11.3 实际问题与一元一次方程 （动点问题专题） 2025-2026学年人教版（五四制）数学七年级上册

11.3 实际问题与一元一次方程 （动点问题专题） 2025-2026学年人教版（五四制）数学七年级上册 一、单选题 1．数轴上点P表示的数为，将其向左平移3个单位长度后的点所表示的数为（    ） A． B． C． D．2 2．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 3．小明同学将铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（　　） A． B． C． D． 4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若点C到A、B两个点的距离相等，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．1 5．如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 6．等边三角形（三条边都相等，三个角都是）纸板在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为1，则翻转2023次后，点C所对应的数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 二、填空题 7．已知在数轴上点A、点B所表示的数分别是和5，蚂蚁甲、乙分别从点A、点B处同时出发向数轴正方向运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度．当蚂蚁乙到达点C处时，如果此时蚂蚁甲与蚂蚁乙相距4个单位长度，那么点C到原点的距离是 ． 8．如图；在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数7，点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，当点运动至中点时， ． 9．把长为2024个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，则线段能盖住的整数点有 个． 10．如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为 ．    11．已知A，B是数轴上的两个点，点A，B所表示的数分别为，11，动点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，同时，动点M以每秒2个单位长度的速度从点B向左运动，用圆规在射线上截取（点D在点A右侧），当点D恰好落在中点时，点P运动时间为 秒． 12．如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 三、解答题 13．点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点为坐标原点． (1)如图，在数轴中，点与点___________所表示的数互为相反数，点与点___________所表示的数互为相反数； (2)若点为一个动点，从点出发，向点运动，速度为3个单位每秒，点到达点后立即反向继续按原来的速度运动；点为一个动点，从点出发，沿数轴正方向运动，速度为1个单位每秒．两个点同时出发，设：运动时间为秒． ①用含的代数式分别表示动点，动点； ②用含的代数式分别表示线段的长，线段的长； ③当时，直接写出的值． 14．已知，点在数轴上对应的数为，其满足，点表示原点，分别从出发沿数轴同时向负方向匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________， ___________； (2)设运动时间为秒，当为何值时，恰好有； 15．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，点C是AB的中点．已知a，b满足．现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P从点B出发向左匀速运动，速度为每秒4个单位长度，点Q从点C出发向左匀速运动，速度为每秒2个单位长度． (1)填空：　　　　　，　　　　　； (2)点P、Q在运动的过程中，的中点为M，求几秒后，M、P之间的距离为2个单位长度； (3)若点P运动到C后，立刻以每秒2个单位长度的速度运动到A，再以每秒8个单位长度的速度返回到B点时停止运动；点Q运动到A后，立刻以每秒4个单位长度的速度返回到B点时停止运动．在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 16．“数形结合”是一种重要的数学思想方法．代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因此当时，或4．如图，在数轴上、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为___________； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点P到点A、点B的距离相等？ 17．如图，在数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点E为原点，点G表示的数为8． (1)点A表示的数为___________，点F表示的数为___________； (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一动点Q从点E出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴也向右运动，点Q到达点G后立即以原来的速度返回，向左运动，到达点E后，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，求点Q表示的数； ②当点Q到达点F时，求点P表示的数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查数轴上点的平移，左移减，右移加，也考查了有理数的减法计算； 根据数轴上点的坐标特点及平移解答即可． 【详解】解：根据题意：数轴上点P表示的数为， 将其向左平移3个单位长度，表示的数为， 故选：A． 2．A 【分析】根据题意利用运动周期找出规律，解题关键是抓住运动周期5秒．一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，可知该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，，即可求解． 【详解】解：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒， 该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位， ， 该点运动到2025秒时对应的数为， 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了规律型∶数字的变化类，数轴和有理数的加减法，理解正负数的意义是解答此题的关键．按照题意规定正负，运用有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查数轴上两点间距离，先用含a的式子表示出点C表示的数，再根据点C到A、B两个点的距离相等，列方程，解方程即可． 【详解】解：将点A向右平移2个单位长度，得到点C， 点C表示的数为， 点C到A、B两个点的距离相等， ， 解得， 故选C． 5．C 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及数轴上点的距离，根据题意，找到数轴上点所对应的数的变化规律，是解题的关键．由题意得：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为22，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数为：； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为：； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为：； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为：； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为：； …； 以此类推： 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， ∴点与原点的距离不小于20时，n的最小值是14． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查图形类规律探究，根据题意，易得，每旋转3次是一个循环，利用，根据余数进行求解即可． 【详解】解：由图可知，图形每旋转3次，为一个循环节， ∵， ∴此时点恰好在数轴上，表示的数为：； 故选B． 7．31或47/47或31 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是根据题意设未知数列方程求解．设运动时间为秒，由题意得，，或，解得的值，可得点到原点的距离． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得，或， 解得：或， ∴点到原点的距离为47或31， 故答案为：47或31． 8． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用．：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，根据点运动至中点，列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点运动至中点， ∴， 解得：， 即当点运动至中点时，． 故答案为： 9．2024或2025/2025或2024 【分析】本题考查了数轴的性质，画出数轴，按照题意归纳总结，找到规律，得出答案是解答本题的关键．画出一条数轴，在上面画一个单位长度的线段，可以得到能覆盖或个整数点；画两个单位长度的线段，可以得到能覆盖或个整数点；以此类推，找到规律，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，当起点位于整数点之间时：   长度为个单位，其覆盖了一个整数点； 长度为个单位，其覆盖了两个整数点； 长度为个单位，其覆盖了三个整数点； 长度为个单位，其覆盖了四个整数点， 以此类推： 长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖个整数点． 如图所示，当起点位于整数点上时：   长度为个单位，其覆盖了两个整数点； 长度为个单位，其覆盖了三个整数点； 长度为个单位，其覆盖了四个整数点； 长度为个单位，其覆盖了五个整数点， 以此类推： 长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖个整数点． 综上：长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖或个整数点． 故答案为：或． 10．0 【分析】本题主要考查了相反数、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．首先确定点表示的数是，再根据“向右移动，加；向左移动，减”的原则，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数， ∵点表示的数是1， ∴点表示的数是， 一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度， 此时该点表示的数为， 再向左移动4个单位长度到达点， 则点表示的数为． 故答案为：0． 11．或4 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及两点之间的距离，解一元一次方程，正确表示运动后的点表示的数是解题的关键． 由题意得，则设运动的时间为秒，则秒后点P表示的数为，点表示的数为，由得，分类讨论，解方程即可． 【详解】解：由题意得， ∵点D恰好落在中点， ∴， 设运动的时间为秒，则秒后点P表示的数为，点表示的数为， ∴由得：， 解得：或， 故答案为：或4． 12．或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；先求解，，再分两种情况：当时，，，当时，结合对应的数为，，，再结合建立方程求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数分别是和6， ∴，，， 设运动时间为t，则对应的数为，对应的数为， 当，则， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当时， ∴对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故答案是：或． 13．(1)C，D (2)①当时，点P表示的数是，当时，点P表示的数是，点Q表示的数是；②当时，，当时，，；③1或4 【分析】此题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点间的距离，动点问题，列代数式，关键是利用数形结合思想，根据题目中的数量关系，列出方程． （1）根据相反数的定义求解即可； （2）①根据点P和点Q的速度以及初始位置列式即可； ②分两种情况，根据两点间的距离求解即可； ③两种情况，根据列方程，然后解方程求解即可． 【详解】（1）点与点C所表示的数互为相反数，点与点D所表示的数互为相反数． 故答案为：C，D； （2）①秒， 当时，点P表示的数是， 当时，点P表示的数是， 点Q表示的数是； ②当时，， 当时，， ， ③当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，当时，直接写出的值为1或4． 14．(1)8，12 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，一元一次方程应用，化简绝对值等知识． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． （2）解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． 15．(1)， (2)或秒 (3)或或． 【分析】0此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即可解答； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可； （3）先讨论点的运动时间，再讨论点的运动时间，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 点A表示的数为−7， 所以的中点M表示的数为． ，P之间相距2个单位长度， 则可分两种情况讨论， 当点M在点P左侧时， ， 解得； 当点M在点P右侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，M，之间相距2个单位长度； （3）解：分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 当从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得（不满足，舍去）； 从到，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， ，（不满足，舍去）； 综上，的值为或或． 16．(1)1 (2)当或时，存在 (3)或 【分析】本题考查数轴的应用和绝对值的意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴中的数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意由于点 P 到点 A、点 B的距离相等，所以点P在A、B两点之间，设点P对应的数为x，根据绝对值的意义可得到，解方程即可得到答案； （2）设点P对应的数为x，根据题意分情况讨论：①当点P在点A左侧时，②当点P在点B右侧时，③当点P在A，B两点之间时，分别表示出、的长，再根据，求出符合题意的x即可； （3）设t分钟后点P到点A、点B的距离相等．根据题意得到点P在t分钟后对应的数为，点A在t分钟后对应的数为，点B在t分钟后对应的数为，可得到，，由得到方程，解方程即可得到t的值． 【详解】（1）解：点P到点 A、点B的距离相等， 点P在A、B两点之间， 设点P对应的数为x， ， 解得， 点 P 对应的数为1， 故答案为：1； （2）存在， 设点P对应的数为x，由题可得： ①当点P在点A左侧时， ， ， 解得； ②当点P在点B右侧时， ， ， ， 解得， ③当点P在A，B两点之间时，由（1）可知，不合题意舍去， 综上所述：当或时，存在； （3）设t分钟后点P到点A、点B的距离相等． 点P对应的数为，点A对应的数为，点B对应的数为， ，， ， 或， 解得：或． 17．(1)，4 (2)①6 ②或 【分析】本题考查了数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键． （1）根据数轴上的数，确定每个格的长度，然后求出点所对应的数即可； （2）①根据动点的速度和轨迹，求出点所表示的数即可； ②分两种情况进行分析，根据点运动的时间，确定点P表示的数． 【详解】（1）解：通过数轴可得，点所表示的数是8， ∴每个格的长度为4， ∴点A表示的数为，点F表示的数为4， 故答案为：，4； （2）解：①点到达点G时用的时间为（秒）， 当时，点Q表示的数为； ②当点Q第一次到达点F时，所用时间为（秒）， 此时，点P表示的数为； 当点Q第二次到达点F时，所用时间为（秒）， 此时，点P表示的数为； 综上，点P表示的数为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $