精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

重庆八中2026届高三11月期中考试 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分， 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将A中的元素代入B中的解析式，求出B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B． 【详解】∵集合， ∴， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题主要考查交集的定义及求解，涉及指数函数的值域问题，属于基础题． 2. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律、数量积的坐标表示列式求解. 【详解】向量 ，由，得， 所以. 故选：C 3. 已知焦点在 轴的椭圆经过点 ，且长轴长是短轴长的3 倍，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在轴上，再根据顶点坐标和关系即可得到答案. 【详解】设椭圆的标准方程为，因为椭圆经过点，且长轴长是短轴长的3 倍， 所以，所以椭圆的标准方程为. 故选：D． 4. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 162 B. 54 C. 32 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用，结合等比数列定义求解. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而，解得， 因此数列是首项为2，公比为3的等比数列，. 故选：B 5. 直线 与圆 交于 两点，若 是直角三角形，则 （ ） A. 1 B. ±1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径，再求出圆心到直线距离，利用直角三角形特征列式求解. 【详解】依题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离，由是直角三角形，得， 因此，所以. 故选：D 6. 已知函数 是定义域为 的偶函数，满足 ，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法结合题目所给条件即可判断. 【详解】对于A：代入得，若， 则无意义，由题干知 是定义域为的函数， 与无意义矛盾，故A错误； 对于B：代入，得， 与A选项相同，故B错误； 对于C：由（①）可得（②）， 联立①②可得，用代换得（③）； 是定义域为的偶函数，所以， 用代换得（④），联立③④得（⑤）， 用代换得，故C正确； 对于D：若 是偶函数，则易得关于对称， 进而有，而由题干知，可得，此条件不一定成立，故D不一定正确. 故选：C. 7. 已知抛物线 的焦点为 ，点 ， ， 均在抛物线上，其中 ，且点 是 的重心，则直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点差法即可得直线BC的斜率和的中点坐标即可求出. 【详解】抛物线方程为，焦点， 若点F恰为的重心，设，， 则有，，两式相减有： ， 又因为， 又因为，可知线段的中点坐标为， 所以直线BC的方程为，即. 故选：A. 8. 有一枚质地均匀的六面骰，六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷该骰子 6 次，依次记录每次抛掷后的点数为 ，记事件 为偶数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析出只要与与与奇偶性不同即可，最后利用正难则反的原则即可得到答案. 【详解】为偶数，则这三个数中至少有一个为偶数． 考虑这三个数均为奇数的情形，只要与与与奇偶性不同即可， 故， 故选：B． 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题 目要求的. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 已知 ，复数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的乘方、乘法运算，结合共轭复数及复数的几何意义逐项求解判断. 【详解】对于A，，得， 则，A正确； 对于B，由选项A知，，即，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内对应点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以的最大值为，D正确. 故选：ACD 10. 已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】合理赋值即可判断A，根据，再升次作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C，求出，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】对A，赋值得，所以A正确； 对B，又由，，相加得，所以B正确； 对C，，， 则 ，所以C错误； 对D，所以 ， 结合，解得，所以D正确. 故选：ABD． 11. 曲线是平面直角坐标系内与两定点和的距离之积等于1的点的轨迹，点是曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. C. 满足的点有两个 D. 满足的点有四个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出曲线的方程，利用曲线的对称性质判断A；利用不等式性质求出范围判断B；确定符合条件的点个数判断CD. 【详解】依题意，曲线， 对于A，由换，换，曲线的方程不变，因此曲线关于原点对称，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号， 因此，解得，B正确； 对于C，由，，得， 则仅有原点满足，C错误； 对于D，方程化为：，由， 得点在圆上，联立解得，因此满足条件的点有4个，D正确. 故选：ABD 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率 为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，根据渐近线斜率与离心率的关系，从而得到正确答案. 【详解】由P为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率，即， 而离心率， 故答案为：. 14. 已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点 ，若 ，则的取值范围为_____ . 【答案】 【解析】 【分析】利用函数特征确定范围，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出并由其范围求出的范围. 【详解】函数， 依题意，点在曲线上，点在曲线上， 由，求导得，由，求导得， 由两条切线互相垂直，得，解得， 因此两条切线方程分别为， 联立解得，则， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 15. 已知点 是函数 的一个对称中心. （1）求 的值； （2）若函数 的最大值为 ，求 的最小值和单调区间. 【答案】（1） （2） 的最小值为；单调递增区间：， 单调递减区间： 【解析】 【分析】（1）根据是函数 的一个对称中心可以求出，求出解析式，进而求； （2）先将化简成一角一函数，再通过最大等于求出，进而解出，根据正弦型函数求解最值和单调性即可. 【小问1详解】 由题知点 是函数 的一个对称中心， 故，所以，,而，故； 所以， 则. 【小问2详解】 由题知 ， 易得的最大值为，故解得， 故，因为， 所以， 由，解得，故单调递增区间为； 由，解得，故单调递减区间为. 16. 甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. （1）设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； （2）按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1）证明：依题意，甲工厂生产的件零件的合格件数为， 乙工厂试生产的件的合格件数为， 又混合后，总零件数为，合格品率为， 则混合后合格零件数为， 解得，即（证毕）． （2） 的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）求出甲、乙合格件数以及混合后合格件数，从而得到方程，即可证明； （2）写出的可能取值，再利用超几何分布求出对应概率值即可，最后得到期望值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设甲工厂生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 由（1）可知，故抽出的5件产品中有3件来自甲工厂，2件来自乙工厂， 可能取值为0,1,2， 所以， 所以 的分布列为： 0 1 2 . 17. 已知函数 为实数. （1）讨论 的单调性； （2）若函数 有 3 个零点，且 ，求 的最小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）1. 【解析】 【分析】（1）求导后因式分解得，再对分和讨论即可； （2）首先分析或时都不合题意，然后再分析的情况，从而有，再构造新函数求导分析得到的范围，最后分析边界值满足题意即可. 【小问1详解】 ． 当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，令． ①时，， 或时，时，， 在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增； ③当时，， 或时，时，， 在上单调递增，在单调递减． 综上：当时，在单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 由（1）知，当或时，至多2个零点，不合题意； 当时，在上单调递增,在上单调递减. 而， 在上至多1个零点，在上无零点，不合题意； 在单调递增，在上单调递减． 因为，所以需． 令, 在上单调递减. . 又当时，， 根据函数在上的连续性以及零点存在性定理知在上分别有一个零点． 综上，的最小值为1． 18. 设经过点的椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线的离心率为，若. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点. （i）是椭圆上位于直线右侧的点，设点 到直线的距离的最大值为，求的最小值； （ii）设线段的垂直平分线与轴交于点，与直线交于点，求证：点 在同一个圆上. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）设，，联立方程得， 则，，，故， 因此线段的中点C为， 故线段的垂直平分线为，即， 当时，，所以， 当时，，所以，，因此， 又，， 因此， 所以点在同一个圆上，且该圆的直径为. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率求得椭圆的离心率，进而可得关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解； （2）（i）由题意当椭圆在点处的切线与直线平行时，取得最大.设椭圆在点处的切线为，与椭圆方程联立，利用判别式法得，则，利用不等式性质求得最值即可；（ii）设，，联立方程，韦达定理得线段的中点C的坐标，进而求得线段的垂直平分线和， ，利用弦长公式，结合距离公式求得，即可证明. 【小问1详解】 双曲线 的离心率为，因为， 所以，由题意得，解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意当椭圆在点处的切线与直线平行时，取得最大. ，直线：，设椭圆在点处的切线为， 联立方程，得， 则， 即，所以，即，又， 所以， 当且仅当时取到等号，所以， 所以当即时，取得最小值； （ii）略 19. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 . 数列 的前 项和为 ，且 满足 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设数列 满足: ，且对于 ，有: ， 其中 为正整数. (i) 当 时，求证: ，； (ii) 求数列 的前 项和. 【答案】（1），； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式得到关于的方程组，解出可得出，利用作差法即可得到； （2）（i）根据等差数列通项公式得到，再代入作差并构造函数，再利用导数即可证明； （ii）利用等差数列前项和公式求出，再利用分组求和法和错位相减法即可得到答案. 【小问1详解】 等差数列的前项和为，设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 所以． 因为，所以，则． 当时，； 当时，， 当时，也成立，所以的通项公式为． 【小问2详解】 当时，， 由题意，成公差为的等差数列，， 所以． 设，，易知单调递增， ，，故存在使得， 则当时，，此时单调递增，则， 当时，即 ， 由为正整数知，，所以． （ii）先求出数列的前项和， ， ， ， 解得． 数列的各项分别为：， 可知，数列的第项为，且成公差为的等差数列， 其中，， 于是， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2026届高三11月期中考试 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分， 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 设集合，则 A. B. C. D. 2. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. 已知焦点在 轴的椭圆经过点 ，且长轴长是短轴长的3 倍，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 162 B. 54 C. 32 D. 16 5. 直线 与圆 交于 两点，若 是直角三角形，则 （ ） A. 1 B. ±1 C. 2 D. 6. 已知函数 是定义域为 的偶函数，满足 ，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 是偶函数 7. 已知抛物线 的焦点为 ，点 ， ， 均在抛物线上，其中 ，且点 是 的重心，则直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 有一枚质地均匀的六面骰，六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷该骰子 6 次，依次记录每次抛掷后的点数为 ，记事件 为偶数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题 目要求的. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 已知 ，复数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 2 10. 已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 11. 曲线是平面直角坐标系内与两定点和的距离之积等于1的点的轨迹，点是曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. C. 满足的点有两个 D. 满足的点有四个 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知，则______. 13. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率 为_____. 14. 已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点 ，若 ，则的取值范围为_____ . 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 15. 已知点 是函数 的一个对称中心. （1）求 的值； （2）若函数 的最大值为 ，求 的最小值和单调区间. 16. 甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. （1）设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； （2）按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 17. 已知函数 为实数. （1）讨论 的单调性； （2）若函数 有 3 个零点，且 ，求 的最小值. 18. 设经过点的椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线的离心率为，若. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点. （i）是椭圆上位于直线右侧的点，设点 到直线的距离的最大值为，求的最小值； （ii）设线段的垂直平分线与轴交于点，与直线交于点，求证：点 在同一个圆上. 19. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 . 数列 的前 项和为 ，且 满足 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设数列 满足: ，且对于 ，有: ， 其中 为正整数. (i) 当 时，求证: ，； (ii) 求数列 的前 项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $