专题02 圆中重要模型之四点共圆（几何模型讲义）数学湘教版九年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理圆中四点共圆的四大核心模型，包括定点定长、定边对双直角、定边对定角及对角互补模型，每个模型从定义、条件到结论层层递进，清晰呈现知识脉络与内在逻辑。 讲义亮点在于“模型-真题-应用”的三阶练习设计，如定边对定角模型结合中考真题证明四点共圆，培养推理能力与模型意识。例题解析详细，分层练习满足不同学生需求，助力自主复习，也为教师提供精准教学依据。

专题02 圆中重要模型之四点共圆 四点共圆指的是平面上四个点位于同一圆的圆周上。对于平面上四个互不相同的点A，B，C，D，若存在一点使得OA=OB=OC=OD，则称A，B，C，D四点共圆。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 7 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 7 2.定边对双直角共圆模型 8 3.定边对定角共圆模型 8 4.对角互补共圆模型 9 模型运用 9 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 9 模型2.定边对双直角共圆模型 13 模型3.定边对定角共圆模型 16 模型4.对角互补共圆模型 21 25 在古老的几何王国里，四位骑士——阿圆、阿角、阿弦和阿垂——围坐在一张破旧的木桌旁，桌上散落着羊皮纸和羽毛笔。他们以解决数学谜题为乐，但最近被一个难题困扰：如何证明四个点一定共圆？国王承诺，谁先解决，就将获得“智慧勋章”。 一天，阿圆盯着桌上的菱形图案（由骑士们用木棍拼成），灵光一闪：“对角互补！如果四边形对角和为180°，那四点必共圆。”他迅速在纸上画图，证明菱形对角线交点与各边中点形成的四边形对角互补。其他骑士点头称是，但阿角摇头：“这方法太局限，要是点不构成四边形呢？” 这时，阿弦提议：“用同侧共底边顶角相等！看这个等腰直角三角形——”他指着斜边中点与两直角顶点，“顶角都是直角，肯定共圆。”阿垂却皱眉：“但我们需要更通用的方法。” 阿垂站起身，拿起中垂线工具：“试试中垂线交点！作三边中垂线，交点必是圆心。”他演示了菱形案例，证明中垂线交点与四点距离相等，骑士们欢呼。然而，阿圆提醒：“若点分散在复杂图形中，这方法计算繁琐。” 突然，远处传来消息：王国边境的农田被洪水淹没，农民们需确定四个地标点是否共圆，以便重建圆形围栏。骑士们立刻出发。阿弦用相交弦定理逆定理，连接地标点形成线段，证明乘积相等，确认共圆。农民们竖起大拇指。 回宫路上，阿角感慨：“每种方法都有用武之地！”国王颁发勋章时总结：“对角互补直观，中垂线交点精确，相交弦定理灵活——几何之美在于多样性。”从此，骑士们将模型编成口诀，传颂王国：‌“对角互补定共圆，中垂交点圆心现；弦定理逆灵活用，四点共圆笑开颜。” 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（24-25·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 例2（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 例3（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，中，，点为边的中点，沿直线翻折至所在平面内得，与交于点．若，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 例4（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2023·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 例2（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3（2025·山东日照·三模）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（2024·广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 例3（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 例4（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求的度数； ②利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 模型4.对角互补共圆模型 例1（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 例2（23-24九年级上·山东济宁·期中）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线． 例3（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：A、D、B、E四点共圆． 1．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A．68° B．88° C．90° D．112° 2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023下·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于，若，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 4.（2024·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点O为线段的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若，则的度数是（    ） A．32° B．140° C．29° D．61° 7．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）如图放置的两个正方形，大正方形的边长为，小正方形的边长为，点在边上，且，连接，，交于点，将绕点旋转至，将绕点旋转至，下列结论： ①；②；③；④，，，四点共圆．其中结论正确的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④ 8．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则 ； ②若，则四边形的面积最大值为 ． 9．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆” (1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________： (2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积； (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，． ①求证：A，D，B，E“四点共圆”；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由． 10．（24-25·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 11．（2024·江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止． 问题提出：如图2．（1）当时，点A的坐标为__________；（2）在运动过程中，求的最大值； 问题探究：（3）如图3，点P为线段上一点，． ①在运动过程中，的值是否会发生改变，如果不变，请求出其值，如果改变，请说明理由； ②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程． 12．（2024·重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 13．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得： 引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆． 例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得： 引理2线段同旁张等角，四点共圆． 例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接． (1)可求得______°，______°；(2)请判断的形状并证明；(3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度；(4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究． (1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，． ①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________；②__________ (2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价． 15．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且．求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】（3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 16．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分． (1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长； (2)如图（2），当时，直接写出的值． 17．（2024·广西柳州·二模）综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________； 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长． 18．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出  如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用  如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展  如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 19．（2024·江苏盐城·二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1． （1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积； （3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值． 20．（2025·河南·校考一模）综合与实践：小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．    【反思归纳】(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：______；依据2：______． 【拓展延伸】(2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论． ①请你帮小明证明；②当为直角三角形，且时，请直接写出的长． 21．（23-24九年级上·陕西西安·期末）问题提出 （1）如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小颖同学认为：连接，取的中点，连接、来证明，请你按照小颖的思路完成证明； 问题解决 （2）如图②，在正方形中，，点是的中点，点是边上一点，连接、，过点作于点，当点在线段上时，求线段的长．      16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中重要模型之四点共圆 四点共圆指的是平面上四个点位于同一圆的圆周上。对于平面上四个互不相同的点A，B，C，D，若存在一点使得OA=OB=OC=OD，则称A，B，C，D四点共圆。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 7 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 7 2.定边对双直角共圆模型 8 3.定边对定角共圆模型 8 4.对角互补共圆模型 9 模型运用 9 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 9 模型2.定边对双直角共圆模型 13 模型3.定边对定角共圆模型 16 模型4.对角互补共圆模型 21 25 在古老的几何王国里，四位骑士——阿圆、阿角、阿弦和阿垂——围坐在一张破旧的木桌旁，桌上散落着羊皮纸和羽毛笔。他们以解决数学谜题为乐，但最近被一个难题困扰：如何证明四个点一定共圆？国王承诺，谁先解决，就将获得“智慧勋章”。 一天，阿圆盯着桌上的菱形图案（由骑士们用木棍拼成），灵光一闪：“对角互补！如果四边形对角和为180°，那四点必共圆。”他迅速在纸上画图，证明菱形对角线交点与各边中点形成的四边形对角互补。其他骑士点头称是，但阿角摇头：“这方法太局限，要是点不构成四边形呢？” 这时，阿弦提议：“用同侧共底边顶角相等！看这个等腰直角三角形——”他指着斜边中点与两直角顶点，“顶角都是直角，肯定共圆。”阿垂却皱眉：“但我们需要更通用的方法。” 阿垂站起身，拿起中垂线工具：“试试中垂线交点！作三边中垂线，交点必是圆心。”他演示了菱形案例，证明中垂线交点与四点距离相等，骑士们欢呼。然而，阿圆提醒：“若点分散在复杂图形中，这方法计算繁琐。” 突然，远处传来消息：王国边境的农田被洪水淹没，农民们需确定四个地标点是否共圆，以便重建圆形围栏。骑士们立刻出发。阿弦用相交弦定理逆定理，连接地标点形成线段，证明乘积相等，确认共圆。农民们竖起大拇指。 回宫路上，阿角感慨：“每种方法都有用武之地！”国王颁发勋章时总结：“对角互补直观，中垂线交点精确，相交弦定理灵活——几何之美在于多样性。”从此，骑士们将模型编成口诀，传颂王国：‌“对角互补定共圆，中垂交点圆心现；弦定理逆灵活用，四点共圆笑开颜。” 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 2．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45° (3)①见解析；②不发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） 点，，，四点在同一个圆上 故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2）在线段同侧有两点，， 四点共圆， 故答案为： （3）①∵， ， 点与点关于对称， ， ， 四点共圆； ②，理由如下， 如图， 四点共圆， ， 关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（24-25·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 【答案】D 【详解】如图，以点O为圆心，长为半径作圆． 由题意可知：．即点A、B、C、D都在圆O上． A．∵，∴，故A不符合题意；B．∵，∴，故B不符合题意； C．∵四边形是的内接四边形，∴，故C不符合题意； D．∵和不一定相等，∴和不一定相等， ∴不一定平分，故D符合题意．故选：D． 例2（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【分析】由四点共圆，得到，再证明，得到与的比，延长到，使，得到为等边三角形，在证明出，证出与，利用即可求出． 【详解】解：，， 、、、四点共圆， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长到，使， ， 为等边三角形， ， ， ， 设每一份为， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质、等边三角形的性质等知识点的应用，四点共圆的应用及相似比的转化是解题关键． 例3（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，中，，点为边的中点，沿直线翻折至所在平面内得，与交于点．若，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，先由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到；由折叠的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程得到，解方程求出，则，即可得到，求出，再证明，则点到的距离是． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 由折叠的性质可得 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离是， 故选：B． 例4（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析； 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴， ∴A、D、E、C四点共圆，∴，∴，∴是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2023·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，作射线， 是等边三角形，，， ，点，点，点，点四点共圆，， 点在的角平分线上运动，当时，的长度有最小值， ，，的最小值为，故选：B． 例2（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．由，知点在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴点Q在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 例3（2025·山东日照·三模）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，证明，推出，则点在以为直径的圆上运动，设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点，此时有最小值，等于的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ，， 又， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点， 此时有最小值，等于的长， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（2024·广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，∴A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，如图， ∵，，，∴，， ∵，∴， ∴，设，则，则，解得， ∵，∴， ∴，即，解得，故选：A． 例2（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 【答案】见解析 【详解】解：如图，连接， ，为等腰三角形，， 又∵，∴为中点，∴垂直平分，，∴，， 又，为等腰三角形，，∴，∴A，，，四点共圆． 例3（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 例4（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求的度数； ②利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】 （1）①根据全等三角形的性质可得，根据，进而得出，即可得出； ②根据四边形对角互补，可得四点共圆； （2）连接，过点D作于点H，勾股定理求得，进而得出，根据四点共圆，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ， ， ， ， ； ②证明： ， ， ， 四点共圆； （2）解：如图，连接，过点D作于点H， ， ， ，， ，， 四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，圆内接四边形对角互补，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 模型4.对角互补共圆模型 例1（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【详解】解：，，、、、四点共圆， 平分，，，，， ，，，如图，延长到，使， ，为等边三角形，，，， 设每一份为，，，，，．故选：C． 例2（23-24九年级上·山东济宁·期中）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）旋转，得到，，进而得到，证明，推出，即可得证； （2）连接，等边对等角，得到，圆周角定理，得到，根据三角形的内角和定理，推出，即，即可得证． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A，E，B，D四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，圆周角定理，切线的判定．掌握相关性质和定理，是解题的关键． 例3（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：A、D、B、E四点共圆． 【答案】（1）10°；（2）见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度数； （2）由旋转的性质得到∠ABC＝∠AED，由四点共圆的判定得出结论． 【详解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠C＝50°， ∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°， ∴∠BAD＝50°－40°＝10° 证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE， ∴∠ABC＝∠AED， ∴A、D、B、E四点共圆． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等． 1．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A．68° B．88° C．90° D．112° 【答案】B 【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC， ∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，  ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，  ∴∠CAD=88°， 2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求解，可得，，即，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；证明，故④符合题意；证明， 可得为等边三角形．故⑤符合题意；证明在以为圆心，为半径的圆上，可得，，，故③不符合题意；从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，∴，故①符合题意； ∵，∴，∴，故②符合题意； ∵点D是的中点，，∴，故④符合题意； ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形．故⑤符合题意； ∵点D是的中点，，∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上，∴，， ∴，故③不符合题意；故选C 3．（2023下·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于，若，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，推出，根据相似三角形的性质得到，当时，有最大值，根据勾股定理得到，由垂径定理得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：如图1，过点作于， ，，，， ，，，，四点共圆， 设的中点为，连接，当时，有最大值， 如图2，当点是中点时，，为定值， 的值最大，的值最大，此时，，共线． ，， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故选：B． 4.（2024·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，，，， ，，，， ，，， ，即，，， ，、、、四点共圆，，， ，，．故选：． 5．（24-25·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①由旋转的性质可知：， 即 故①正确 ②设相交于点,如图：由①，可得， 又故②正确 ③，可知四点共圆， 则即故③正确 ④设到的距离为， ，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大， 由③可知是等腰三角， ,当点到的距离最大时即当时，最大 即当旋转角度时，过作于点，如图， 由②可知由③可知, ；由①可知 在中，，； 在中，, 在中， 故④不正确 综上所述：①②③正确，共计3个 故选C 6．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点O为线段的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若，则的度数是（    ） A．32° B．140° C．29° D．61° 【答案】B 【详解】如图，∵点A、C、D到点O的距离相等，∴OA=OD=OC， ∵点O为线段的中点，∴OC=OB，∴OA=OB=OC=OD， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的圆上，即⊙O为四边形ABCD的外接圆，∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B． 7．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）如图放置的两个正方形，大正方形的边长为，小正方形的边长为，点在边上，且，连接，，交于点，将绕点旋转至，将绕点旋转至，下列结论： ①；②；③；④，，，四点共圆．其中结论正确的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，然后根据旋转的性质可得，从而判断①；利用即可证出从而判断②；先证出四边形是正方形，然后根据勾股定理即可判断③；根据圆周角定理，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵绕点旋转至， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵将绕点旋转至， ∴，∵， ∴， 在与中， ， ∴；故②正确； ③∵绕点旋转至， ∴， ∵将绕点旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 在中，， ∴；故③正确； ④如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴点M，D都在以为直径的圆上， ∴A，M，P，D四点共圆，故④正确． 故选：C． 【点睛】此题考查的是正方形的性质及判定、旋转的性质、全等三角形的判定及性质和圆周角定理，掌握正方形的性质及判定、旋转的性质、全等三角形的判定及性质和圆周角定理是解决此题的关键． 8．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则 ； ②若，则四边形的面积最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）证明点G是的重心，可得结论； （2）由为等边三角形，故可得出的度数，再由菱形的性质求出的度数，由三角形外角的性质得出点B、C、D、G四点共圆，推出是直径时，四边形面积最大． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴点G是的重心， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵为等边三角形． ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B、C、D、G四点共圆， ∴当是直径时，四边形的面积最大， 最大面积为． 故答案为：． 9．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆” (1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________： (2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积； (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，． ①求证：A，D，B，E“四点共圆”；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)①③④(2)(3)不变，8 【详解】（1）解：∵，∴A，B，C，D“四点共圆”，故①正确； ∵，，∴，∴A，B，C，D“四点共圆”，故③正确； ∵，∴， 又，∴，∴，∴A，B，C，D“四点共圆”，故④正确； 根据②的条件无法判定A，B，C，D“四点共圆”．故能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有①③④． （2）解：对于，当时，则，当时，则，解得， ∴，，∴，又，∴， ∵A，B，C，D“四点共圆”，∴， 又，∴，∴，∴， ∵A，B，C，D“四点共圆”，∴， 又，，∴，∴， ∴； （3）①证明：∵，∴， ∵点E与点C关于的对称，∴，， ∴，，∴， ∴，∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接， ∵点E与点C关于的对称，∴，∴， 又，∴，∵A，D，B，E四点共圆， ∴，∴，∴A，B，F，C四点共圆，∴， ∵，∴，∴，∴． 10．（24-25·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，，∴，∴． （2）解：由（1）可知，，∴， 在，， ∴在中，，∴； ∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示， ∵，，∴是等腰直角三角形，即， ∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，∴，故答案为：，． （3）解：如图所示，取的中点，连接， 由（2）可知，，，∴在中，点是的中点， ∴根据定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且， ∵是外角，∴， 在中，，∴， ∴是等腰三角形，即，∴，∴． 11．（2024·江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止． 问题提出：如图2．（1）当时，点A的坐标为__________；（2）在运动过程中，求的最大值； 问题探究：（3）如图3，点P为线段上一点，． ①在运动过程中，的值是否会发生改变，如果不变，请求出其值，如果改变，请说明理由； ②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程． 【答案】（1）；（2）；（3）①不变，2；② 【详解】解：（1）如图，过A作轴与E， ∵，，，∴，， ∵，∵， ∴，∴，， ∴，∴A点坐标为：，故答案是：． （2）如图，取中点，连接、， 在中，∵M为斜边中点，∴，，， 当O、M、A三点不共线时，根据， 当 O、M、A三点共线时，时，∴，即， ∴当 O、M、A三点共线时，取最大值，最大值为． （3）①不变，∵，， 有，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴点B、O、C、P四点共圆，都在以为直径的圆上，∴， 而为定值． ②由①可知为定值，∴点在直线上运动， 由①知，点到轴的距离从到最大为，再回到距离为直到， ，当从运动到轴时，其坐标为， ∵，这时点从运动到轴，再回到经过的路径长为， ∵、，∴，∴点经过的路径长为． 12．（2024·重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)，理由见详解(3) 【详解】（1）解：设，则，∵，∴， ∴，解得：，∴，则（负值舍去）； （2）解：过点C作的平行线交于点G， ∵ ，， ∴A、C、E、B四点共圆， ∴，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，， ∴，，，∴，， 又∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接， 由题意得：，∵， ∴，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，，则， ∵，∴ ∴， ∵点K为中点，且∴，∵，∴，∴， 而，点K为中点，∴， 在中，，由勾股定理得，∵，∴， ∴，当O、P、K三点共线时，等号成立，∴的最小值为． 13．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得： 引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆． 例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得： 引理2线段同旁张等角，四点共圆． 例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接． (1)可求得______°，______°；(2)请判断的形状并证明；(3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度；(4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)30；60(2)为等边三角形，见解析(3)(4) 【详解】（1）解：过点作于点，∴，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：30；60； （2）解：为等边三角形，理由如下：如图：∵为等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴点四点共圆， ∴，∴，∴， ∴四点共圆，∴，∴， ∴，∴为等边三角形； （3）解：在上取一点，使得，过点作于点， ∵，∴，∴为等边三角形，∴，， ∵为等边三角形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵等边，，∴，， ∴由勾股定理得，由（1）得，∴，∴， ∴， ∴ ∴当时，，此时点重合，如图： ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴共线， ∵∴，∴； （4）解：延长并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵是直径，为圆心，∴，∴ ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴当最大时，最小， ∴当为直径时，最大，，此时． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究． (1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，． ①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________；②__________ (2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价． 【答案】(1)①是；②(2)，元 【详解】（1）解：①：∵四边形为矩形，∴， ∵，∴，∴A、B、C、E四点共圆，故答案为：是； ②∵，平分，∴， ∵A、B、C、E四点共圆，∴，∴，故答案为：； （2）解：延长交于点H，连接，过点M作于点R，过点M作于点J，连接并延长交于点K，过点H作于点Q， ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∵，，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴，∴平分，∴， ∵点N为中点，，∴，∴点N在以点H为圆心，为半径的上运动， ∵，∴当点M与点Q重合，点N与点T重合时，最小即为， ∵在中，，，∴， ∴，∴最低造价为：元， 当点M与点Q重合时，如图： ∵，，，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∵，∴， ∵，∴，∴． 15．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且．求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】（3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【详解】（1）证明：，， ，，，A、B、C、D四点共圆； （2）如图，过作交于，，， ，，， ，，，， 四边形是的内接四边形，， ，，， y关于x的函数关系式； （3）延长至，使得，连接、， ，,，， ，，， ，，如图，作轴交于，轴交于， 当、、三点共线时，的值最小，此时，即， ，，，， ，， 轴，轴，，， ，，， ，，解得：，， ，，，， ，；故k的值为． 16．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分． (1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长； (2)如图（2），当时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】（1）①∵∴ 又∵∴ ∴，∴， ∴； ②∵当时，∴∴， ∵∴，是等腰直角三角形 ∵∴，即∴ ∵∴ ∵平分∴∴ ∵∴ ∵∴∴ ∵∴∴； （2）如图所示，连接， ∵∴， ∵∴， 同（1）可得，∴ ∴设，则同（1）可得， ∴∴∴． 17．（2024·广西柳州·二模）综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________； 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或 【详解】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则，又∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上，∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：； （2）①证明：∵在中，，∴， 图3 图4 ∵，∴，∴，，，四点共圆，∴， ∵，∴，∴， ∵旋转得，∴，∴，∵，∴； ②如图，当时，∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，又∵，，， ∴，∴； 如图中，当时，过作交于， ∵，，∴，∵，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴． 18．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出  如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用  如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展  如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 【答案】见解析 【详解】解：问题提出：证明：∵，，将绕着点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即：， 在与中，，∴． 尝试应用：延长，使，连接， ∵为等腰直角三角形，∴，， 又∵，即：，∴、、、四点共圆， ∴，∴， 在与中，，∴．∴，， ∴，即：， ∴ ∵∴，∴ 即：． 问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形， ∴，， ∵，∴、、、、五点共圆， 则：，，， ，， 又∵，∴，∴， ∵，，，∴∴， ∵，，，∴∴， ∴，则，作交于，则， ∵，∴， ∴，则：． 19．（2024·江苏盐城·二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1． （1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积； （3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值． 【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为，△ABD的面积为；（3） 【详解】（1）证明：如图，连接OD、OC， 在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝OA＝OB， 在Rt△ABD中， ∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）解： △ABC的面积为；△ABD的面积为 （3）解： 是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点 ∵DF∥BC ∵ ∴△DEF∽△CEB，∴又得． 20．（2025·河南·校考一模）综合与实践：小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．    【反思归纳】(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：______；依据2：______． 【拓展延伸】(2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论． ①请你帮小明证明；②当为直角三角形，且时，请直接写出的长． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)①见解析；② 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补； 依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）①证明：∵将绕点逆时针旋转，得到，       ∴∴ ∵旋转角相等，即∴ 又∵，∴， 设，则， ∵在中，，，∴ ，∴，即， ∵∴∴四点共圆∴ 又∵，∴， ②当为直角三角形，只有一种情形，如图所示，过点作于点， ∵∴是等腰直角三角形，∵，则，即是等腰直角三角形， ∵ ∴∴ ∵∴ ∵∴∴ 在中，； 21．（23-24九年级上·陕西西安·期末）问题提出 （1）如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小颖同学认为：连接，取的中点，连接、来证明，请你按照小颖的思路完成证明； 问题解决 （2）如图②，在正方形中，，点是的中点，点是边上一点，连接、，过点作于点，当点在线段上时，求线段的长．      【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接，取的中点，连接、．证明，可得结论； （2）利用正方形的性质和勾股定理求得，由，证明四点共圆，求得，推出是等腰直角三角形，据此计算可得结论． 【详解】（1）证明：如图①中，连接，取的中点，连接、． ，， ，， ， ，，，四点共圆； （2）解：∵在正方形中，，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $