专题05 因式分解 3大高频考点（期末真题汇编）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 因式分解 3大高频考点概览 考点01提取公因式与因式分解 考点02平方差公式 考点03完全平方公式 地 城 考点01 提取公因式 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·云南临沧·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式； 对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河南安阳·期末）当互为相反数时，代数式的值为（  ） A．2 B．3 C． D．3或 【答案】C 【分析】本题主要考查了提取公因式的应用以及相反数的定义，首先利用相反数的定义得出，再利用提取公因式法将原式变形求出答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∴ ． 故选：C． 5．（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的三种方法，解题的关键在于熟练掌握提公因式法（相同的因数或因式提出来，不同的因数或因式进行相加或相减），平方差公式，完全平方公式. 分别根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式即可选出正确答案. 【详解】解：A：，错误； B：，错误； C：，错误； D：，正确. 故答案为：D. 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，提取公因式即可． 【详解】解：． 7．（24-25八年级上·广东东莞·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 直接提公因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 8．（24-25八年级上·广东东莞·期末）多项式的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式的确定，根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式解答即可． 【详解】解：8、6的最大公约数为2，公因式a的最低次数为1，公因式b的最低次数为2， 所以的最大公因式为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了代数式求值，先利用因式分解得，进而求得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：66． 三、解答题 10．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先变形，再利用提公因式法因式分解即可； （2）先展开并合并，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， 11．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）把下列各式分解因式 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式即可； （2）先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先变形，再提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（24-25八年级上·河北保定·期末）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 证明：证明见解析 【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； 证明：利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【详解】解：验证： ， 是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确； ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； 证明： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 13．（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 14．（24-25八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果求参数，十字相乘法分解因式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． （1）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出另一个因式． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 地 城 考点02 平方差公式 一、单选题 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．根据平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：A、是三项，不能用平方差公式分解因式； B、是三项，不能用平方差公式分解因式； C、是三项，不能用平方差公式分解因式； D、，能用平方差公式分解因式； 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，利用可得答案． 【详解】解：∵， ∴； 故选：D 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式结构是解题的关键．根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后即可得到答案． 【详解】解：A、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，可写成，9可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，可写成，可写成，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁·期末）若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式的应用，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 8．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用提公因式法因式分解，平方差公式，根据多项式的特点选择适合的因式分解的方法是解题关键． 先提取公因式，再根据平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据“美满数”的定义列出关于、的方程组． 先设出原两位正整数的十位数字和个位数字，根据新数与原数是4752的一个美满分解列出方程组，可得，求出、的值，进而得出的值． 【详解】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为， 新数与原数是4752的一个美满分解，， 又， 将，代入， 可得：（均为正整数） 此方程有两组符合题意的解， 分别为：或 当时，， ， 当时，， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 10．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）分解因式：m16 – 1 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 11．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 12．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 原式化为，再根据平方差公式进行计算，即可求解． 【详解】 ． 13．（24-5八年级上·吉林长春·期末）利用公式简便运算：； 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式掌握公式的逆用是解题的关键． 【详解】原式 ； 15．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，利用因式分解进行计算． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】解： ； 16．（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【答案】(1)② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． 【详解】（1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 地 城 考点03 完全平方公式 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列因式分解中正确的个数为（   ） ①；②；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的相关知识，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．对每个式子进行因式分解，然后判断其正确性． 【详解】解：① 原式子变形错误． ② 该式子正确． ③ 该式子正确． 综上，正确的式子有②和③，共个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求； 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列多项式：①；②；③；④中，能用公式法分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式分解因式，直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：①，能用公式法分解因式； ②，不能用公式法分解因式； ③，能用公式法分解因式； ④，能用公式法分解因式； 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、展开右边得：，与左边不符，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、展开右边得：，与左边相比多出项，选项错误； 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）分解因式__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题考查了完全平方公式法分解因式，选择适当方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河南信阳·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据公式法把一个式子化成几个因式相乘的形式即可解决； 【详解】解： ， ， 8．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知非零有理数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和分式的化简，掌握完全平方公式进行因式分解是解题关键； 先根据求出x、y的关系，然后代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．由题意得，按照系数对应，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，利用完全平方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 11．（24-25八年级下·江西九江·期末）简便运算： ． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东·期末）计算 （用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】利用提公因式法提公因式，即可得结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号． 13．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 ． 【答案】4041 【分析】根据（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212得到c1＝20212，同理可得 c2＝20202，所以c1-c2=20212-20202，进而得出结论． 【详解】解：∵（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212， ∴c1=20212， ∵（2021x-2020）2=（2021x）2-2×2020×2021x+20202， ∴c2=20202， ∴c1-c2=20212-20202=（2021+2020）×（2021-2020）=4041， 故答案为：4041． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是要熟悉公式的结构特点． 三、解答题 15．（24-25八年级上·全国·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键． （1）提公因式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 16．（24-25八年级上·山东烟台·期末）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解及其应用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可． （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（24-25八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解和整体代换的思想． （1）对进行因式分解，可以直接套用完全平方公式； （2）观察到在式子中重复出现，考虑使用整体代换，设，原式就变成，化简后再进行因式分解，最后将m还原成即可． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得：， 故答案为：． （2）解：令， 则原式 ， 将m还原， 原式． 18．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （）将“”看成整体，令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解； （）令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴原式 ； （2）解：令， ∴ ． 19．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先阅读材料内容，再解决问题： ①若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ②已知x为实数，求的最小值． 解：∵ 而 ∴有最小值2 (1)若，求的值； (2)设、为实数，求的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性求出x，y的值，然后代入的值； （2）先利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴ （2）解：∵ 而， ∴有最小值3 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了______． A．提取公因式    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底： (3) 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键； （1）根据使用的公式可得答案； （2）根据含有的因式还可以继续分解可得分解不彻底，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）设，再进一步仿照题干提供的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了完全平方公式； 故选：C． （2）解：该同学因式分解的结果不彻底， 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． ； 故答案为：不彻底：． （3）解：设， 原式 ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05因式分解 ☆3大高频考点概览 考点01提取公因试与因式分解 考点02平方差公式 考点03完全平方公式 目目 考点01 提取公因式 一、单选题 1.(24-25八年级上全国期末)下列各式从左到右的变形，是因式分解的是() A.(x-2)(x+2)=x2-4 B.x(x+1)=x2+x C.x2+2x-3=x(x+2)-3 D.y2-3y=y(y-3) 2.(24-25八年级下·云南丽江期末)将3ax-y)-9b(x-y)用提公因式法分解因式，应提取的公因式是() A.3a-b B.x-y C.3(x-y) D.a-3b 3.(24-25八年级上·云南临沧期末)己知a+b=4,ab=3,则a2b+ab2的值为() A.12 B.7 C.4 D.3 4.（24-25八年级上河南安阳期末)当a,b互为相反数时，代数式a2+ab-3的值为() A.2 B.3 C.-3 D.3或-3 5.(24-25八年级上·四川乐山期末)下列因式分解正确的是() A.2a2+4a=2aa+4 B.9x2-4y2=(9x+4y(9x-4y) C.x2-2x+1=x(x-2)+1 D.m2+6m+9=(m+3)2 二、填空题 6.(24-25八年级上全国期末)因式分解：-4a2+2ab= 7.(24-25八年级上广东东莞期末)因式分解：x2-12x=_, 8.(24-25八年级上广东东莞期末)多项式8a3b2+6abc的最大公因式是 9.(25-26八年级上全国期末)己知x2y+xy2=16,x+y=8,则x2+3xy+y2= 1/7 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 10.(24-25八年级上·重庆綦江期末)分解因式： (1)3xa-5)+y5-a; (2)x-1)x-5+4. 11.(24-25八年级下.宁夏银川期末)把下列各式分解因式 (1)4x(x+y)-3x+y (2)2a-8a+8 (3)a-b)x2+(b-ay2 12.(24-25八年级上·河北保定·期末)【新定义】如果a,b都是非零整数，且a=4b,那么就称a是“4 倍数”. 【验证】嘉嘉说：1002-962是“4倍数”，淇淇说：12×11+9×11-19×11也是“4倍数”，通过简便计算判断 他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是2n(n是整数)，通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”. 13.(24-25八年级下·江西吉安期末)先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+I+x(x+1)2=(x+)[1+x+x(x+1]=(x+1)2(1+x=(x+1)3. ()上述因式分解的方法是 ，共应用了次； (2)若分解因式1+x+x(x+)+xx+)+…+x(x+1)25,则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)仿照上述方法因式分解：1+x+x(x+)+x(x+1)+…+x(x+1)”(n为正整数)； (4)利用(3)中结论计算：5+52+53+…+52025. 14.(24-25八年级上·广西河池期末)仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m分解因式的结果中有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解法一：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n, x2-4x+m=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n, n+3=-4mn=-7 m=3n解得 m=-21 2/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :另一个因式为x-7,m的值为-21. 解法二：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3(x+n), 当x=-3时，x2-4x+m=（x+3)(x+n=0, 即：(-3)2-4×(-3)+m=0, 解得：m=-21, x2-4x+m=x2-4x-21=x+3)x-7, :另一个因式为x-7,m的值为-21. 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题， (1)已知二次三项式x2-px-6分解因式的结果中有一个因式是x-3,则实数P= (2)已知二次三项式2x2+3x-k分解因式的结果中有一个因式是2x-5,求另一个因式及k的值. 目目 考点02 平方差公式 一、单选题 1.(24-25八年级上·内蒙古赤峰期末)下列能用平方差公式进行因式分解的是() A.x2+x+1 B.x2-2x-1 C.x2-4x+4 D.x2-2 2.(24-25八年级上贵州贵阳期末)已知a+b=3,a-b=2,则a2-b2等于() A.3 B.4 C.5 D.6 3.(24-25八年级上广东广州期末)下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是() A.y2-49x2 B.-m4+n2 c.4p+g-9 D.-1-x 49 4.(2425八年级上河北承德期末)若k为任意整数，则(k+1)2-(k-1)2的值总能() A.被4整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被7整除 5.(24-25八年级上·辽宁.期末)若58-1可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数是() A.24,26B.25,27 C.26,28 D.27,29 6.(24-25八年级上江苏南通·期末)因式分解(x-1)-9的结果是() A.(x-10(x+8)B.(x+8)(x+1C.（x-2)x+4)D.（x+2)(x-4 3/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 7.(24-25八年级上山东临沂期末)观察下列算式： ①1x2=2 3*332®×44 23欢1@4×33 3*413x3,④2×55 52-13×4' 按照以上规律，写出第n个算式一（用含正整数的算式表示） 8.（24-25八年级上内蒙古呼和浩特期末)把多项式3ax2-3a分解因式的结果是 9.(24-25八年级下·四川成都期末)一个正整数x能写成x=a2-b2(a,b均为正整数)，则称x为“美满 数”，a,b为x的一个美满分解，并规定：F(x)=。.如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交 换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则F(4752)的值为 三、解答趣 10.(24-25八年级上·甘肃武威期末)分解因式：m6-1 11.(25-26八年级上全国期末)分解因式： (1)x2-16; (2)6xy2-9x2y-y3. 2.24-25八年级上海期末)计算：196×202 9 13.(24-5八年级上·吉林长春期末)利用公式简便运算：20252-2024×2026； 15.(24-25八年级上贵州铜仁期末)分解因式：9x2(m-2)+y2(2-m 16.(24-25八年级上·浙江台州·期末)对于任意非负整数p,a,b若满足：p=a2-b2,则称p为a与b的 “2次幂差数”. (1)下列两个数：①8，②6，其中不是“2次幂差数”的是（填序号）： (2)若p为a与b的2次幂差数”，且b,Q是两个连续的正整数，证明：p为奇数： (3)若P为a与b的2次幂差数”，且b=k-3,p=-2k+71,求a的最小值 目目 考点03 完全平方公式 4/7 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 1.(24-25八年级上湖南衡阳·期末)下列因式分解中正确的个数为() ①x3-2xy+x=xx2-2y);②x2-4x+4=(x-22;③-1+y2=(y+1(y-1 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2.(24-25八年级上福建泉州期末)下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是() A.x2+2y+4y2B.2-+4 1 C.x2-2x+1 D.x2+6x+9 3.(24-25八年级上山东泰安期末)下列多项式：①4x2+4x+1:②x2-2y+4y2;③a2-b+b2,④ 4 -a2+4b2中，能用公式法分解因式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.（24-25八年级上四川乐山期末)下列因式分解正确的是（) A.2a2-4ab+b2=(2a-b)2 B.4p2+2p=p4p+2) C.m2-n2=(m+n)(m-n) D.x2+4y2=(x+2y2 二、填空题 5.(24-25八年级上·江苏南通期末)分解因式4x2-4x+1= 6.(24-25八年级上福建泉州期末)因式分解：(a-b)2-2(a-b)b+b=一 7.(24-25八年级上河南信阳期末)分解因式：(a-4)(a-6+1=一 8。（2425八年级上河南新乡期末)已知非零有理数x89满足￥-6y+9y=0,则-2 x+2y 9.(24-25八年级上湖北宜昌期末)若多项式x2+2(m-1)x+9可分解因式为(x-3的形式，则m的值 为一 11.（24-25八年级下江西九江·期末)简便运算：4+4×98+982= 12.(24-25八年级下广东期末)计算(-2)21+(-2)2=一（用幂的形式表示)· 13.(24-25八年级上·山西长治期末)己知ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足 2a2+3b2-4a-18b+29=0,则ABC的周长为__ 14.(24-25八年级上湖南株洲·期末)小明将(2020x+2021)2展开后得到ax2+b+c1:小红将(2021x-2020) 5/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2展开后得到ax2+bx+c2,若两人计算过程无误，则c1-c2的值是】 三、解答题 15.(24-25八年级上·全国期末)分解因式： (1)8abc-6a2b2 (2)-x2+12x-36 16.(24-25八年级上山东烟台期末)分解因式（其中(2）利用因式分解计算)： (1)3ab2+9-108ab2 (2)2022+202×196+982 17.（24-25八年级上·全国期末)“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字 母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了. 例如：分解因式(a-2b)2+2a-2b)+1. 解：将a-2b看成一个整体，令a-2b=x,则原式=x2+2x+1=-,将x还原得，原式=(a-2b+1)2. 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：- (2)因式分解：x2+2x+3(x2+2x-1+4 18.(24-25八年级上甘肃庆阳·期末)阅读材料： 因式分解：（x+y)+2(x+y)+1. 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A+2A+1=(A+1)2.再将“A”还原，可以得到：原式 =(x+y+1)2. 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法.请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：1+6(x-y)+9(x-y): (2)因式分解：a2-4a+1(a2-4a+7+9. 19.（24-25八年级上湖北孝感期末)先阅读材料内容，再解决问题： ①若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值. 解：：m2+2mn+2n2-6n+9=0, 6/7 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .m2+2mn+n2+n2-6n+9=0, .(m+n2+(n-32=0, .m+n=0,n-3=0, .m=-3,n=3. ②己知x为实数，求x2+6x+11的最小值 解：：x2+6x+11=(x+32+2 而(x+3)2≥0 x2+6x+11有最小值2 (1)若x2+4xy+5y2-2y+1=0,求x-2y的值； (2)设x、y为实数，求x2+y2-2x+4y+8的最小值， 20.(24-25八年级上湖南衡阳期末)下面是某同学对多项式(x2-2x)(x2-2x+2+1进行因式分解的过程： 解：设x2-2x=y 原式=y(y+2)+1(第一步) =y2+2y+1（第二步) =(y+1)2(第三步) =(x2-2x+12(第四步). 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了 A.提取公因式B.平方差公式C.完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，则该因式分解的最终结 果为。 (3)请你模仿上述方法，对多项式x2-2(x2-6)+4进行因式分解. 7/7