精品解析：河北省唐山市滦南县2025-2026学年上学期期中质量检测九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期中质量 九年级数学试卷 温馨提示： 1．本试题满分120分．考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或签字笔答题，答题内容书写在草稿纸上无效． 一、选择题（每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案选项在题后答题表内填写，每小题3分，共36分） 1. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各位的特点和计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系， ∴无法确定平均数和方差， ∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数， ∴不能确定众数， ∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38， ∴中位数为38； ∴能确定这组数据的中位数， 故选B． 3. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设点P表示的数是，根据平行线分线段成比例列出方程，解出的值即可． 【详解】解：设点P表示的数是， 图中的虚线相互平行， 根据平行线分线段成比例可得，， 解得：， 点P表示的数是． 故选：D． 4. 如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，以及仰角俯角的定义，根据“两直线平行，内错角相等”可得结论． 【详解】解：如图，是水平线，由题意得， ∴， ∴ ∵ ∴即在点观测点的俯角是， 故选：A． 5. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 6. 已知线段，，则线段，的比例中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的定义，如果一个比例的两个内项相等，我们就把它叫做外项的比例中项，即，则c叫a、b的比例中项． 根据比例中项的定义，，且线段长度为正数求解即可． 【详解】∵ c 是a和b的比例中项， ∴， ∴， ∴（取正值）． 故选B． 7. 如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 8. 某超市销售、、三种不同型号的笔记本，它们的单价分别为16元，20元，30元，某天该超市的笔记本销售数量情况如图所示，这天该超市销售笔记本的平均单价为（ ） A. 20元 B. 21元 C. 22元 D. 23元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算可得结果． 【详解】解：由题意可得： （元）． 故选：B． 9. 某商场一种商品的售价为每件40元，为尽快减少库存，商场决定降价促销，若该商品售价连续两次下调相同的百分率后降至每件元，则每次下降的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键． 设每次下降的百分率为x，根据连续两次下调相同百分率，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每次下降的百分率为x， 根据题意，可得， 解得（不合题意，舍去）． 故选：A． 10. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S△ABC为（　　） A. 9 B. 12 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决问题； 【详解】解：∵S△ADE：S△BDE＝1：2， ∴AD：BD＝1：2， ∴AD：AB＝1：3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE＝3， ∴S△ABC＝27， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11. 我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，则该直角三角形能容纳的正方形的边长是（ ） A. 5步 B. 步 C. 13步 D. 步 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质．证明根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 12. 如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 嘉嘉用公式计算一组数据的方差，那么这组数据的平均数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】方差的计算公式中，各数据与平均数的差的平方的平均值即为方差，在给定的公式中，各数据均减去2后进行平方运算，表明平均数为2. 【详解】由方差定义公式 可知，公式中减去的值 即为数据的平均数. 本题中公式为 ，因此平均数 . 故答案为：2． 14. 关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解方程，得或． 又，即， 所以 ． 故答案为：3． 15. 如图，在中，，于点D．若，则___________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据已知条件可知，，进而可得，则． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求正切值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ____． 【答案】（0，）或（0，）． 【解析】 【分析】利用点A、B、C的坐标特征得到∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，设P点坐标为（0，t），由∠POB＝∠ACB，推出当时，△OPB∽△CBA，即；当时，△OPB∽△CAB，即，分别求出t的值，从而得到点P的坐标. 【详解】∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0）， ∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3， 设P点坐标为（0，t）， ∵∠POB＝∠ACB＝90°， ∴当时，△OPB∽△CBA，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，）， 当时，△OPB∽△CAB，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，）， 综上所述，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，）或（0，）． 故答案为（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据比例线段列出方程是解题的关键. 三、解答题（共8小题，解答题要求写出必要的解题过程，共计72分） 17. 小王同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解方程：． ，……第1步 ，……第2步 ……第3步 ，……第4步 ……第5步 （1）小王的解题过程从第_____步开始出现错误； （2）解一元二次方程的方法不止一种，请你用另一种方法解该方程． 【答案】（1）4 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的性质，从第3步到第4步，没有对讨论其为零或不为零的情况，导致漏解，故小王的解法从第4步开始出现错误， （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：小王的解法从第4步开始出现错误， 因为在给方程两边同时除以一个可能等于零的式子时，没有讨论其为零或不为零的情况，导致漏解， 所以还有的情况， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1） （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； 【小问3详解】 ∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 19. 某中学为了解初三同学身体素质，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中测试成绩29分所对应的圆心角为，回答下列问题： （1）条形统计图1有一部分污损了，求测试成绩28分的人数； （2）求出该班的平均成绩；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数； （3）现有n名同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，则n的最小值______． 【答案】（1）12人 （2）平均成绩：分，中位数：28分，众数28分 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率是解题的关键． （1）先根据占比求出总人数，再由总人数减去别的成绩段人数即可； （2）根据平均数，中位数以及众数的定义即可求解； （3）由于中位数变大，且求最少人数，则中位数变为，此时中位数为第23，24人的平均数，继而可求解． 【小问1详解】 解：， 人， 人， ∴测试成绩28分的人数有12人； 【小问2详解】 解：平均成绩：分， 共计40人，那么中位数为第20，21人的平均数，由统计图知20，21人得成绩均为28分，故中位数为28分，由统计图可得成绩为28分的人数最多且为12人，故众数为28分； 【小问3详解】 解：∵中位数变大，且求最少人数， ∴中位数变为， 此时中位数为第23，24人的平均数， ∴n的最小值为人， 故答案为：6． 20. 学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】（1）古树的高度为13.5米 （2）小丽向前移动了7米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式列不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，，代入求解，最后结合作答即可． 【小问1详解】 解：在方程中，，，， 方程有两个不相等的实数根， ， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ， ， ， ， 解得，， 又， ． 22. 如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． （1） °； （2）求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】（1）37 （2）30米 【解析】 【分析】（1）作，垂足为S，根据题意，即可求得； （2）根据题意和作图可知四边形为矩形，根据坡度的定义设米，在中，由勾股定理可得，代入求出的长，利用锐角三角函数关系，得出的长，进而得出答案． 【小问1详解】 如图，作，垂足为S， 根据题意， ∴； 故答案为：37； 【小问2详解】 根据题意和作图可知四边形为矩形， ∴． 由，可得， 设米，则米， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴（米），（米）， ∴， ∵， 在中， ， 即， ∴（米）， ∴（米）． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 23. （1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 24. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1). (1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2). ①求证：△APB∽△DCP； ②求PC、BC的长. (2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答： ① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由. ② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值. 【答案】(1)①证明：如图2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2， ∴在Rt△ABC中， ∠1+∠2=90°，BP=. 又∵∠BPC=90°, ∴∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3. ∴△APB∽△DCP. ②PC=2，BC=5； (2)①tan∠PEF的值不变； 理由如下： 如图1，过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形. ∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2， ∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°， 又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3. ∴△APE∽△GFP， ∴. ∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2. ∴tan∠PEF的值不变. ②x=或x=或x=. 【解析】 【分析】（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长； （2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值. 【详解】解：(1)①略 ②由△APB∽△DCP. ∴，即. ∴PC=2，DP=4. ∴BC=AD=AP+DP=5. (2)①略 ②由△APE∽△GFP. ∴. ∴GP=2AE=2x， ∵四边形ABFG是矩形. ∴BF=AG=AP+GP=2x+1. △PBF是等腰三角形，分三种情况讨论： (Ⅰ)当PB=PF时，点P在BF的垂直平分线上. ∴ BF=2AP. 即2x+1=2， ∴x=. (Ⅱ)当BF=BP时， BP=BP= ∴2x+1=. ∴x=. (Ⅲ)当BF=PF时， ∵PF=， ∴(2x)2+22=(2x+1)2， ∴x=. 【点睛】本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量 九年级数学试卷 温馨提示： 1．本试题满分120分．考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或签字笔答题，答题内容书写在草稿纸上无效． 一、选择题（每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案选项在题后答题表内填写，每小题3分，共36分） 1. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 2. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（ ） A. 1 B. C. D. 5 4. 如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知线段，，则线段，的比例中项是（ ） A. B. C. D. 7. 如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 某超市销售、、三种不同型号的笔记本，它们的单价分别为16元，20元，30元，某天该超市的笔记本销售数量情况如图所示，这天该超市销售笔记本的平均单价为（ ） A. 20元 B. 21元 C. 22元 D. 23元 9. 某商场一种商品的售价为每件40元，为尽快减少库存，商场决定降价促销，若该商品售价连续两次下调相同的百分率后降至每件元，则每次下降的百分率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S△ABC为（　　） A. 9 B. 12 C. 24 D. 27 11. 我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，则该直角三角形能容纳的正方形的边长是（ ） A. 5步 B. 步 C. 13步 D. 步 12. 如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 嘉嘉用公式计算一组数据的方差，那么这组数据的平均数是_____． 14. 关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 15. 如图，在中，，于点D．若，则___________． 16. 在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ____． 三、解答题（共8小题，解答题要求写出必要的解题过程，共计72分） 17. 小王同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解方程：． ，……第1步 ，……第2步 ……第3步 ，……第4步 ……第5步 （1）小王的解题过程从第_____步开始出现错误； （2）解一元二次方程的方法不止一种，请你用另一种方法解该方程． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 19. 某中学为了解初三同学身体素质，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中测试成绩29分所对应的圆心角为，回答下列问题： （1）条形统计图1有一部分污损了，求测试成绩28分的人数； （2）求出该班的平均成绩；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数； （3）现有n名同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，则n的最小值______． 20. 学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设，是方程的两个根且，求的值． 22. 如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． （1） °； （2）求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 23. （1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 24. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1). (1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2). ①求证：△APB∽△DCP； ②求PC、BC的长. (2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答： ① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由. ② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $