5.3实际问题与一元一次方程（动点问题）专项练习2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程（动点问题）专项练习 一、单选题 1．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若点C到A、B两个点的距离相等，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．1 2．如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 3．一只蚂蚁从数轴的点A出发，沿数轴先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，恰好到达原点，则点A对应的数是（    ）. A．2 B． C．4 D． 4．若两个动点同时在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如表，则两点相距9个单位长度时，时间是（   ） 时间 0 4 点的位置 10 点的位置 12 A．1 B．1或3 C．2 D．2或4 5．如图，在长方形中，，点在上，且．动点以1个单位长度/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以同样的速度沿方向运动，到点停止运动，设点运动的时间秒． 在点、在运动过程中，阴影部分（即点、、、构成的图形）面积为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 7．如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（） A．0 B． C．或0 D．或 8．已知点A，点B分别是数轴上两点，点A对应，点B对应30，现有甲，乙两只蚂蚁分别从点A，点B同时出发，相向而行，甲蚂蚁的速度比乙蚂蚁的速度多2单位/秒，经过5秒它们相遇；若它们在点A，点B位置，同时向右而行，并在点D处相遇，则点D在数轴上的对应数为（    ） A．130 B．120 C．100 D．80 9．已知在数轴上点从原点出发，每次随机向左移动3个单位长度或向右移动2个单位长度．移动次后，点位于数字1上，则下列说法正确的是（   ） A．是奇数 B．是偶数 C．是3的倍数 D．是5的倍数 10．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 二、填空题 11．在数轴上，若一个数表示的点向右平移6个单位长度后得到它的相反数，则这个数是 ． 12．如图；在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数7，点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，当点运动至中点时， ． 13．数轴上点表示的数为，将点沿数轴先向数轴的正半轴移动8个单位长度，再向数轴的负半轴移动2个单位长度得到点，若数轴上表示的点到点与到点的距离相等，则的值为 ． 14．已知滑块沿滑槽从点向点运动，到达点会有一个短暂停留，然后滑块又从点运动到点．已知滑块长度为，某次滑块在滑槽内以的速度由点向点运动；当滑块右端点到达点时停顿，然后再以小于的速度匀速返回．设时间为时，．由点向点运动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数，从点到点与点到点整个过程总用时（含停顿时间）．在整个往返过程中，若，则的值是 ． 15．如图，在长方形中，，，点E在边上且，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以每秒的速度沿运动，再以每秒的速度沿运动，最终到达点设点P运动的时间是t秒，那么当 时，的面积等于 三、解答题 16．如图1，有一长，宽的科幻空间站长方形实验舱，动点P以每秒4个单位从A向B运动，同时点Q以每秒a个单位从B向C，运动，设点P运动时间为t秒，连接、．求： (1)_____（用t表示）； (2)当a为何值时，四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变； (3)如图2，若点P每运动1秒实验舱的M区显示结果就会自动加上4，同时N区会自动将整个代数式乘以2且均显示化简后的结果．已知M，N两区初始显示的分别是和（为正整数），若，试用作差法比较M区、N区显示结果哪个大． 17．如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒） (1)当时，点表示的有理数为______； (2)当点表示的有理数与原点的距离是2个单位长度时，求出的值； (3)在点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，求点与点的距离（用含的代数式表示）． 18．在长方形中，，，点以每秒的速度沿折线运动，点以每秒的速度沿折线运动．点、同时出发，当点到达终点时，点停止运动．设运动时间为（秒）． (1)①当点在上运动时，_______；（用含的代数式表示） ②当点在上运动时，_______．（用含的代数式表示） (2)当点、在运动过程中到点的距离相等时，求的值． (3)当点、到线段的距离相等时，求的取值范围． (4)当，直接写出的值． 19．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 20．粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的原点处放置了一台粒子加速器，点22处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹．带电粒子位于数轴上点，不带电粒子位于数轴上点．分别为对应点的值，满足为关于的三次三项式． (1)______，______； (2)两粒子在数轴上同时开始运动，从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．设为粒子的运动时间，为两粒子第一次相遇的时刻，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． ①求的值． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值；如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为2时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.3实际问题与一元一次方程（动点问题）专项练习2025-2026学年人教版数学七年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B B C C A D D 1．C 【分析】本题考查数轴上两点间距离，先用含a的式子表示出点C表示的数，再根据点C到A、B两个点的距离相等，列方程，解方程即可． 【详解】解：将点A向右平移2个单位长度，得到点C， 点C表示的数为， 点C到A、B两个点的距离相等， ， 解得， 故选C． 2．C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．由题意可知点P在上，根据题意可列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】解：根据题意可知点P在上，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：． 故当t的值为6时，点P追上点Q． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，设点A对应的数是x，根据运动方向及距离列方程，解方程即可． 【详解】解：设点A对应的数是x， 由题意知，， 解得， 故选D． 4．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据路程、速度、时间的关系，先求出A和B的速度，再得出A的位置为，B的位置为，利用距离为9建立方程求解． 【详解】解：点的速度，方向沿x轴的负方向， 点的速度，方向沿x轴的正方向， ∴t秒后，A的位置为，B的位置为， 由题意得， 解得或3． 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，点P在上运动时，，当点P在上运动时，，据此分别建立方程求解即可． 【详解】解：当点P在上运动时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在上运动时，， ∴， 解得（此时点P不在上，舍去）； ∴的值为， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为6或9； 故选：C． 7．C 【分析】本题考查一元一次方程解应用、数轴上的动点问题及两点间的距离，掌握分情况列方程是解题关键．分两种情况：当点与点相遇前及当点与点相遇后返回时，分别列方程，解出即可． 【详解】解：设点运动了秒时，， 表示的数为，点表示的数为8， ， 由题意得：点运动了秒时，点与点相遇 当点与点相遇前， 点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ， 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ， ， ， 解得：， 点表示的有理数为； 当点与点相遇后返回时， 点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ， 点从点出发，与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动， ， ， ， 解得：， 点表示的有理数为； 综上所述，点表示的有理数为或0， 故选：C． 8．A 【分析】设甲的速度为x单位/秒，则乙的速度为单位/秒，根据题意可得，相向而行，相遇时，甲乙的路程和等于点A和点B的距离，同时向右而行，相遇时，甲乙的路程差为点A和点B的距离，列出方程求解即可． 【详解】解：设甲的速度为x单位/秒，则乙的速度为单位/秒， ， 解得：， 则， ∴设甲的速度为6单位/秒，则乙的速度为4单位/秒， 设同时向右而行，经过t秒后相遇， ， 解得：， ∴点D表示的数为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系，利用数形结合思想解答是解题的关键． 9．D 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 设向左移动次数为，向右移动次数为，则总次数，最终位置为．联立方程可得，因此必须是5的倍数，才为整数． 【详解】解：点移动次后位于1，设向左移动次，向右移动次， ，且． 将代入得：，化简得． 为整数， 必须是5的倍数， 故选D． 10．D 【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可． 【详解】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t， ∵PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2，或2t−5＝2， 解得t＝或t＝； ②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t， ∵PB＝2， ∴|20−2t−5|＝2， ∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2， 解得t＝或t＝． 综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了相反数的定义，熟记概念并列出方程是解题的关键．设这个数是，然后根据相反数的定义列出方程求解即可得解． 【详解】解∶设这个数是，根据题意得， 解得． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用．：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，根据点运动至中点，列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点运动至中点， ∴， 解得：， 即当点运动至中点时，． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义是解题的关键． 根据点的移动得到点的坐标，利用数轴上两点距离公式列出方程，解绝对值方程即可． 【详解】解：点表示的数为，先向正半轴移动8个单位，再向负半轴移动2个单位，得到点表示的数为． 数轴上点到点与点的距离相等，即，化简得． 解绝对值方程： 当时，得，不成立； 当时，即，解得． 验证：时，点为，点为，点到点距离为3，到点距离为3，相等． 故答案为． 14．6或20 【分析】设，根据题意得出方程，求出，再求出往返的时间，再分情况讨论，得出相应的一元一次方程，即可解答． 本题考查一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法．根据题意得出方程是关键． 【详解】解：设， 则， 则； 则从到需要：， 则从到的速度为：， 当从到时，，则； 当从到时，，则，则总时间为 即或时，． 故答案为：6或20. 15．或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分点P在边上，点P在边上，且在点E左侧，点P在边上，且在点E右侧和点P在边上，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：，， ，， ①如图，当点P在边上时，， ， 解得； ②如图，当点P在边上，且在点E左侧时， ， ， 解得； ③如图，当点P在边上，且在点E右侧时， ， ， 解得， 不符合题意，舍去； ④如图，当点P在边上， ，， ， ， ， 则， 解得， 综上，当或或时，的面积等于7平方厘米． 故答案为：或或 16．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据四边形的面积=长方形的面积-三角形的面积-三角形的面积求解，然后整理即可得出结果； （3）根据题意得出，，然后用作差法比较即可． 【详解】（1）解：∵宽，动点P以每秒4个单位从A向B运动， ∴． 故答案为：； （2）四边形的面积=长方形的面积三角形的面积三角形的面积， 即 ， ∵四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变， ∴，即时，四边形的面积不会随运动时间的变化而变化； （3）当时，由题意得 ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 17．(1) (2)或或或 (3)（） 【分析】本题考查了数轴，利用了速度与时间的关系，分类讨论是解题关键． （1）根据P点的速度，有理数的加法，可得答案； （2）分四种情况分别求解； （3）分点P沿数轴由点A到点B，再回到点A，两种情况分别求解． 【详解】（1）解：当时，， 所以点P所表示的有理数是； 故答案为： （2）解：当点P表示的有理数与原点（设原点为O）的距离是2个单位长度时，则有以下四种情况： 当点P由点A到点O时：，即：， ∴； 当点P由点O到点B时：，即：， ∴； 当点P由点B到点O时：，即：， ∴； 当点P由点O到时：，即：， ∴ 即：当点P表示的有理数与原点的距离是2个单位长度时，t的值为或或或． （3）解：点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，点P与点A的距离分为2种情况： 当点P到达点B前点P与点A的距离是（）； 当点P到达点B再回到点A的运动过程中点P与点A的距离是：（）． 18．(1)①；② (2)秒或秒 (3) (4)秒或秒或秒 【分析】（1）①根据题意及线段的和差求解；②根据题意及线段的和差求解； （2）分两种情形：当点、均在上运动时；当点在上、点在上运动时，分别构建方程求解； （3）分两种情形：当点、均在上运动时；当点、均在上运动时，分别构建方程求解； （4）分三种情形：当点在上、点在上运动时；当点在上、点在上运动时；当点在上、点在上运动时，分别构建方程求解． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， ∴，， ∵点以每秒的速度沿折线运动，点以每秒的速度沿折线运动， ∴点从点运动到点的时间为：，点从点运动到点的时间为：， ∵点、同时出发，当点到达终点时，点停止运动，运动时间为， ∴， ①∵点以每秒的速度沿折线运动， ∴当点在上运动时，， 故答案为：； ②当点在上运动时，， 故答案为：； （2）解：当点、均在上运动时，，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上、点在上运动时，，， ∵， ∴， 解得：； 综上，当点、在运动过程中到点的距离相等时，的值为秒或秒； （3）解：当点、均在上运动时，点、到线段的距离为， ∵点以每秒的速度沿折线运动，点以每秒的速度沿折线运动， ∴点从点运动到点的时间范围为， ∵点从点运动到点的时间为：；从点运动到点的时间为：， ∴点从点运动到点的时间范围为， 此时的取值范围为； 当点、均在上运动时，当点、重合时，， ∵，， ∴， 解得：， 此时点、均在上，不符合题意； 综上，当点、到线段的距离相等时，的取值范围为； （4）解：∵，且和的底边都是， 设的边上的高为，的边上的高为， ∴， ∴， 当点在上、点在上运动时，则，， ∴， 解得：； 当点在上、点在上运动时，，， ∴， 解得：； 当点在上、点在上运动时，，， ∴， 解得：； 综上，当时，的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，动点问题等知识，利用分类讨论的思想及方程的思想解决问题是解题的关键． 19．(1)，，16 (2)当t为15或25时，A、B之间的距离为5 (3)1 【分析】（1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出a和b，再由与的数量关系求出c； （2）分别用含t的代数式表示出点A和B对应的数，再由A、B之间的距离列绝对值方程并求解即可； （3）分别求出点Q在、、、上的速度，并将对应的数用含t的代数式表示出来，并标明t的取值范围；根据P、Q两点相遇时，点P和Q表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点M表示的数即可． 【详解】（1）解， ，， ，， ，即， ． 答：，，． （2）解：经过t秒后，点A对应的数为，点B对应的数为， ， 当时，得，即或， 解得或． 答：当t为15或25时，A、B之间的距离为5． （3）解：点P在数轴上对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； ①当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； ②当点M在上时，得，解（不符合题意，舍去）； ③当点M在上时，得，解得； ④当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； 当时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为． 答：点M表示的数为． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及绝对值和偶次方的非负性质．利用绝对值和偶次方的非负性质求出a和b，用含t的代数式正确表示点A和B对应的数是本题的关键． 20．(1)10， (2)①；②的值不会发生变化，定值为54，理由见详解 (3)当为8或10或11或58或60时，与的距离为2 【分析】本题主要考查了动点问题、一元一次方程的应用、列代数式及多项式的定义等知识点，难点在于题目篇幅大，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据多项式的定义确定的值即可； （2）①根据追及问题列一元一次方程求解即可；②先根据分别得到表示的数为，表示的数为，进而表示出，，即可解答； （3）根据题意分情况表示出，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵为关于的三次三项式， ∴， ∴； 故答案为10，； （2）解：①由于不带电，所以经过加速器不变速，根据题意，得， 解得； ②不会发生变化，理由如下： 由①可知：，当两粒子第一次相遇时，此时点，表示的数为， ∴表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴； （3）解：，表示的数为10，， 从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，表示的数为，经过到挡板，此时，被弹回后经过22秒到达点，当时，表示的数为，到达点时速度变为每秒5个单位长度的速度，当时，表示的数为， 从点以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴经过秒到达挡板， ∴当时，表示的数为，被弹回，即时，表示的数为， ①当时，， 解得：或； ②当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； ③当时，， 解得：（舍弃）； ④当时，， 解得：或； 综上，当为8或10或11或58或60时，与的距离为2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $