第2章 直线与圆的位置关系（复习课件）数学浙教版九年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了直线与圆的位置关系、切线判定与性质、切线长定理及内切圆等核心知识，通过知识图谱构建整体框架，结合表格对比位置关系与d、r关系，考点串讲细化辅助线方法，帮助学生建立逻辑联系，形成完整知识网络。 其亮点在于聚焦推理意识与几何直观培养，设计“考点串讲-题型剖析-针对训练”三阶路径。切线证明提炼“连半径证垂直”模型，例题强化推理，针对训练分层设计，从基础判断到内切圆计算，兼顾不同学生，助力巩固知识，为教师提供系统框架，提升复习效率。

单元复习课件 第二章 直线与圆的位置关系 浙教版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系及判定方法，理解切线的判定定理、性质定理、切线长定理. 3.突破切线证明中辅助线的添加技巧、直角三角形内切圆半径的推导与计算，培养逻辑推理和几何建模能力． 2.会添加恰当辅助线证明切线、解决与切线相关的计算问题，能熟练运用切线长定理和内切圆性质求线段长度、半径等. 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图 形        公共点个数       公共点名称     　　———— 直线名称     　　———— 圆心到直线距离d与半径r的关系       r d ∟ r d ∟ r d 2 1 0 交点 切点 割线 切线 d<r d=r d>r 考点串讲 知识点一：直线与圆的位置关系 判定直线与圆的位置关系的方法有_____种： 两 （1）根据定义，由__________________的个数来判断； （2）根据性质，由____________________________的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。 直线与圆的公共点 圆心到直线的距离d与半径r 考点串讲 知识点二：切线判定定理 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ∵ l⊥OA 且OA为圆O的半径 ∴ l是⊙O的切线 几何语言表示: O A B C 考点串讲 知识点二：切线判定定理 (2)无交点，作垂直，证半径. 证切线时辅助线的添加方法： (1)有交点，连半径，证垂直； O A C Ｂ 证OC⊥AB ∟ O A Ｂ ∟ C 证OC的长度等于半径 考点串讲 有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直. 圆的切线和圆只有一个公共点. 圆心到切线的距离等于半径. 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. A l O 知识点三：切线的性质 考点串讲 几何语言： ∵PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B ∴ 知识点四：切线长定理 B P O A 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. PA = PB, ∠OPA = ∠OPB 考点串讲 知识点四：切线长定理 PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. B P O A C E D （1）图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC （3）图中所有的相等的线段：PA=PB，AC =BC，OA =OB. （4）图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （5）图中所有的等腰三角形: △ABP △AOB 考点串讲 知识点四：切线长定理 A P O B （1）连接圆心和切点，得到直角； A P O B （2）连接两切点，构建等腰三角形； A P O B （3）连接圆心和圆外一点，得到角平分线. 在解决有关圆的切线长问题时，常见的三个基本图形： 考点串讲 知识点五：内切圆 B A C I 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ☉I 是△ABC 的内切圆， 点 I 是△ABC 的内心， △ABC 是☉I 的外切三角形. 考点串讲 知识点五：内切圆 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. B A C I E F G AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG. 考点串讲 知识点五：内切圆 b-r r r b-r a-r a-r r r r 特别地，在直角三角形中，有 考点串讲 知识点六：外接圆与内切圆 名称 外心(三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点). 内心(三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点). 图形 性质 位置 角度关系 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. ∠BOC=90°＋∠A. ∠BOC=2∠A. 考点串讲 题型一、直线和圆的位置关系 例1 如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF // AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是什么? 解：由题中已知条件，得BO⊥AC， BO= BD= , 即点B到AC的距离为 ，与⊙B的半径相等， ∴直线AC与OB相切； ∵EF∥AB,∠ABC=90°, ∴AB∥EF，垂足为E， 且，∴直线EF与⊙B相交。 A C C D O E F 判断直线与圆的位置关系 d>r：相离 d=r：相切 d<r：相交 题型剖析 题型一、直线和圆的位置关系 例2 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，表示曲柄连杆的两直杆，点是直线 的交点；当点A运动到E 时,点 B到达 C；当点A运动到 F时,点 B到达D .若 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． 　　 C．当相切时， 　 D．当时， 解：如图，由题意可得： ∴，故A不符合题意； ，故B不符合题意； 题型剖析 题型一、直线和圆的位置关系 例2 如图：当时， ∴, ∴ ∴，故D不符合题意； 如图，当AB与⊙O相切时，∴ ， ∴， ∴ ，故C符合题意； 题型剖析 题型二、切线判定定理 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB = r. ∴ AC 是⊙O 的切线. 题型剖析 题型二、切线判定定理 例4 . 题型剖析 题型三、切线性质定理 例5 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 题型剖析 题型三、切线性质定理 如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC． （1）求∠ACO的度数；（2）求证：AC＝BC． （1）解：∵BC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CB，∴∠OCB＝90°， ∴∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝120°－90°＝30°； （2）证明：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－120°－30°＝30°， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC． 例6 题型剖析 题型四、切线长定理 E 例7 题型剖析 题型四、切线长定理 如图，在Rt△AOB中，OA=OB =3 ☉O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为 . 解：连接OP，OQ． ∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=3， ∴AB=OA=6，∴OP==3， ∴PQ==2． 例8 题型剖析 题型五、内切圆 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F， （1）若AF=4，BD=5，CE=9，求AB，BC和AC的长． 例9 4 5 9 4 9 5 求AB,BC,AC AB=9,BC=14,AC=13 求BF,CD,AE 切线长定理 切线长 边长 题型剖析 题型五、内切圆 例9 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F， （2）若AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD和CE的长． y z z 边长 切线长 9 13 14 x x y AF=4，BD=5，CE=9 题型剖析 题型五、内切圆 面积 OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB (底？高？) r r r 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F， （3）若△ABC的周长为33，OE=4，求△ABC的面积. 周长、内切圆半径 例9 题型剖析 题型五、内切圆 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F， 若BC=3，CA=4，AB=5，求△ABC内切圆的半径. 例10 解：如图，连接ID，IE. ∵BC2＋AC2＝32＋42＝25， AB2＝25，∴BC2＋AC2＝AB2. ∴△ABC为直角三角形． ∵∠IDC＝∠C＝∠IEC＝90°，ID＝IE， ∴四边形DCEI为正方形． ∴ID＝CD＝CE＝IE. ∴CD＋CE＝BC＋AC－AB＝2. ∴△ABC内切圆的半径为1. 题型剖析 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，那么： （1）当直线AB和⊙O相离时, 则r的取值范围是什么？ （2）当直线AB和⊙O相切时, 则r的取值范围是什么？   （3）当直线AB和⊙O相交时, 则r的取值范围是什么？ B C A 4 3 D d 解：过C作CD⊥AB，垂足为D， 在△ABC中， AB= 根据三角形的面积公式有 针对训练 解:（1）当直线AB和⊙O相离时，　　 （2）当直线AB和⊙O相切时，　　 （3）当直线AB和⊙O相交时，. 所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。 圆心C到AB的距离d=2.4cm B C A 4 3 D d 针对训练 2. 设⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距离 OP = m，且 m 使得关于 x 的方程 2x2 − 2 x + m − 1＝0 有实数根，试判断直线 l 与⊙O 的位置关系． 直线与圆相切或相交． 解：关于 x 的方程 2x2 − x + m − 1＝0 有实数根， 解得 m≤2. 又⊙O 的半径为 2， Δ = (2 )2－4×2(m－1)≥0. 针对训练 （1）证明：连接 OD， 的半径， 直线DE 是 的切线； 辅助线： 有交点，连半径，证垂直 3.如图，为的直径，射线交 于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点.连接并延长交于点． (1)求证：直线是 的切线； (2)若，求 的长． 针对训练 （2）解： 由（1）可知： ， ． 3.如图，为的直径，射线交 于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点.连接并延长交于点． (1)求证：直线是 的切线； (2)若，求 的长． 针对训练 4. 针对训练 2.四边形 是菱形，⊙O经过B、C、D三点（点O在上）． (1)如图1，若是 的切线，求的大小． （1）连接，如图， ． 针对训练 （2）连接如图， 2.四边形 是菱形，⊙O经过B、C、D三点（点O在上）． (2)如图2．交于点E，求的半径． 针对训练 解： (1)连接OD ，如图， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴是半圆O的切线； 例3 　如图，在Rt△𝑨𝑩𝑪中， ∠𝑪=𝟗𝟎° ，点O在𝑨𝑪上，以𝑶𝑨为半径的半圆O交𝑨𝑩于点D，交𝑨𝑪于点E，点F在𝑩𝑪上，且𝑫𝑭=𝑩𝑭． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，求半圆O的半径长． 针对训练 解：（2）解：连接， ∵ ， ∴ ， 设半圆O的半径长为r， ∵ ， ∴， 在 中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴ ， 解得： ， 即半圆O的半径长为 ． 例3 　如图，在Rt△𝑨𝑩𝑪中， ∠𝑪=𝟗𝟎° ，点O在𝑨𝑪上，以𝑶𝑨为半径的半圆O交𝑨𝑩于点D，交𝑨𝑪于点E，点F在𝑩𝑪上，且𝑫𝑭=𝑩𝑭． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，求半圆O的半径长． 针对训练 1．（2025•聊城•统考）如图， 是的内切圆，与分别相切于点D，E，F，若 ，求 的度数． 解：连接，如图， ∵ 是的内切圆， 与分别相切于点D，E，F， ． A B C 𝑰 D E F 针对训练 解题方法提炼： 位置关系判断：先求圆心到直线的距离 d，再与半径 r 比较大小，优先选择数量关系法更简便。 切线证明：牢记 “连半径、证垂直”“作垂直、证半径” 两大辅助线模型，结合角平分线、全等三角形等知识突破。 长度计算：利用切线长定理建立线段相等关系，直角三角形内切圆半径可直接套用公式，非直角三角形可通过面积法推导。 课堂总结 感谢聆听! $