专题06 分式 5大高频考点（期末真题汇编）八年级数学上学期新教材人教版

专题06 分式 5大高频考点概览 考点01分式及其基本性质 考点02分式的乘除 考点03分式的加减 考点04整数指数幂 考点05分式方程 地 城 考点01 分式及其基本性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列式子中是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京·期末）已知分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．0 C．1或 D． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 7．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 二、填空题 11．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）当 时，分式的值为0． 13．（24-25八年级上·吉林·期末）化简： ． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期末）约分： ． 三、解答题 15．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知分式，当满足下列条件时，确定m的取值． (1)当m为何值时，此分式无意义？ (2)当m为何整数时，此分式值为也为整数？ 16．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 地 城 考点02 分式的乘除 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算： ． 5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）计算 6．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算：＝ ． 7．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）计算： ． 8．（23-24八年级下·广东佛山·期末）陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”，过程如下： 整个游戏过程， 负责的那一步出现了错误； 三、解答题 9．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： 10．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算或化简，并根据算式后面的条件求值： (1)； (2) (3)，其中在一组未排序的数据7、9、6、、8、5中，已知这组数据的极差是6． (4)，其中是满足条件的合适的非负整数； 11．（24-25八年级上·山东临沂·期末）小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了千克商品，小颖两次购买商品均花费元，已知第一次购买该商品的价格为元千克，第二次购买该商品的价格为元千克，是整数且． (1)分别求小丽和小颖两次所购买商品的平均价格； (2)比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低． 地 城 考点03 分式的加减 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 6．（24-25八年级上·河南周口·期末）计算： ． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则 ． 8．（24-25八年级上·山东·期末）一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要 小时． 9．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）若都是正实数，且，求 ． 10．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·广东东莞·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，再从，0，，2中选一个合适的数代入求值． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期末）嘉琪在计算时把整式M抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的M比原来大． (1)求整式M； (2)计算正确的结果 15．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 16．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． (1)以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①，    ②，    ③； (2)已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 17．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 地 城 考点04 整数指数幂 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算的结果是（ ） A．5 B．3 C．4 D．2 4．（24-25八年级上·吉林·期末）在，0，，四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）计算的值 ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）化简的结果是 ． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）计算： ． 8．（24-25·八年级上·重庆·期末）计算： ． 9．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）用科学记数法表示 ． 10．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）1纳米米，则纳米用科学记数法表示为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）（1）计算：      （2）化简： 12．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）计算 (1) (2) 13．（24-25八年级下·四川内江·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值． 14．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）计算： (1) (2) 地 城 考点05 分式方程 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）嘉淇解方程的过程，下列判断正确的是（   ） 解：方程两边乘，得第一步 整理，得第二步 解得，所以原方程的解为第三步 A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．嘉淇解方程的过程正确 2．（24-25八年级上·广东中山·期末）解分式方程 时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为米/秒，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）某工程由甲工程队单独做天完成，乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先单独做3天，剩余的工程由甲、乙工程队合作10天完成，则下列所列的方程中错误的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）一组学生去春游，预计共需用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，设原来这组学生人数为x人，则有方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·全国·期末）若分式与分式的值相等，则 ． 8．（24-25八年级上·青海祁连·期末）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·全国·期末）当 时，关于的方程无解． 三、解答题 10．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) 11．（24-25八年级上·全国·期末）计算 (1) (2)解方程：． 12．（24-25八年级上·全国·期末）（1）化简：；     （2）解方程： 13．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 14．（24-25八年级上·全国·期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元． (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 16．（19-20八年级上·山东滨州·期末）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 试卷第1页，共3页 2 / 45 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【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：D 6．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 7．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，分式的性质：分子和分母同时乘以或者除以非0的数或整式，分式的值不变；根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是分式的性质，将负号提出不影响分式的值．利用分式的性质即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 9．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 二、填空题 11．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式的分母不为零列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为： 12．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，关键是注意分式的分母不能为零．当且时，此分式的值为0． 【详解】解：根据题意得：且， 解得，． 故答案为： 13．（24-25八年级上·吉林·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分．把分式的分子和分母因式分解，再化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期末）约分： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分．分式的分子分母同时约去公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知分式，当满足下列条件时，确定m的取值． (1)当m为何值时，此分式无意义？ (2)当m为何整数时，此分式值为也为整数？ 【答案】(1)当时，该分式无意义； (2)当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数． 【分析】本题考查了分式无意义和分式的值． （1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可； （2）根据题意分别令或或，求解即可． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义； （2）解：该分式的值为整数，且也为整数， 或或或， 解得或或或或或或或， 即当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数． 16．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 地 城 考点02 分式的乘除 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，先分别求出两者的速度，再求比值即可． 【详解】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分式的乘方运算，根据分式的性质，分式的乘方运算逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据分式乘法的运算法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，然后约分得到结果． 本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式乘法的运算法则（分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母）是解题的关键． 【详解】解： 5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）计算 【答案】 【分析】本题考查分式的乘法，利用乘法公式和分式的性质，约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算：＝ ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的乘除法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的除法运算，先把除法化为乘法运算，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·广东佛山·期末）陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”，过程如下： 整个游戏过程， 负责的那一步出现了错误； 【答案】乙、丁 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据题目中的各步，依据分式运算法则写出正确的解答过程，即可判断哪一步出错了． 【详解】解：，故甲正确； ，故乙错误； ，故丙正确； ，故丁错误； 故答案为：乙、丁． 三、解答题 9．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的除法、乘方运算． 先计算负整数指数幂和分式的乘方，再将除法化为乘法求解． 【详解】解： ． 10．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算或化简，并根据算式后面的条件求值： (1)； (2) (3)，其中在一组未排序的数据7、9、6、、8、5中，已知这组数据的极差是6． (4)，其中是满足条件的合适的非负整数； 【答案】(1) (2) (3)， (4)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先通分，再根据分式的加减运算法则计算即可得解； （2）根据分式的乘法法则计算即可得解； （3）先计算乘除，再计算加减即可化简，再求出的值，代入计算即可得解； （4）根据分式的混合运算法则进行化简，再代入合适的的值计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ， ∵其中在一组未排序的数据7、9、6、、8、5中，已知这组数据的极差是6， ∴或， 当时，，故不符合题意， ∴，原式； （4）解： ， ∵是满足条件的合适的非负整数，，， ∴，此时原式． 11．（24-25八年级上·山东临沂·期末）小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了千克商品，小颖两次购买商品均花费元，已知第一次购买该商品的价格为元千克，第二次购买该商品的价格为元千克，是整数且． (1)分别求小丽和小颖两次所购买商品的平均价格； (2)比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低． 【答案】(1)小丽：（元）；小颖：（元） (2)小丽两次所购买商品的平均价格高 【分析】该题主要考查了分式混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）依题意结合平均价格总价格商品总数量即可确定出两人购买商品的平均价格； （2）运用作差法比较出大小关系即可． 【详解】（1）解：小丽的平均价格：（元）． 小颖的平均价格：（元）． （2）解：∵ ， 小丽两次所购买商品的平均价格高． 地 城 考点03 分式的加减 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用通分，约分计算即可． 本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法运算．由于两个分式分母相同，可直接将分子相减，再约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·全国·期末）若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用分式的加法的法则对式子进行运算，从而可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， ． 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减法．对M、N分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把代入计算后直接选取答案． 【详解】解：， ∵实数a，b互为倒数， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的化简．该同学在分式加减运算过程中，第二步合并分子时符号处理错误，导致后续步骤均出现错误． 【详解】步骤①：将原式通分，正确， 原式中，，而可变形为， 通分后为，此处正确， 步骤②：合并分子时错误， 正确合并应为： 但该同学误将分子写为，导致错误， 步骤③、④：因步骤②错误，后续步骤均无效， 综上，错误首次出现在步骤②． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河南周口·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了异分母分式的加减法． 先根据完全平方公式和平方差公式变形后约分，再计算分式的加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是将待求式子根据已知条件适当变形．将分式进行约分，然后将代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山东·期末）一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要 小时． 【答案】 【分析】该题考查了分式除法的应用，甲单独做一小时可完成工程总量的，乙单独做一小时可完成工程总量的，二人合作一小时可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一小时可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间． 【详解】解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需小时． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）若都是正实数，且，求 ． 【答案】3 【分析】计算，再利用解答即可． 本题考查了公式应用，等式变形，熟练掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 【详解】解：两边同乘a，得， 故， 同理可得，， ， 故 10．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】解：与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 12．（24-25八年级上·广东东莞·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值．先计算括号里的减法，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再代入x的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，再从，0，，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)，14 (2)，选取，值为 【分析】本题考查了多项式除以单项式、完全平方公式、分式的化简求值等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算多项式除以单项式、完全平方公式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选取的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． 将，代入得：原式． （2）解：原式 ． ∵， ∴， ∴选取代入得：原式． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期末）嘉琪在计算时把整式M抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的M比原来大． (1)求整式M； (2)计算正确的结果 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提． （1）利用抄错M时的错误等式，通过分式运算求出抄错的M，再结合“抄写的M比原来大”，算出正确的M ．   （2）将正确的M代入原式，通过分式通分、化简，得出正确结果 ． 【详解】（1）嘉琪在抄错整式M情况下，有， 则 ∴， 则不抄错的， （2）解：解把代入原式的化简结果是 ． 15．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 16．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． (1)以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①，    ②，    ③； (2)已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （1）分别计算出，然后根据“差整分式”定义判断即可； （2）根据“差整分式”定义列出关于G的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：， A不是B的“差整分式”， ②， ； A是B的“差整分式”， ③ ； A不是B的“差整分式”， 故答案为：② （2）分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值”为， ， ∴， 解得：． 17．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 地 城 考点04 整数指数幂 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂除法、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂除法、负整数次幂逐项判断即可． 【详解】解：A． 与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意； B． ，故B选项不符合题意； C． ，故 C 选项不符合题意； D． ，故 D 选项符合题意． 故选D． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算的结果是（ ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂、含乘方的有理数的混合运算，正确求解是解答的关键．先零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方运算，再加减运算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·吉林·期末）在，0，，四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，零次幂，负整数指数幂的含义，先计算零次幂，负整数指数幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴最小的数是， 故选：A 二、填空题 5．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）计算的值 ． 【答案】 【分析】先按积的乘方，再按同底数幂的乘法分别运算好，根据负整数指数幂的意义得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是整数指数幂的运算，掌握整数指数幂的运算法则是解题关键． 6．（24-25八年级上·全国·期末）化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，先求出负整数指数幂的值，然后进行分式的通分化简即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据负整数指数幂、积的乘方、单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（24-25·八年级上·重庆·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则，根据零指数幂和负整数指数幂即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）用科学记数法表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数的绝对值是原数中第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前的0）． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）1纳米米，则纳米用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握其表示形式，正确确定的值是关键． 科学记数法：，确定n值的方法：把原数变为a时，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：1纳米米， ∴纳米 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）（1）计算：      （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算有理数的乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算； （2）先由完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 12．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的等知识化简，然后再计算即可； （2）先根据单项式乘以多项式，平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 13．（24-25八年级下·四川内江·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）6；（2）； 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则和方法是解答本题的关键． （1）原式分别化简，然后再进行加减运算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ∵， ∴ ∴原式． 14．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先进行零指数幂，负整数指数幂，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 地 城 考点05 分式方程 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）嘉淇解方程的过程，下列判断正确的是（   ） 解：方程两边乘，得第一步 整理，得第二步 解得，所以原方程的解为第三步 A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．嘉淇解方程的过程正确 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程．根据解分式方程的步骤得第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有检验． 【详解】解：根据分式方程的解题过程可知：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的解进行检验． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东中山·期末）解分式方程 时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可． 【详解】解： 去分母得， 故选：D 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为米/秒，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、通过时间相等建立方程是解题的关键． 根据甲跑300米用的时间与乙跑米用的时间相等，据此列出方程即可． 【详解】解：设甲接下来的平均配速为x米/秒， 根据题意列出方程：． 故选：A． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据第二批购买的套数只比第一批少4套，列出方程即可． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元， 由题意，得：； 故选B． 5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）某工程由甲工程队单独做天完成，乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先单独做3天，剩余的工程由甲、乙工程队合作10天完成，则下列所列的方程中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设甲工程队单独做天完成，根据“乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先单独做3天，剩余的工程甲、乙两工程队合作10天后完成”列出方程，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：设甲工程队单独做天完成，根据题意得： 或或， 结合选项可知，B、C、D选项所列的方程正确，不符合题意；A选项所列的方程错误，符合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）一组学生去春游，预计共需用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，设原来这组学生人数为x人，则有方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，理解题意是解题关键．设原来这组学生人数为x人，根据“总费用不变，每人可少摊3元”，即可列分式方程． 【详解】解：设原来这组学生人数为x人， 则， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·全国·期末）若分式与分式的值相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解方式方程，根据题意列出分式方程，求出解后要检验是否是增根． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·青海祁连·期末）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先求出方程的解，根据解的情况得出关于的不等式，并结合最简公分母不等于求出的取值范围即可，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 综上，的取值范围是且． 9．（24-25八年级上·全国·期末）当 时，关于的方程无解． 【答案】或1或6 【分析】此题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可． 【详解】解：由原方程得：， 整理得： （i）当，即时，原方程无解； （ii）当，原方程有增根， 当时，，即； 当时，，即， 即当，或时原方程无解， 故答案为：，或． 三、解答题 10．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤进行求解即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． （2） 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 11．（24-25八年级上·全国·期末）计算 (1) (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，乘法公式的灵活应用，解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键； （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程两边同时乘，得， 移项，解得：， 检验：把代入，得， 分式方程的解为． 12．（24-25八年级上·全国·期末）（1）化简：；     （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，解分式方程，熟练掌握整式的混合运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先根据平方差公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行加减计算； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验是否有增根即可． 【详解】解：(1)原式 (2)方程两边同乘 得， 解得 ， 检验：当 时， 是分式方程的解． 13．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 【答案】(1)每副甲种春联的进价为元，每副乙种春联的进价为元； (2)商家最多可以购买副甲种春联． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）通过设甲种春联进价为未知数，依据两种春联购进数量相同这一条件，列分式方程求解进价． （2）设购进甲种春联数量，进而表示出乙种春联数量，根据利润不低于给定值的条件，列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元； （2）解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为150． 答：商家最多可以购买150副甲种春联． 14．（24-25八年级上·全国·期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元． (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 【答案】(1) (2)三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元 (3)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设三月A型号手机每台售价为元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解； （2）根据数量等于总价除以单价，结合三、四月份A型号手机的销售量相等，即可得出关于的分式方程，解方程后检验是否为增根得出答案； （3）根据总利润等于单台利润乘以销售数量，即可求出获得的总利润． 【详解】（1）解：设三月A型号手机每台售价为x元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元． （3）解：总利润为： ， ， 元． 答：若将这台手机全部售出共获得元利润． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得； （2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得． 【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 16．（19-20八年级上·山东滨州·期末）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米 【分析】本题考查分式方程的应用，根据“路程速度时间”这一等量关系，列出方程解决即可． 【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $