专题02 三角形 4大高频考点（期末真题汇编）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 三角形 3大高频考点概览 考点01三角形的概念 考点02与三角形有关的线段 考点03三角形的内角与外角 考点04双角平分线模型 地 城 考点01 三角形的概念 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 5．（24-25八年级上·山东德州·期末）若的三个内角之比是，则是（   ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（24-25八年级上·上海·期末）在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若△ABC的边长分别为a，b，c，且（a＋b－c）（a－c）＝0，则△ABC一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 8．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（24-25八年级上·新疆和田·期末）请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（24-25八年级上·全国·期末）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 与三角形的有关的线段 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（　　） A．5，12，13 B．5，7，12 C．5，7，7 D．4，5，8 3．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，将空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形的稳定性 4．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知两根小棒的长分别是，，若第三根小棒的长度是整数，且与两根小棒首尾顺次相接能构成三角形，则第三根小棒的最大长度是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）7条长度均为整数厘米的线段，满足，且这7条线段中的任意3条都不能组成三角形．若，则的可能取值是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 二、填空题 8．（20-21八年级上·广东惠州·期末）已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为 ． 9．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）已知a，b，c分别为三角形的三边长，化简得 ． 10．（24-25八年级上·浙江·期末）能使这三个数作为三角形三边长的整数m共有 个 11．（24-25八年级上·广东东莞·期末）若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是 ．（用“”连接） 12．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，，，．点在线段上运动，则线段长度的最小值是 ． 13．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是 ． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图所示，在中，点D、E、F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为 ．    16．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 17．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的 ． 18．（24-25八年级上·云南大理·期末）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 20．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 21．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 地 城 考点03 三角形的内角与外角 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，则的度数是    （   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）骑行是一种有氧运动，有助于增强心肺功能，也是一种锻炼身体和享受大自然美景的好方式．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．（24-25八年级上·河北·期末）如图，已知点是的内角平分线的交点，，则的度数是（　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北·期末）有两个形状如图所示的零件，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．小明测出其中一个零件的，小亮测出另一个零件的，，则（   ） A．只有小明测量的零件合格 B．只有小亮测量的零件合格 C．两个零件均合格 D．两个零件均不合格 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．含角的直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 10．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点，则 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，是的高线，为边上的一点，连接交于点，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 13．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 14．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 15．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 16．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 地 城 考点04 双角平分线模型 一、填空题 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，P是内一点．若平分，平分，，则的度数为 ． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点是内部的平分线上一点，连接，点是，平分线的交点，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数 ． 5．（24-25八年级上·河南·期末）如图，中，若，O为三条角平分线的交点，则 度． 6．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直角坐标系中，分别平分的内外角交于点，则 度． 8．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图，和分别是的内角和外角的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去……，若，则 ．（用含的式子表示） 10．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，分别平分分别平分，若，则 ． 11．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形 4大高频考点概览 考点01三角形的概念 考点02与三角形有关的线段 考点03三角形的内角与外角 考点04三角形的双角平分线模型 地 城 考点01 三角形的概念 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角的概念求出三角形的总数，再根据直角三角形和钝角三角形的个数，即可求解． 【详解】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角， ∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形， ∴有个锐角三角形， 故选：B． 5．（24-25八年级上·山东德州·期末）若的三个内角之比是，则是（   ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求出最大角的度数，进行判断即可． 【详解】解：由题意：， ∴的三个内角度数为，， ∴是等腰直角三角形， 故选：D． 6．（24-25八年级上·上海·期末）在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的定义，根据已知条件，熟练运用三角形内角和定理进行求解判定是解题的关键．根据已知条件，结合三角形内角和定理，如果有一个角是，则可确定为直角三角形． 【详解】解：①∵ ， ∴， ∵， ∴，故可确定为直角三角形； ②∵，， ∴， 解得： ， 则，故不能确定为直角三角形； ③， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ④∵，， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， 解得： ， 故不能确定为直角三角形． 综上，能确定为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若△ABC的边长分别为a，b，c，且（a＋b－c）（a－c）＝0，则△ABC一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据题意得出，即可进行判断． 【详解】∵（a＋b－c）（a－c）＝0， ∴△ABC一定是等腰三角形 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 8．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形的概念，利用三角形的高确定直角，再确定直角三角形即可． 【详解】∵是边上的高， ∴， ∴， ∴、、都是直角三角形， 图中的直角三角形共有3个， 故选：B． 9．（24-25八年级上·新疆和田·期末）请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【详解】解：有，，，，，共5个三角形． 故答案为：A． 10．（24-25八年级上·全国·期末）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 地 城 考点02 与三角形的有关的线段 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系定理．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】解：A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是的线段能组成三角形，故B符合题意； C、，长度是，，的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是，，的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（　　） A．5，12，13 B．5，7，12 C．5，7，7 D．4，5，8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两条短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．看哪个选项中两条较短的边的和不大于最大的边即可． 【详解】解：A． 由于，故 5，12，13是一个三角形的边长，不符合题意． B．由于，故5，7，12不是一个三角形的边长，符合题意． C．由于，故5，7，7是一个三角形的边长，不符合题意． D．由于，故4，5，8是一个三角形的边长，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，将空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性的特征是解题关键．根据三角形具有稳定性可得答案． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：D． 4．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知两根小棒的长分别是，，若第三根小棒的长度是整数，且与两根小棒首尾顺次相接能构成三角形，则第三根小棒的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 设第三根小棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根小棒的长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ， 第三根小棒的最大整数值是． 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）7条长度均为整数厘米的线段，满足，且这7条线段中的任意3条都不能组成三角形．若，则的可能取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，理解不能构成三角形的条件是解题的关键． 此题只需根据所有的线段都是整数，且满足，不能构成三角形，则前两个数之和小于或等于第三个数字，找到最小情况；再依次利用“后边的一个一定大于或等于前边的两个的和”确定各个数的值，从而做出判断． 【详解】解：由于不能构成三角形，那么前两个数之和小于或等于第三个数字， 而最小的，则最小情况如下：1，2，3，5，8，13，21满足条件， ∴若，则的取值的是13或14， 对比选项可知，只有13是的可能取值， 故选： C． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等，三角形的面积公式等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于，如图，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【详解】作于F，如图， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 二、填空题 8．（20-21八年级上·广东惠州·期末）已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为8，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当腰长为3时，不能构成三角形，不符合题意； ②当腰长为8时，，符合题意，此时周长为； 故答案为：19． 9．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）已知a，b，c分别为三角形的三边长，化简得 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系及化简绝对值是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c分别为三角形的三边长， ，， ，， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江·期末）能使这三个数作为三角形三边长的整数m共有 个 【答案】2 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式组的应用，理解题意，列出不等式是解题关键． 根据两边之和大于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， 解不等式④得： 解不等式⑤得： 解不等式⑥得： ∴， ∴整数m有3，4共2个， 故答案为：2 11．（24-25八年级上·广东东莞·期末）若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答，即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为2，6， ∴， 即该三角形第三边长a的取值范围是． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，，，．点在线段上运动，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知，当时，线段的长度最小，再根据三角形的面积求出的长即可求解，理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的长度最小，如图， ∵， ∴， 即， 解得， ∴线段长度的最小值是， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长交于点E，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图所示，在中，点D、E、F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查三角形的中线，解题关键是正确理解三角形中线的性质，熟练利用中线性质推出三角形面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴，， ∴， 又∵点是的中点 ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，   平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 17．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫作三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 18．（24-25八年级上·云南大理·期末）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 三、解答题 19．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 20．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【详解】（1）解：点即为所作； ； （2）解：线段即为所作； ． 21．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 地 城 考点03 三角形的内角与外角 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余．根据直角三角形的两个锐角互余，解答即可． 【详解】解：由题意得， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，则的度数是    （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是．先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据对顶角相等求出的度数即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）骑行是一种有氧运动，有助于增强心肺功能，也是一种锻炼身体和享受大自然美景的好方式．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理．掌握平行线的判定和性质，三角形内角和定理是解本题的关键． 根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ， ，， ， ， ，结论错误，本选项符合题意； D、若，， 则， ， ，结论正确，本选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北·期末）如图，已知点是的内角平分线的交点，，则的度数是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，熟记角平分线定义及三角形内角和定理是解决问题的关键．先由角平分线定义得到，，在中，由三角形内角和定理可得，从而得到，在中，再由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：平分、平分， ，， 在中，，则由三角形内角和定理可得， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故选：D． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 6．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 7．（24-25八年级上·河北·期末）有两个形状如图所示的零件，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．小明测出其中一个零件的，小亮测出另一个零件的，，则（   ） A．只有小明测量的零件合格 B．只有小亮测量的零件合格 C．两个零件均合格 D．两个零件均不合格 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，延长，相交于点E，是解题的关键； 延长，相交于点E，利用三角形内角和定理求出的大小，根据是否等于可判定结果． 【详解】解：如图，延长，相交于点E， 若，则， 满足所在直线和所在直线的夹角为，零件为合格零件； 若，， 则，， ， 不满足所在直线和所在直线的夹角为，零件为不合格零件； 故选：A． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．含角的直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握知识点的应用是解题关键． 由，设，，，再根据三角形的内角和定理得出，解得，然后求出各内角即可判断． 【详解】解：∵， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴这个三角形是含角的直角三角形， 故选：． 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，且当点E在线段上，或当点E在外时，过点C作，然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：E在线段上，过点C作，如下图： ， ， ， ，， ，， ∴， ； ， ，， 即 ； （2）点E在外时，过点C作，如下图： ， ， ，， ，， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 11．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点，则 ． 【答案】160 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和以及外角性质，先由三角形内角和得再结合角平分线的性质得，即，因为平分平分，则，即可作答． 【详解】在中，， 平分平分， ， 则， 平分平分， ， ， 故答案为：160． 三、解答题 12．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，是的高线，为边上的一点，连接交于点，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的外角，三角形的高，角平分线，掌握相关知识点是解题的关键． （1）先由外角的性质和对顶角的性质求得，再由三角形的高得到，即可求解； （2）由角平分线的定义得到，再由即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ． 是的高线， ， ， ； （2）平分， ． ， ． 13．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 14．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线定义求出，再结合垂直定义、以及三角形内角和求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意，结合图形，用、表示出，利用角平分线，表示出，仿照第（1）题，表示出，即可得到结果； （3）结合图形，用，表示出，利用角平分线，表示出，利用是的外角，表示出，同时也是的外角，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，得，，根据解答即可； （2）根据三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线证明即可； （3）根据（2）证明可以直接写出结论． 本题考查了三角形内角和定理应用，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，结合已知推出，于是问题得证； （2）根据是的一个外角得出，再根据角平分线的定义推出，再根据是的一个外角得出，从而推出与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由： ∵是的一个外角， ， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ， ． 地 城 考点04 双角平分线模型 一、填空题 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，P是内一点．若平分，平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得,即得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点是内部的平分线上一点，连接，点是，平分线的交点，若，则的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理、由角平分线的性质可证得，,据此求解的值即可． 【详解】解：点是，平分线的交点， ， 是的平分线 ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． 先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，掌握外角的性质是解题的关键；根据三角形的内角和定理、根据角平分线的定义可得即可求解． 【详解】解：， ， 两个外角的平分线交于点D， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南·期末）如图，中，若，O为三条角平分线的交点，则 度． 【答案】110 【分析】本题考查了角平分线的概念以及三角形的内角和定理．根据O为三条角平分线的交点，得SC；再根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：在中，∵， ∴， 又∵O为三条角平分线的交点， ∴， 在三角形中，． 故答案为：110． 6．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，角平分线的定义，则即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴ ∵两锐角的平分线，交于点F． ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直角坐标系中，分别平分的内外角交于点，则 度． 【答案】 【分析】先由外角性质、角平分线定义得到,即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， 平分， ， 平分， ， ， ，， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及外角性质、角平分线定义、邻补角定义、直角三角形两锐角互余、平面直角坐标系定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度关系求解是解决问题的关键． 8．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】此题考查了折叠的性质、与三角形内角和有关的角平分线问题等知识．根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质进一步求出 即可． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ，， ， 故答案为： 9．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图，和分别是的内角和外角的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去……，若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探究，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出 与 的规律是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得 ，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ， 又， ， ， 同理可得：， ……， 则， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，分别平分分别平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， 又∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 11．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $