专题03 全等三角形 5大高频考点（期末真题汇编）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 全等三角形 5大高频考点概览 考点01全等三角形及其性质 考点02全等三角形的判定 考点03角的平分线 考点04全等模型与辅助线 考点05全等三角形性质和判定的综合 地 城 考点01 全等三角形及其性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据两个三角形全等，可知对应相等的两条边的夹角相等，从而求出的度数． 【详解】解：两个三角形全等， 对应相等的两条边的夹角相等， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ 又∵， ∴ 故选：C． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时，两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 5．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，利用全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，将阴影部分面积转化为只含一个未知数的表达式，从而确定所需条件． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴图中阴影部分的面积 ∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长， 故选B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 三、解答题 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】(1)厘米，（厘米） (2)，或， 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是行程问题的数量关系的运用及利用全等三角形的性质找到等量关系式． （1）根据路程=速度时间，即可得的长度，再根据，即可得的长度； （2）先表示出，，，分类讨论当和时的情况，再根据全等三角形对应边相等，列出等式，即可计算出对应的a和t的值． 【详解】（1）解：由题意得，（厘米）， （厘米）． （2）解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 地 城 考点02 全等三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据两个三角形全等，可知对应相等的两条边的夹角相等，从而求出的度数． 【详解】解：两个三角形全等， 对应相等的两条边的夹角相等， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ 又∵， ∴ 故选：C． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时，两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 5．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，利用全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，将阴影部分面积转化为只含一个未知数的表达式，从而确定所需条件． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴图中阴影部分的面积 ∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长， 故选B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 三、解答题 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】(1)厘米，（厘米） (2)，或， 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是行程问题的数量关系的运用及利用全等三角形的性质找到等量关系式． （1）根据路程=速度时间，即可得的长度，再根据，即可得的长度； （2）先表示出，，，分类讨论当和时的情况，再根据全等三角形对应边相等，列出等式，即可计算出对应的a和t的值． 【详解】（1）解：由题意得，（厘米）， （厘米）． （2）解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 地 城 考点03 角的平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，点P是的平分线上一点，于点E，已知，则点P到的距离是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，解题的关键是掌握该性质定理． 利用角平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵点P是的平分线上一点，， ∴点P到的距离等于点P到的距离，即等于的长度， ∴点P到的距离为4， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三条角平分线的性质， 根据角平分线的性质定理解答即可. 【详解】解：的三条角平分线交于一点，且这一交点到三角形三边的距离相等. 故选：B. 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图是尺规作的角平分线的痕迹，这样作角平分线的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图；根据作图得出符合全等三角形的判定定理，即可得出答案． 【详解】解：由作法得：， 在和中， ∵， ∴， ∴，即平分． 故选：A． 4．（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 ，角平分线的性质和定义，先由角平分线的性质可得，再证明得到，根据现有条件，无法证明垂直平分，即可解答． 【详解】解：平分，，， ，故A结论正确，不符合题意； 在和中， ， ， ，故C结论正确，不符合题意； ∴平分，故B结论正确，不符合题意 根据现有条件，无法证明垂直平分，即该结论不一定成立，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作于，于，于，由角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 点O是三条角平分线的交点， ， ∵， ， ， ． 故选：C 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 7．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．利用角平分线的性质，作辅助线构造全等三角形，通过全等三角形的对应边相等来求解的长度． 【详解】解：过点作于点． ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 当点在点左侧时，； 当点在点右侧时，． 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 9．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．作的角平分线，根据角平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，点P即为所求． ． 延长，过点P作于点H，于点G， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点、，，垂足分别为D，E，F点P是上的另一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据角平分线的性质，可以得到，，然后根据可以得到和全等，从而可以得到． 【详解】证明：是的平分线，，，垂足分别为、， ，，， 又， ， 在和中， ， ， ． 14．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则； （2）作于点H，于点J，由，，且，，得，则，所以点A在的平分线上，则平分． 【详解】（1）解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）证明：作于点H，于点J， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． 15．（24-25八年级上·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 地 城 考点04 全等模型和辅助线 一、填空题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，是的中线，点E是的中点，点F是延长线与的交点，若，则的长为 ． 【分析】本题考查了三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，过点作交于点，作交于点，过点作交于点，分别证明和得，，再证明四边形和是平行四边形，可得，从而得到． 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，过点作交于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 是的中线， 是的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ． 故答案为：4． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 二、解答题 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）如图所示： （2） 是边上中线， ， 在和中， ， ． （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 4．（24-25八年级上·广东·期末）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据中线的性质证得，再由对顶角相等的性质证得，结合，利用全等三角形的判定方法证得； （2）延长至点，使，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，再根据三角形的三边关系证得，计算求解即可； （3）延长至，使，连接，根据中线的性质，可证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证得，由全等三角形的性质得到，进而证得即可． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图： 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.      (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)相等，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质，由即可证明； （2）结论：，证明，可得结论． （3）证明，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中，    ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：相等． 理由：如图2中，    ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3中，结论：． 理由：延长到R，使得，连接．    ∵等边， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先根据线段中点的定义可得，再利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 7．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）. 【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答； （2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答； 【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合， ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线， ∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AFG和△AFE中，， ∴△AFG≌△AFE， ∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF； （2）EF＝DF−BE； 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'， ∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠E'AF， 在△AEF和△AE'F中，， ∴△AFE≌△AFE'（SAS）， ∴FE＝FE'， 又∵FE'＝DF−DE'， ∴EF＝DF−BE； 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 8．（24-25八年级上·云南文山·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 9．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 10．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标， （2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标， （3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， （3）延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 11．（24-25八年级上·辽宁·期末）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 地 城 考点05 全等三角形性质和判定的综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·陕西·期末）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据于点M，得，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：于点M，， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴. 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，，，证明，再结合，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证为等腰三角形； (2)若，为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由得到，由得到，利用直角三角形的性质和对顶角相等可得，即可得证； （2）取的中点，连接，由（1）得，利用三线合一性质得到，通过证明得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又， ， ， 为等腰三角形． （2）解：如图，取的中点，连接， 由（1）得，， 又点是的中点， ，， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， 的长为10． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期末）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 7．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，是的角平分线，是延长线上一点，交于，交于．求证：点到和的距离相等． 【答案】见详解 【分析】本题考查角平分线性质，平行的性质，掌握相关知识是解题关键．因为是的角平分线，且，可得，即平分，由角平分线性质即可证明题目． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴点到和的距离相等． 8．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 9．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键． （1）证明，结合已知条件即可证明； （2）证明，则，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ 10．（22-23八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用证得结论； （2）由（1）中结论可得到，则可证得结论． 【详解】（1）证明：，， 和为直角三角形， ， ， 即， 在和中， ； （2）证明：由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 11．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，直线l过点C． (1)当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． (2)当时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒． ①　　，当N在路径上时，　　．（用含t的代数式表示） ②当与全等时，求出t的值． 【答案】(1)证明见解答过程； (2)①；；②当与全等时，秒或5秒或秒 【分析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、折叠的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，利用定理证明； （2）①由折叠的性质可得出答案； ②动点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】（1）证明：∵直线l， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2）解：①由题意得，， 则， 根据题意得， 由折叠的性质可知，， ∴． 故答案为：；． ②由折叠的性质可知，， ∵，， ∴， ∴当时，与全等， 当点N沿路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点N沿路径运动时，， 解得，， 当点N沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点N沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 综上所述，当与全等时，秒或5秒或秒． 12．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，是等边三角形．是线段上任意一点（不与点重合），，且．连接，，． (1)求的度数； (2)若，判断线段与的数量关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，若，则________． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． （1）由等边三角形的性质，结合三角形全等的判定和性质，即可得的度数； （2）由平行线的判定和性质，结合等边三角形的性质，可得，从而可得，进而可得线段与的数量关系； （3）由线段与的数量关系，结合等边三角形的性质，即可得的长度． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴． （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，直线经过点C，于点D，于点E． (1)如图（1），当A、B两点在直线的同侧时，请直接写出线段、和的数量关系为_______； (2)如图（2），当A、B两点在直线的两侧时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），在（2）的条件下，点K在的延长线上，连接AK，使，连接，．若的面积为16，的面积为6，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)1 【分析】（1）由同角的余角相等可证得，然后利用即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）按照（1）的思路可证得，然后结合图形进行线段和差即可得解； （3）如图，过点K作交于点，先证得，，然后利用（2）的结论分别用含的线段表示出的面积，的面积，组成方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解： 理由：在中，， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：中，，，， ，， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点K作交于点， ， ∴四边形为长方形， ， ， ， ， ， 的面积为，的面积为6， ，， ，， 由（2）知，，， ，， ，， 由组成方程组得，（负值已舍）， 的长为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解方程组等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线解决此题的关键． 14．（19-20八年级上·湖北武汉·期末）已知，在中，，，，，垂足分别为点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点为的中点，连接，请判断的形状？并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】(1)根据垂直的定义及直角三角形中两个锐角互余得出角相等，再由全等三角形的判定和性质即可证明； (2)连接，根据等腰直角三角形的性质及斜边上的中线的性质得出，，，再由全等三角形的判定得出，，最后结合图形证明即可． 【详解】（1）解：证明：，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ，， ， 即； （2）是等腰直角三角形． 理由：如图2，连接． ， ， 点是中点， ， ， ， ． ， ， 且， ． 在和中， ，． 在和中， ． ， ， ，且， 是等腰直角三角形． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 15．（24-25·八年级上江苏·期末）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 16．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据平行线的性质得到，由此根据证明三角形全等； （2）根据三角形的全等的性质得到，由此求出的长． 【详解】（1）证明：∵． ∴ ∵ ∴； （2）∵， ∴， ∴，即， ∴． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． （3）解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，在和中，，，． (1)试说明：； (2)与相交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)50° 【分析】（1）根据SAS证△AOC≌△BOD，即可得证AC=BD； （2）由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，设AC与BO交于点M，根据180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP即可得出∠APB=50°． 【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， 即∠AOC=∠BOD， ∵OA=OB，OC=OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD； （2）解：如图，设AC与BO交于点M，则∠AMO=∠BMP， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC=∠OBD， ∴180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP， 即∠MPB=∠AOM=50°， ∴∠APB=50°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为9． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为9． 20．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，进而可得，即可得证； （2）连接，证明，得出，由，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，且，点E在边上，，垂足为F，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 21．（24-25八年级上·福建南平·期末）“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】 （1）；（2）成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证△AEF≌△AGF是解题的关键． （1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】证明：（1）在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：． （ 2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G．使．连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 22．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图1，在和中，，且，作射线，交于点． (1)当点在线段上． ①求证：； ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)和如图2放置时，请你直接判断（1）中①和②的结论是否仍然成立，并结合图1、图2计算：若，点A到的距离为2，求的长度； (3)如图3，点在边上，连接分别交于点，取中点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接．若，则__________． 【答案】(1)①见解析；②与垂直，理由见解析； (2)（1）中①和②结论仍然成立，理由见解析；的长度为或； (3)17 【分析】（1）根据图形及等式的性质得出，再由全等三角形的判定即可证明；②设与交于点O，由①得，再由对顶角相等及三角形内角和定理即可得出结果； （2）（1）中①和②结论仍然成立，设与交于点O，与交于点F，证明方法同（1）一致；然后对两个图分别作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可； （3）连接，根据等腰直角三角形的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质及勾股定理、等量代换求解即可得出结果． 【详解】（1）①证明∵， ∴， ∴， ∴；②如图1，    设与交于点O， 由①得：， ∵， ∴， ∴与垂直； （2）如图所示：    （1）中①和②结论仍然成立，理由如下： 设与交于点O，与交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴与垂直； 如图3，    当与的延长线相交于点P时，连接，作交于点F， ∴， ∴， 由上得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，    当线段与线段相交于点P时，连接，作交于点F， 同理得， ∴， ∴； 综上可得：的长度为或； （3）如图5所示：    连接， ∵，O是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：17． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中点的性质及勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线图形，综合运用这些知识点是解题关键． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE． （1）判断AD与BE是否相等，请说明理由； （2）如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长； （3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由． 【答案】（1）AD=BE；（2）PQ=2PN=2×3=6；（3）是定值，见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ=2PN，CM⊥AD，根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN=CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解； （3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变． 【详解】解：（1）AD=BE．理由如下： ∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°， ∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE； （2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N， ∵CP=CQ， ∴PQ=2PN， ∵△ABC是等边三角形，AM是中线， ∴CM⊥AD，CM=BC=×8=4， ∴CN=CM=4（全等三角形对应边上的高相等）， ∵CP=CQ=5， ∴PN=3， ∴PQ=2PN=2×3=6； （3）PQ的长为定值6． ∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等， ∴对应边AD、BE上的高线对应相等， ∴CN=CM=4是定值， ∴PQ的长是定值． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 24．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，为等边三角形，点B的横坐标为，过点B作交y轴于点C．          (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在上，连接，，使，设点P的横坐标为，线段的长为n，用含t的式子表示n； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点D，连接，，使，且，请直接写出此时t的值及点D的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，点坐标为或 【分析】（）过点作轴于点，则，然后由等边三角形的性质可得，故有，再根据所对直角边是斜边是斜边的一半即可求解； （）先证明，根据性质可得，再利用线段和差即可求解； （）延长交轴于点，连接，，先证明垂直平分，则有，故，即，当点三点共线时，有最小值，然后求出，，再证明是等边三角形，则，再通过等面积法得出，从而求出的值，由，且，得知点在轴上，且，再利用等腰三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点的横坐标为， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点 的横坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴，即， ∴当点三点共线时，如图，有最小值， ∴， ∴， 由上可知：，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∵， ∴点在轴上，且，如图， ∴， ∴， ∴， 同理：， 综上可知：，点坐标为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，​所对直角边是斜边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 5大高频考点概览 考点01全等三角形及其性质 考点02全等三角形的判定 考点03角的平分线 考点04全等模型与辅助线 考点05全等三角形性质和判定的综合 地 城 考点01 全等三角形及其性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 二、填空题 7．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 三、解答题 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 地 城 考点02 全等三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 二、填空题 7．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 三、解答题 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 地 城 考点03 角的平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，点P是的平分线上一点，于点E，已知，则点P到的距离是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图是尺规作的角平分线的痕迹，这样作角平分线的根据是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（  ） A． B．平分 C． D．垂直平分 5．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 7．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 9．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时， ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点、，，垂足分别为D，E，F点P是上的另一点，连接，．求证：． 14．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 15．（24-25八年级上·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 地 城 考点04 全等模型和辅助线 一、填空题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，是的中线，点E是的中点，点F是延长线与的交点，若，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    二、解答题 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 4．（24-25八年级上·广东·期末）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.      (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由. 6．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 7．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． 8．（24-25八年级上·云南文山·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 9．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 10．（2425八年级上·江苏南通·期末）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 11．（24-25八年级上·辽宁·期末）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 地 城 考点05 全等三角形性质和判定的综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·陕西·期末）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，．求证：． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证为等腰三角形； (2)若，为中点，求的长． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期末）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 6．（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 7．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，是的角平分线，是延长线上一点，交于，交于．求证：点到和的距离相等． 8．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 9．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 10．（22-23八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，． 求证： (1)； (2)． 11．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，直线l过点C． (1)当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． (2)当时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒． ①　　，当N在路径上时，　　．（用含t的代数式表示） ②当与全等时，求出t的值． 12．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，是等边三角形．是线段上任意一点（不与点重合），，且．连接，，． (1)求的度数； (2)若，判断线段与的数量关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，若，则________． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，直线经过点C，于点D，于点E． (1)如图（1），当A、B两点在直线的同侧时，请直接写出线段、和的数量关系为_______； (2)如图（2），当A、B两点在直线的两侧时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），在（2）的条件下，点K在的延长线上，连接AK，使，连接，．若的面积为16，的面积为6，求的长． 14．（19-20八年级上·湖北武汉·期末）已知，在中，，，，，垂足分别为点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点为的中点，连接，请判断的形状？并说明理由． 15．（24-25·八年级上江苏·期末）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 16．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 18．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，在和中，，，． (1)试说明：； (2)与相交于点，求的度数． 19．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 20．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 21．（24-25八年级上·福建南平·期末）“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 22．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图1，在和中，，且，作射线，交于点． (1)当点在线段上． ①求证：； ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)和如图2放置时，请你直接判断（1）中①和②的结论是否仍然成立，并结合图1、图2计算：若，点A到的距离为2，求的长度； (3)如图3，点在边上，连接分别交于点，取中点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接．若，则__________． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE． （1）判断AD与BE是否相等，请说明理由； （2）如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长； （3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由． 24．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，为等边三角形，点B的横坐标为，过点B作交y轴于点C．          (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在上，连接，，使，设点P的横坐标为，线段的长为n，用含t的式子表示n； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点D，连接，，使，且，请直接写出此时t的值及点D的坐标． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $