第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元复习卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 1．设，，则M与N的大小关系为( ) A. B. C. D. 2．若，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 3．若，则( ) A. B. C. D. 4．已知，，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5．已知，，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 6．设,,,则下列说法错误的是( ) A.ab的最大值为 B.的最小值为 C.的最小值为9 D.的最小值为 7．已知,则( ) A. B. C. D. 8．设,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多项选择题 9．若正实数x,y满足,则下列说法正确的是( ) A.xy有最大值为 B.有最小值为 C.有最大值为 D.有最大值为 10．已知关于x的不等式的解集为或,则( ) A. B. C.不等式的解集为 D.不等式的解集为 11．已知,,且,则( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．已知,函数有最小值,则_________________. 13．若不等式对一切恒成立,则a的取值范围为___________. 14．命题,使得成立,若P是假命题,则k的取值范围是________________. 四、解答题 15．(1)已知,求的最小值； (2)若,求的最大值； (3)已知,,,求的最小值. 16．某洗衣店今年年初，用36万元购进一台新设备.已知使用x年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入32万元.设该设备使用x年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入-成本-总维护费用）. (1)该店从第几年开始盈利？ (2)若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以22万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利=盈利总额+设备卖出价格） 17．如图,某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地,设该矩形菜地的长为x米,宽为y米. (1)当该菜地的长为何值时,该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. (2)求的最小值. 18．已知函数，当时，；当或时，. （1）求当时y的取值范围； （2）当c为何值时，对恒成立？ 19．已知. （1）若，求当函数值时，自变量x的取值范围； （2）若对任意的恒成立，求实数a的最大值. 参考答案 1．答案：D 解析：因为，所以.故选D. 2．答案：C 解析：对于A，，因为，所以，， 所以，即，即，故A错误； 对于B，， 因为，所以，，但与1的大小不确定，故B不一定成立，故B错误； 对于C，， 因为，所以，，， 所以，即，于是有，故C正确； 对于D，，因为， 所以，，，所以，即， 于是有，故D错误.故选C. 3．答案：D 解析：对于A，若，，满足，但不成立，故A错误. 对于B，若，，满足， ，，不成立，故B错误. 对于C，当时，不成立，故错误. 对于D，当时，，，显然成立； 当时，，又，，故成立； 当时，，，显然成立. 故当时，总有成立，故D正确. 4．答案：B 解析：设， 则有解得所以. 因为，，所以，所以，故选B. 5．答案：C 解析：因为，，所以，，则，故选C. 6．答案：D 解析：因为,,, 则,当且仅当时取等号,所以选项A正确； 因为, 故,当且仅当时取等号,即最小值,所以选项B正确； , 当且仅当且即,时取等号,所以选项C正确； , 故,当且仅当时取等号,即最大值,所以选项D错误. 故选：D. 7．答案：C 解析：对于A,当时,,故A错误； 对于BD,取,此时, ,故BD错误； 对于C,由基本不等式可得,故C正确. 故选：C. 8．答案：A 解析：求解二次不等式可得：或, 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 9．答案：AB 解析：对于A:因为,则,当且仅当,即时取等号,故A正确, 对于B,=,当且仅当,即时取等号,故B正确, 对于C:因为,则,当且仅当,即时取等号,故C错误, 对于D:因为,当且仅当,即时取等号,这与x,y均为正实数矛盾,故D错误, 故选:AB. 10．答案：BCD 解析：A：因为关于x的不等式的解集为或, 所以和3是方程的两个实根,且对应的二次函数图象开口向下,则,错； B：由A得,,所以,, 因为,,所以,对； C：不等式可化为,因为,所以,对； D：不等式可化为,又, 所以,即,解得,对. 故选：BCD. 11．答案：AB 解析：对于A,,,当且仅当时等号成立,故A正确； 对于B,C,由,可得,当且仅当时等号成立,故B正确,C错误； 对于D,,,, ,当且仅当时等号成立,故D错误. 故选：AB. 12．答案： 解析：当时,不等式对一切恒成立,符合题意； 当时,令,由题意函数图象位于x轴上方, 所以有,解得：, 综上,a的取值范围为：. 故答案为：. 13．答案： 解析：因为P是假命题,所以是真命题,即,使得恒成立. 当时,结合二次函数的图象可知不能恒成立； 当时,不等式恒成立； 当时,需使,解得. 综上：可得k的取值范围为. 故答案为：. 14.. 15．答案：(1)9 (2) (3)6 解析：(1), 当且仅当,即时取等号,所以的最小值为9； (2)因为,所以,所以, , 当且仅当,当且仅当时等号成立, 所以的最大值为； (3)由,得, 所以,所以, 所以或,又,,所以, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为6. 16．答案：(1) (2)答案见解析. 解析：(1)因为恒成立, 当时,恒成立,则； 当时,则,解得, 所以a的取值范围是. (2)由,得, 当时,即当时,解得； 当时,即当时,原不等式无解； 当时,即当时,解得, 所以当时,原不等式的解集为； 当时,原不等式的解集为； 当时,原不等式的解集为. 17．答案：(1)第二年 (2)40万元 解析：（1）由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. （2）设年平均利润为， 则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元. 17．答案：(1)10米,50平方米 (2) 解析：(1)由题意得,都为正数, 该菜地的面积为, 当且仅当时,等号成立, 当该菜地的长为10时,该菜地的面积取得最大值,最大值为50平方米. (2),都为正数, , 当且仅当,又, 即时,等号成立, 的最小值为. 18．答案：（1）y的取值范围为 （2）当时，对恒成立 解析：（1）由题意知函数的图象是开口向下，交x轴于点和的抛物线，对称轴方程为.则将，代入原式，得 解得或 经检验知不符合题意，舍去. 所以. 由题意知，在内，y随x的增大而减小，当时，，当时，. 所以当时，y的取值范围为. （2）由（1）知，要对恒成立， 即要的解集为R， 则需要方程的根的判别式， 即，解得， 所以当时，对恒成立. 19．答案：（1）当函数值时，自变量x的取值范围为，或 （2）a的最大值为 解析：（1）当时，，因为， 所以，解得或， 所以当函数值时，自变量x的取值范围为，或. （2）因为对任意的恒成立，即， 又由，当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值，所以，即实数a的最大值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $