE＝115°， ③当AD=AE时， ∠ADE=∠AED=50° ∵∠C=50° ∠AED是△EDC的外角 ∴∠AED＞∠C，与∠AED=50°矛盾 所以此时不成立； 综上所述：当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角的性质，掌握等边对等角、利用AAS判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 7．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况． (1)如图1，当点D是的中点时，点E恰为的中点，请写出线段之间的数量关系：________________； (2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)三角板绕点P旋转时，能否成为以为腰的等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)（或） (2)，理由见解析 (3)能成为以为腰的等腰三角形，的长为0或或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解． （1）根据三角形中位线定理和等腰三角形的性质求解即可． （2）连接 ，通过证明，得出，即可求解． （3）分两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：（或） 理由：根据题意可得， ∵点D是的中点，点E为的中点，点P是的中点， ∴， ∴（或） （2）解：． 理由如下：连接． ∵是等腰直角三角形，点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：能成为以为腰的等腰三角形， ， ， ∵点是斜边的中点， ， 当时，此时点 与点 重合，； 当在线段 上时，； 当在 的延长线上，； 综上，能成为以为腰的等腰三角形，的长为0或或． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，是等边三角形．是线段上任意一点（不与点重合），，且．连接，，． (1)求的度数； (2)若，判断线段与的数量关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，若，则________． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． （1）由等边三角形的性质，结合三角形全等的判定和性质，即可得的度数； （2）由平行线的判定和性质，结合等边三角形的性质，可得，从而可得，进而可得线段与的数量关系； （3）由线段与的数量关系，结合等边三角形的性质，即可得的长度． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴． （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是等边三角形，点在边上，交于点． (1)求证：； (2)如图2，点在上，是等边三角形，交于点，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，与的面积之比是，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识． （1）根据全等三角形的定义得到，由平行线的性质得到，即可证明是等边三角形，则，即可得到结论； （2）是等边三角形，是等边三角形，则，即可得到，即可证明； （3）连接，证明，则，由与的面积之比是得到，则与的面积之比是，设的面积为，则的面积为，设的面积为，则的面 积，得到的面积为，的面积为，则与的面积之比是，得到与的面积之比是，得到，即，，即可得到的值． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）连接， ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之比是， ∴， ∴与的面积之比是， 设的面积为，则的面积为，设的面积为，则的面积， ∴的面积为，的面积为， ∴与的面积之比是， ∴与的面积之比是， ∴，即 ∴ ∴ 10．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，，、相交于点． (1)求证； (2)过点作，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明； （2）利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：等边， ，， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为7． 11．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是等边三角形内一点，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)根据题意补全图形； (2)求的度数； (3)延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点是线段的中点，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质． （1）根据题意作图即可； （2）运用“”证明，根据全等三角形的对应边性质即可得证； （3）过点作的平行线，交的延长线于点，则．证明，进而得到，因此，从而，从而可证得，根据全等三角形的性质即可得到点D是线段的中点． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解：是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ． ． （3）解：点是线段的中点．理由如下： 过点作的平行线，交的延长线于点． 则． ，， ． ，， ． ． ， ． ， ， ． ， ． ， ∴点D是线段的中点． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是的中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D在线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点D在线段上时，；当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，根据等角对等边可得结论； （2）如图2，连接，证明和，即可得结论； （3）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上，根据线段的和与差可解答． 【详解】（1）证明：如图，∵等边中，点O是的中点， ∴，． ∵等边， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）证明：如图，连接． ∵和是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵点O是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①当点在线段上时，如图3，连接 ， ∵是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ， ， ； ②当点在线段上时，如图2， 由①知：， 由（2）知：， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如图4，连接， 由①知：， 由（2）知：， ， ． 13．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，连接． (1)如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若点为中点，求的值； (3)如图3，是内一点，且，连接，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) (3)70度 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，即可由定理得出结论； （2）由得到，从而证得，则，，由勾股定理得，再代入计算即可； （3）延长交于D，延长交于N，连接，先证明，得到，再证明，（三线合一），得到，然后证明，得到，从而得出，最后利用等腰三角形与三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ ∴， ∵点为中点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：延长交于D，延长交于N，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∵， ∴， ∴，（三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $