43-第五章 三角函数 章末综合检测（五）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

章末综合检测（五） （时间：120分钟,满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知圆心角为 的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，所以该扇形的半径为 ，因此该扇形的面积为 . 2．设，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】选．. 3．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，则. 4．如图，一个半径为的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点到水面的距离为在水面下则为负数，则单位：与时间单位：之间满足关系式：，,且当点从水面上浮现时开始计算时间，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题图可知 的最大值为15，最小值为，所以 解得 所以，正确; 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要，即周期为15，所以，得， 所以 正确； 由题意，当 时，，即，，所以，所以 错误． 5．设 ，,,则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意 , , , 因为 , 所以 ， 即有. 6．已知,是定义在上的偶函数，且最小正周期 ，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】选.因为函数 的周期 ， 所以 ，解得， 因为函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，, 因为，所以， 所以 ， 所以 . 7．已知函数，，，且在区间,上单调，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意知，，则，， 因为，，所以，，又因为 在区间,上单调，所以，解得， 则 的最大值为. 8．若 ， 是锐角，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.若， 则， 所以 ， 所以， 即， ， 若使得 取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当， 即 时取等号. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．以下说法中正确的是（ ） A. 若角 是锐角，则 是第二象限角 B. C. 在中， D. 若角 ， 终边关于轴对称，则 【答案】BC 【解析】选.对于，因为，则 ，故 不一定是第二象限角，错误； 对于,，故 正确； 对于,在 中，，故 正确； 对于,若角 ， 终边关于 轴对称，则，故 错误. 10．已知 ， 为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.因为 , 为锐角， ， 可得，① 由， 得，② 由①②得， 又，得， 则，正确； ，正确； 又，， ， 从而，正确； 由 知，则有 ，， ,, ， 又，则，所以，错误. 11．已知函数，对任意，恒有，且在,上单调递增，则（ ） A. B. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 C. 为奇函数 D. 在,上的最大值为 【答案】ACD 【解析】选.由题意可知， ， 因为对任意， 恒有， 所以 是函数 的一个最值点，即 ，，解得，， 当,时，,，又函数 的单调递增区间为 ,，，所以, ,，， 即 解得， 当 时，，此时，符合题意，所以，，故 正确； 对于，的图象应由 向右平移 个单位长度得到，故 错误； 对于，，为奇函数，故 正确； 对于，由 得，所以，即函数 在 上的最大值为，故 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．） 12．在平面直角坐标系中，已知角 的终边经过点，若角 的终边与角 的终边关于轴对称，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】已知角 的终边经过点， 则, . 若角 的终边与角 的终边关于 轴对称， 则， , 则. 13．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值为_ _ ． 【答案】 【解析】， 所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到， 向左平移 个单位长度，得到函数， 因为 为偶函数，且，所以 ，,解得 ,， 故 的最小值为 . 14．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形.是扇形弧上的动点，是扇形的内接平行四边形，则四边形面积的最大值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图，作 于点，作 于点，连接, 则矩形 的面积等于平行四边形 的面积， 设 ，, 则 , , 在 中，， , 所以， 所以矩形 的面积为 . 因为，所以， 当，即 时，矩形 面积的最大，为， 所以平行四边形 面积的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）已知 是第三象限角，且. （1） 化简；（6分） （2） 若，求 的值．（7分） 【答案】 （1） 解： ， 即 . （2） 由 得， 又 是第三象限角， 所以. 16．（本小题满分15分）设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.求： （1） 的单调区间；（7分） （2） 不等式的解集.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意知，函数 的最小正周期为，即，因为，所以， 从而， 因为函数 的图象关于点 对称，所以，， 即，. 因为， 所以，故. 令 ，， 得,，所以函数 的单调递增区间为，，无单调递减区间. （2） 由（1）知，. 由， 得 ,，即,， 所以不等式 的解集为,. 17．（本小题满分15分） 已知函数的部分图象如图所示. （1） 求函数的解析式；（7分） （2） 将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：由题图可知，. 因为，所以， . 代入 有 ， 即， 所以， 即， 又因为，所以， 所以. （2） 由题意知变换后， 当 时， 令， 即， 函数 在 上单调递减，此时，即，函数 在 上单调递增，此时，即，有两个不同实数解等价于 有两个不同实数解. 所以当 时符合题意，即实数 的取值范围为. 18．（本小题满分17分）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取两点，，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道．设 ，且. （1） 求塑胶跑道的总长关于 的函数关系式；（8分） （2） 当 为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值．（9分） 【答案】 （1） 解：由已知得， ， 故 ， 所以 ， . （2） 由（1）知， ，， 所以当且仅当，即 时，取得最大值10千米． 19．（本小题满分17分）已知函数,,只满足以下四个条件中的三个：的最小正周期为 ；②函数图象的两条对称轴之间的最小距离为；；. （1） 请找出这三个条件并说明理由，求出函数的解析式；（6分） （2） 求在上的单调递增区间；（5分） （3） 若函数在上的值域为，求实数的取值范围.（6分） 【答案】 （1） 解：由②，得函数 的最小正周期为 ，所以①②相互矛盾， 若选①③④，则，由， 得，又，解得， 这时，, 得，与所选条件矛盾，故选②③④， 由②，得，由， 得，由， 解得. 这时，, 满足. 由，得， 所以. （2） 由 ，,解得 ,. 又，所以 或 . 所以 在 上的单调递增区间为,,,. （3） 由（2），得函数 在,上单调递增，在,上单调递减， 且，， 要使函数 在 上的值域为，则. 即实数 的取值范围为,. 183/305 学科网（北京）股份有限公司 $