专题6.1直线.射线.线段(知识点+题型+强化专练)讲义 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

该初中数学讲义以“直线、射线、线段”为核心，通过结构化梳理与表格对比构建知识体系，涵盖核心概念定义、三大图形特征对比、规范表示方法等要点，清晰呈现端点个数、延伸情况等关键属性及内在联系，突出重难点。 讲义亮点在于分层设计15类题型，从基础的数量问题到综合的动点问题，结合生活实例如“用身体‘尺子’估计长度”培养数学眼光，通过中点计算、尺规作图等锻炼运算能力与推理意识，助力分层教学，支持教师精准复习指导。

专题6.1直线.射线.线段 *目录 知识 点 梳理 1.核心概念定义 2.三大图形特征对比 3.规范表示方法 4.关键性质与公理 5.基础应用知识点 题型 巩固 一.直线.线段.射线的数量问题 二.直线相交的交点个数问题 三.线段的应用 四.直线,射线.线段的联系 五.画出直线.射线.线段 六.点与线的位置关系 七.两点确定一条线 八.线段的和与差 九.线段中点的有关计算 十.线段n等分点的有关计算 十一.线段之间的数量关系 十二.与线段有关的动点问题 十三.两点之间线段最短 十四.两点间的距离 十五.作线段(尺规作图) 强化 专练 单选题(7) 填空题(8) 解答题(5) (知识梳理) 知识点1.核心概念定义 1.直线：把线段的两端无限延伸，就得到一条直线。它没有端点，向两端无限延伸。 2.射线：把线段的一端无限延伸，就得到一条射线。它有一个端点，向另一端无限延伸。 3.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点，线段有确定的长度。 知识点2.三大图形特征对比 图形 端点个数 延伸情况 长度是否可测量 直线 0 个 向两端无限延伸 不可测量 射线 1 个 向一端无限延伸 不可测量 线段 2 个 不能延伸 可以测量 知识点3.规范表示方法 1.直线：两种表示方式，一是用一个小写字母表示，如直线l；二是用直线上两个点的大写字母表示，如直线AB（或直线BA）。 2.射线：只能用两个大写字母表示，且端点字母必须写在前面，如射线OA（端点为O，向A的方向延伸，不能表示为射线AO）。 3.线段：两种表示方式，一是用两个端点的大写字母表示，如线段AB（或线段BA）；二是用一个小写字母表示，如线段a。 知识点4.关键性质与公理 1.直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简述为：两点确定一条直线）。 2.线段性质：两点之间，线段最短。 3.关联性质：线段是直线或射线上的一部分；把线段的一端延伸成射线，两端延伸成直线。 知识点5.基础应用知识点 1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。若点M是线段AB的中点，则AM=MB=AB。 2.两点间距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。距离是具体的数值，而非线段本身。 （练习题） 题型一.直线.线段.射线的数量问题 1．如图，为线段上一点，是的中点． （1）图中共有线段 条． （2）若，，则的长度为 ． 【答案】 6 10 【分析】（1）根据图形即可求得结论； （2）根据是的中点得出，结合得出，把，即可求解． 【详解】解：（1）根据图形可知： 线段，线段，线段，线段，线段，线段，共6条． 故答案为：6； （2）∵是的中点， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了线段，线段中点有关计算等，正确的识别图形是解题的关键． 2．如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键．根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故选：A． 3．平面上有五个点，其中只有三点在一条直线上，此外无其他三点共线，经过这些点可以作直线的条数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据两点确定一条直线，作出草图即可得解． 【详解】解：如图，共有8条直线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点确定一条直线的性质，解决问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解更加形象直观． 4．、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 【答案】 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是理解题意． （1）根据题中的连线规则解答即可； （2）根据题意分情况讨论：①若连接，②若连接，③若连接，即可求解． 【详解】解：（1）、两点之间已有一条线段，、、之间已有两条线段， 、不可以连接， 可与、各连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 还可以与连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 不能再与其他点连接， 而与已连接， 也不可再连接， 为最后一个点，也没有可连接的点， 共（种）， 故答案为：； （2）①若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接，、可以连接， 可以连接，，共条； ②若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 可以连接，共条； ③若连接，则同①还可以连接、，则、不可连接， 可以连接，，共条； 综上所述，最多可以增加条线段， 故答案为：． 题型二.直线相交的交点个数问题 5．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直线相交的交点个数，代数式求值，根据平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，即可求解． 【详解】解：当三条直线相交于同一点时，交点只有1个，即， 当三条直线的交点不是同一点时，交点最多有3个，即， 所以． 故答案为：． 6．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 7．如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：条直线相交，最多有个交点， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， ， 条直线相交，最多有（个）交点， 故答案为：． 8．如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是相交线的运用，关键是理解题意并能把实际问题转化成数学问题来解决． 【详解】条直线最多有个交点， 在5条相交的笔直小道的所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，最多需要10个垃圾桶，即最多应增加的环保垃圾桶的数量为， 故选B． 题型三.线段的应用 9．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 10.．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 11．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查线段长短比较的叠合法．通过将线段与一端重合，观察另一端的位置判断长短． 【详解】 将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上， 点位于点和点之间， ． 选项A观察可能不准确；选项B量得、，表明；选项D点在延长线上，表明．故只有C能说明比短． 故选：C． 12．如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段长短的比较，理解题意，找出各线段的长度是解题的关键． 根据题意可以设出线段的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【详解】设的长度为， ∵， ∴，，，， ∴， ∵再从图（二）的 点及与 点重叠处一起剪开，使得细线分成三段， ∴剪开后这三段的长度分别是： 的长度，即； 的长度的2倍，即； 图（二）中的长度，即， ∴此三段细线由小到大的长度比为：． 故答案为：． 题型四.直线,射线.线段的联系 13．下列生活中的实例可以看成射线的是（   ） A．紧绷的琴弦 B．人行横道线 C．手电筒发出的光线 D．正方体的棱长 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，理解线段、射线、直线的概念是解决问题的关键． 根据直线、射线、线段的定义即可得到结论． 【详解】解：A、紧绷的琴弦可以看成线段，不符合题意； B、人行横道线可以看成线段，不符合题意； C、手电筒发出的光线可以看成射线，符合题意； D、正方体的棱长可以看成线段，不符合题意； 故选：C． 14．有以下表述： （1）若，则；    （2）若，则； （3）不能作射线的延长线；    （4）若，则不一定成立． 其中正确表述的序号有 ． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】本题考查的是等式的性质，一元一次方程的解法，射线的性质，绝对值的含义，根据以上基础知识逐一分析判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴若，则，正确，符合题意； （2）， 当时， ∴；故原表述错误，不符合题意； （3）不能作射线的延长线； 表述正确；符合题意；    （4）∵， ∴，故原表述正确，符合题意； 故答案为：（1）（3）（4） 15．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 【答案】①③ 【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解． 【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确； ②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误； ③射线和射线是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确； ④直线和直线BC相交于点B，直线经过点B，不经过点，故④说法错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义． 16．已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 根据线段的长度及的值判断点P的位置即可解答． 【详解】解：当点P在线段上时，与矛盾，故①错误； 若点P在直线的延长线上（如M左侧或N右侧），例如P距M有5个单位时，，此时，满足条件．因此，点P可能在直线MN上，故②正确； 若点P在直线外，例如，存在这样的点．因此，点P也可能在直线外，故③正确． 综上，正确的说法是②和③． 故选B． 题型五.画出直线.射线.线段 17．下列语句正确的是（    ） A．可以用直线上的一个点来表示该直线 B．画出4厘米长的直线 C．“射线”也可以写成“射线” D．点A一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，画出直线、射线、线段，两点确定一条直线，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据直线、射线、线段的联系与区别，画出直线、射线、线段，两点确定一条直线，对四句话逐一分析，再作出判断． 【详解】解：直线上的一个点需要用一个大写字母表示，一个大写字母不能表示直线，故A错误； 直线不可度量，可以画出4厘米长的线段，不能说画出4厘米长的直线，故B错误； “射线”表示以为端点的一条射线，“射线”表示以为端点的一条射线，“射线”与“射线”表示两条不同的射线，故C错误； 点A一定在直线上，故D正确， 故选：D． 18．对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择． 【详解】A．线段CD不能延伸，直线延伸方向，与线段无交点，直线和线段不能相交； B．射线可以无线延伸，这条射线与这条直线能相交； C．线段CD不能延伸，射线EF延伸的方向与线段无交点； D.直线和射线的延伸方向，得两者不能相交． 故选B． 【点睛】本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是关键． 19．已知线段，按如下要求作图：反向延长线段到点，使，再延长到点，使．若线段，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了线段之间的和、差．根据已知得出，由此求出的长，即可得出线段的长． 【详解】解：如图，反向延长线段到点，使，再延长到点，使． ∵线段，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 20．同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 题型六.点与线的位置关系 21．如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 22．点与直线的位置关系：直线 这个点（点在直线上）或直线不经过这个点 【答案】经过 【详解】点与线的位置关系 略 23．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 24．M所在的位置如图，的位置是点 ，的位置是点 ． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 题型七.两点确定一条线 25．在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查直线和线段，第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 【详解】第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 故选：A． 26．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号． ①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 【答案】②④ 【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断． 【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线； ②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短． 故答案为：②④． 【点睛】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键． 27．下列说法：其中说法正确的有 ． ①下雨天打开雨刷器，雨刷器在运动时形成一个扇面，其运用的数学原理是线动成面； ②将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，运用的数学原理是两点之间线段最短； ③在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和目标确定的直线上才能射中目标，其运用的数学原理是两点确定一条直线； ④已知为线段上的一点，若，则点为线段的中点； 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了直线的性质，线段的性质，点、线、面、体及之间的关系等知识，根据点动成线，线动成面，面动成体判断①；根据直线的性质判断②、③；根据线段中点的定义判断④即可． 【详解】解：①下雨天打开雨刷器，雨刷器在运动时形成一个扇面，其运用的数学原理是线动成面，正确； ②将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，运用的数学原理是两点确定一条直线，故错误； ③在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和目标确定的直线上才能射中目标，其运用的数学原理是两点确定一条直线，正确； ④画图可知，为线段上任意一点均可满足，所以④错误； 故答案为：①③． 28．下列说法错误的个数有（   ）． ①经过两点有一条直线，有且只有一条直线；    ②两点之间直线最短； ③有理数包括正有理数和负有理数；    ④的最高次项是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质，线段的性质，有理数的分类，多项式的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①经过两点有一条直线，有且只有一条直线，故①正确； ②两点之间线段最短，故②错误； ③有理数包括正有理数和负有理数以及，故③错误；     ④的最高次项是，故④错误． 说法错误的有②③④，共3个， 故选：D． 题型八.线段的和与差 29．下列选项中，能用表示的是（    ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键． 根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】 解：A． 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B． 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C． 这个长方形的周长：，表示为，符合题意； D． 这个图形的面积：，表示为，不符合题意； 故选C． 30．题目：“如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．若已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，，求线段的长．”甲答，乙答，丙答，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 【答案】C 【分析】本题主要考查与线段中点有关的计算，线段的和差,熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 先根据中点定义即可求解线段的长；再分两种情况：当“折中点”在上时；当“折中点”在上时，根据“折中点”的定义,结合线段的和差即可求解． 【详解】解：∵点为线段的中点，， ∴， ∴， ①如图，当“折中点”在上时， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当“折中点”在上时， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的长为6或14， 即甲、丙的答案合在一起才正确， 故选：C 31．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为 ． 【答案】18或36 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ，即， ，即线段是最长的一段， 最长的一段为， ，解得， 这条绳子的原长为； ②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， 线段是最长的一段， 最长的一段为， ，解得， ， 这条绳子的原长为． 综上所述，这根绳子原来的长度为或． 故答案为：18或36． 32．如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段和差位分，比的应用，能根据题意分别表示出和及找出和之间的关系是解题的关键． 根据题意，设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为，再用和表示出和，最后根据小正方形的个数为166个找出与之间的关系即可解决问题． 【详解】解：设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为， 所以，． 因为小正方形的个数有166个， 所以，， 所以， 所以， 则． 故答案为：． 题型九.线段中点的有关计算 33．下列说法中，正确的有（    ） A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．，则点B是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查了直线、线段的基本性质以及距离和中点的定义． 根据直线、线段的基本性质以及距离和中点的定义，逐一判断每个选项的正确性． 【详解】解：过一点有无数条直线， ∴ A错误； 连接两点的线段的长度叫做两点的距离， ∴ B错误； 两点之间，线段最短， ∴ C正确； 时，点B不一定在线段上，也不一定是线段的中点， ∴ D错误． 故选：C． 34．如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用线段的中点定义可得，再根据已知易得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答 【详解】解：点M是的中点，， ， ， ， ， 的长为； 故选：D 35．已知C为线段上一点，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．根据线段的中点定义和线段的和差计算即可求解． 【详解】解：当时，点F在点C右侧，如图所示： 为的中点，为的中点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 36．如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2025次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2025次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 题型十.线段n等分点的有关计算 37．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解． 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误． 故选：A．           【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键 38．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 【答案】A 【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键．根据点D为靠近点A或点B的三等分点分类讨论，分别画出对应的图形，根据线段的关系即可求出结论． 【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； ②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； 综上： 故选A． 39．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 40．都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型十一.线段之间的数量关系 41．如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的计算，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．根据线段中点的性质得出，根据点在上，且，得到，由即可求解． 【详解】解：∵线段，是中点， ∴， ∵点在上，且， ∴， ∴． 故选：C． 42．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段折叠问题中的长度计算及比例关系应用，解题的关键是根据不同折点（B或A）确定绳子对折后的线段对应关系，明确剪断P处后最长段的具体来源，再结合“最长段为”列方程求解原长． （1）设，由得、；点B为折点时，剪断后最长段为，结合求，再算原长（原长为． （2）点A为折点时，剪断后得到的三段等长，则最长段为，结合求，再根据“折点A时原长为”计算最终原长． 【详解】（1）解：设，   ∵， ∴，则 ∵点B为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得 绳子原长为．   故答案为：； （2）解：设，   ∵， ∴，则． ∵点A为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得． 绳子原长为．   故答案为：． 43．已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，则线段AQ的长为 ． 【答案】5或9 【分析】根据中点的定义可得PQ=QB，根据AP=2PB，求出PB=AB，然后求出PQ的长度，即可求出AQ的长度． 【详解】解：如图1所示， ∵AP=2PB，AB=6， ∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4； ∵点Q为PB的中点， ∴PQ=QB=PB=×2=1； ∴AQ=AP+PQ=4+1=5． 如图2所示，∵AP=2PB，AB=6， ∴AB=BP=6， ∵点Q为PB的中点， ∴BQ=3， ∴AQ=AB+BQ=6+3=9． 故AQ的长度为5或9． 故答案为：5或9． 【点睛】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离，解题时注意分类思想的运用． 44．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 题型十二.与线段有关的动点问题 45．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 46．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 47．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 48．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 题型十三.两点之间线段最短 49．下列语句正确的是（    ） A．延长射线 B．连接两点的线段长度叫做两点间的距离 C．两点之间，直线最短 D．过一点只能作一条直线 【答案】B 【分析】本题考查几何基本概念，包括射线、距离、线段和直线的性质，根据相关定义和作图语言，逐一进行判断即可，正确理解射线、距离、线段和直线的定义是解题的关键． 【详解】解：A、射线不能延长，只能反向延长，原语句错误，不符合题意； B、连接两点的线段长度叫做两点间的距离，正确，符合题意； C、两点之间，线段最短，原语句错误，不符合题意； D、过一点可以作无数条直线，原语句错误，不符合题意； 故选B． 50．下列三个日常现象： 其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线的性质，观察图示，根据“两点确定一条直线”可得答案． 【详解】解：图利用垂线段最短； 图利用两点之间线段最短； 图利用两点确定一条直线． 故答案为：． 51．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短，合情推理，考查学生的计算能力，找到最短路线是解决本题的关键．选择数据较小的路线，确定到达4个村庄的最短路线即可 【详解】解析：最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B，D，然后从D到C， ∴能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是 故选：B 52．已知多项式的次数为a，项数为b，常数项为c，如图，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 【答案】48 【分析】本题考查线段之和最小值问题，即两点之间，线段最短，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵多项式的次数为a，项数为b，常数项为c， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为， ∴最小值为． 故答案为：48． 题型十四.两点间的距离 53．下列说法正确的个数为（    ） ①过两点有且只有一条直线；②射线和射线表示同一条射线；③两点之间的线段叫做两点间的距离；④如果，则点B是线段的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查直线的性质，射线的定义，两点间的距离，线段的中点，根据相关性质和定义逐一进行判断即可． 【详解】解：过两点有且只有一条直线；故①正确； 射线和射线表示两条射线；故②错误； 两点之间的线段的长度叫做两点间的距离；故③错误； 如果，且点在线段上，则点B是线段的中点；故④错误； 故选：A． 54．如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，分别当A，B，C三点在一条直线上时，当A，B，C三点不在一条直线上时，两种情况进行分析即可． 【详解】解：当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段的延长线上和在线段的延长线上两种情况讨论； ①点C在线段的延长线上时，； ②点C在线段的延长线上时，； ∴A、C两点之间的距离是或 ； 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，不能确定． 故选：D． 55．已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，设点的运动时间为 ，分及两种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，， 根据题意得：， 解得：； 当时，，， 根据题意得：， 解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合． 故答案为：3或6． 56．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从点C处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，且，则这条绳子的原长为 ． 【答案】160cm或80cm 【分析】根据题意可以得到各个线段对应的长度，从而可以求出这条绳子的原长． 【详解】解：∵线段AB表示一根对折以后的绳子，现从C处把其中一条绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，AC＝CB， ∴当折点为点A时，剪断后的三段为2CA、CB、CB， 则CB＝60，得2CA＝CB＝×60＝40，此时绳子原长为：60＋60＋40＝160cm， 当折点为点B时，剪断后的三段为：CA、CA、2CB， 则2CB＝60，则CA＝×60＝10，此时绳子原长为：60＋10＋10＝80cm， 故答案为：160cm或80cm． 【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型十五.作线段(尺规作图) 57．如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段长度的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知． 故选：C． 58．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，尺规作线段，根据作图结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴； 故选C． 59．如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ． 【答案】 ③②①④ 【分析】本题考查了线段的和差计算，作图——基本作图，根据题意确定正确的作图排序，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：正确的作图排序是：③②①④； ， 故答案为：③②①④；． 60．如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 【答案】 4 见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）以C为圆心，CA长为半径画弧，与BC交于点Q，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解． 【详解】解：（1）的面积等于， 故答案为：4； （2）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； 分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； 连接并延长，交于点； 点，即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作轴对称点，熟悉作对称点的尺规作图方法和点到直线的距离垂线段最短是解题的关键． (强化专练) 一.选择题 61．下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段、直线的定义知识点，掌握相关定义成为解题的关键． 根据基本作图的方法、逐项分析即可解答． 【详解】解：A、直线没有长度，故 A 选项错误，不符合题意； B、射线没有长度，故 B 选项错误，不符合题意； C、延长线段到点C，说法正确，符合题意； D、三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 62．下列说法：经过一点有无数条直线；两点之间直线最短；经过两点，有且只有一条直线；若线段等于线段，则点是线段的中点；连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了直线的性质、线段中点的定义以及两点距离的概念，根据直线的性质、线段中点的定义以及两点距离的概念逐一判断各说法的正误，掌握直线的基本性质和线段、距离的定义是解题的关键． 【详解】解：经过一点有无数条直线，原说法正确； 两点之间线段最短，而非直线最短，原说法错误； 经过两点，有且只有一条直线，原说法正确； 若，点不一定在线段上，也不一定是中点（如点在AB的垂直平分线上但非中点），原说法错误； 连接两点的线段长度叫做两点距离，而非线段本身，原说法错误； ∴ 正确的有和，共个， 故选：． 63．已知线段，，下列说法正确的是（　　） A．点P不能在直线上 B．点P只能在直线上 C．点P只能在线段的延长线上 D．点P不能在线段上 【答案】D 【分析】本题考查了点与线的位置关系，利用“数形结合”的数学思想是解题的关键． 根据题意画出图形，由图形直接作出判断即可． 【详解】解：如图， A、点P可以在直线上，故此选项说法错误，不符合题意； B、点P可以在直线上，也可以在直线外，故此选项说法错误，不符合题意； C、点P可以在线段的延长线上，也可以在直线外，故此选项说法错误，不符合题意； D、点P不能在线段上，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 64．下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据射线的表示法可判断①；根据线段中点的定义可判断②；根据两点之间的距离定义可判断③．可能是的， 也可能是的，可判断④；根据直线的基本事实可判断⑤． 【详解】① ∵ 射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，方向不同，∴ 不是同一条射线． 故①错误． ② ∵时，点B不一定在线段上（如三角形中），∴ B不一定是的中点． 故②错误． ③ ∵ 点A与点B之间的距离定义为线段的长度． ∴ ③正确． ④ ∵ 点C是线段的三等分点，若是的，则； 但若是的，则． ∴不一定为9． 故④错误． ⑤ ∵ 两颗钉子固定木条依据“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”． 故⑤错误． 综上，只有③正确，共1个正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何概念．熟练掌握射线的方向性、中点需共线、三等分点的两种情形以及几何公理的区别，几何概念的准确性是解题的关键． 65．下列说法不正确的个数有（    ） ①直线与直线是同一条直线；②三条直线相交，有三个交点；③如果线段，则点B是线段的中点；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤若有理数和互为相反数，则一定有； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查直线，线段的中点，两点间的距离，相反数，根据相关定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：直线与直线是同一条直线；故①说法正确，不符合题意； 三条直线相交，可能有三个交点，也可能只有1个交点；故②说法错误，符合题意； 如果点B在线段上，且，则点B是线段的中点；故③说法错误，符合题意； 连接两点间的线段的长，叫做这两点的距离；故④说法错误，符合题意； 若有理数和互为相反数，则一定有；故⑤说法正确，不符合题意； 故选：B． 66．如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图2给出的信息进行计算即可． 【详解】解： 由题意可知，折叠凳的内层长为，即， 又∵， ∴， ∴外框宽为， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段和与差的应用，弄清图中线段之间的关系是解题的关键． 67．一列火车往返甲、丙两地，中间要停靠乙、丁两地，铁路局要制定（   ）种火车票． A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查线段计数问题，掌握相关知识是解决问题的关键．本题相当于一条直线上共4个点，因为火车往返于甲、丙两地，所以计算线段条数的2倍即为所求． 【详解】解：如图，共有条线段， ∵火车往返于甲、丙两地， ∴共需种车票． 故选：D． 二.填空题 68．如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查作图﹣基本作图、作线段，证明的周长可得结论． 【详解】解：由题意， ∴的周长， ∵的周长为15， ∴． 故答案为：6． 69．如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 【答案】12.5/ 【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米． 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键． 70．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 【答案】或 【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可． 【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB， ∴，． 设， 分类讨论：①当点C在AO之间时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； ②当点C在OB之间时，如图， 由图可知，，． ∴此时不成立； ③当点C在点B右侧时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； 综上可知OC的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 71．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 【答案】 20 25或15 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． （1）由折叠的性质得，，，根据当点与点恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴当点与点恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点落在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； 当点落在点的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：25或15． 72．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， 即，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，故②正确； ，， ， 又， ，故③正确； ，， ， ，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 73．如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】由可得，再由线段的中点，即可判断①；可得，再由线段的中点 可判断②；由结合线段的中点可判断③． 【详解】解：， ， 是线段的中点， ， ， ， ， 即， 故①正确； ， ， ， M、N分别是线段、的中点， ， ， ， 故②正确； M、N分别是线段、的中点， ， ， ， ， 故③正确； 故答案：①②③． 【点睛】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． 74．一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 【答案】 【分析】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用分段讨论的思想进行解答．假设车站距离号楼米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案． 【详解】解：设车站距号楼米，则总路程， 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 比较各区间最小值，当时，最小为； 故车站应建在距号楼米处，路程之和最小为米． 故答案为：，． 75．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 3. 解答题 76．如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 【答案】(1)见解析 (2)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了画线段、直线、射线；两点之间线段最短，掌握线段、射线、直线的特点是解题的关键． （1）根据线段、直线和射线的定义即可画出图形； （2）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，线段、射线、直线，即为所求； （2）解：根据两点之间线段最短得． 故答案为：，两点之间线段最短． 77．如图，点C为线段上一点，点D为线段的中点，且，． (1)求线段的长度； (2)若点E在线段上，且，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，熟练掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． （1）根据已知：，用即可求出的长，然后再根据点D为线段的中点，由线段的中点定义，可得，即可求出答案； （2）根据已知：，可设，则，再根据，得出，求出x的值，即可得出的长，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 又点D为线段的中点， ； （2）， 可设，则， ， ， 解得：， ， ． 78．如图1，点C是线段上一点，若（），我们称m为点C在线段上的“分割值”，记为． 例如：点C在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足． ①求出________；________； ②请在图2的数轴上画出A、B两点． ③C为数轴上一个动点，从A点向终点B匀速运动．若C点表示的数为，则________． (2)如图3，在四边形中，，，，，点P，Q同时从点B出发向终点C匀速运动，点P沿折线运动，点Q沿线段运动．设点P，Q的速度分别为x和y且满足，若，当点P运动到线段上时，求的值．（用含有m的代数式表示） 【答案】(1)①，4；②见解析；③ (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴、列代数式，理解“分割值”的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据非负数的性质即可得解； ②在数轴上找到、4两个点即可； ③先求出AB和AC，再根据“分割值”的定义得解即可； （2）根据题意设设点P速度为，点Q速度为，运动时间为，则，进而用含m的式子表示出，即可得到的长，再根据“分割值”的定义即可得解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； ②点A和点B如图所示， ③， ∵C点表示的数为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴设点P速度为，点Q速度为， 设运动时间为，则， ∴，即， ∴， ∴（点P的运动路程） ， ∴． 79．探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 80．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6．点从点出发，前内以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，之后以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发的同一时刻，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)运动秒后，用含的代数式表示点表示的数（分情况讨论）． (2)设点为线段的中点，点为线段的中点，用含的代数式表示点、表示的数（点需分情况讨论）． (3)当时，求线段的长度（用含的代数式表示），并判断该代数式是几次几项式． (4)当时，若线段的中点为H，用含t的代数式表示点H，并写出该代数式的常数项． 【答案】(1)前内，点表示的数为；后，点表示的数为 (2)当时，点表示的数为，当时，点表示的数为；点表示的数为 (3)；一次二项式 (4)； 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离，线段中点定义，列代数式，多项式的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据题意，分前和之后的速度分别讨论即可； （2）根据中点公式即可解答； （3）根据点到点之间的距离公式和多项式的概念即可解答； （3）根据点到点之间的距离公式和多项式的概念即可解答． 【详解】（1）解：前内，点表示的数为， 后，点表示的数为； （2）解：点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点表示的数为； （3）解：当时，， 该代数式是一次二项式； （4）解：当时，线段的中点为H为， 该代数式的常数项为． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1直线.射线.线段 *目录 知识 点 梳理 1.核心概念定义 2.三大图形特征对比 3.规范表示方法 4.关键性质与公理 5.基础应用知识点 题型 巩固 一.直线.线段.射线的数量问题 二.直线相交的交点个数问题 三.线段的应用 四.直线,射线.线段的联系 五.画出直线.射线.线段 六.点与线的位置关系 七.两点确定一条线 八.线段的和与差 九.线段中点的有关计算 十.线段n等分点的有关计算 十一.线段之间的数量关系 十二.与线段有关的动点问题 十三.两点之间线段最短 十四.两点间的距离 十五.作线段(尺规作图) 强化 专练 单选题(7) 填空题(8) 解答题(5) (知识梳理) 知识点1.核心概念定义 1.直线：把线段的两端无限延伸，就得到一条直线。它没有端点，向两端无限延伸。 2.射线：把线段的一端无限延伸，就得到一条射线。它有一个端点，向另一端无限延伸。 3.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点，线段有确定的长度。 知识点2.三大图形特征对比 图形 端点个数 延伸情况 长度是否可测量 直线 0 个 向两端无限延伸 不可测量 射线 1 个 向一端无限延伸 不可测量 线段 2 个 不能延伸 可以测量 知识点3.规范表示方法 1.直线：两种表示方式，一是用一个小写字母表示，如直线l；二是用直线上两个点的大写字母表示，如直线AB（或直线BA）。 2.射线：只能用两个大写字母表示，且端点字母必须写在前面，如射线OA（端点为O，向A的方向延伸，不能表示为射线AO）。 3.线段：两种表示方式，一是用两个端点的大写字母表示，如线段AB（或线段BA）；二是用一个小写字母表示，如线段a。 知识点4.关键性质与公理 1.直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简述为：两点确定一条直线）。 2.线段性质：两点之间，线段最短。 3.关联性质：线段是直线或射线上的一部分；把线段的一端延伸成射线，两端延伸成直线。 知识点5.基础应用知识点 1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。若点M是线段AB的中点，则AM=MB=AB。 2.两点间距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。距离是具体的数值，而非线段本身。 （练习题） 题型一.直线.线段.射线的数量问题 1．如图，为线段上一点，是的中点． （1）图中共有线段 条． （2）若，，则的长度为 ． 2．如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 3．平面上有五个点，其中只有三点在一条直线上，此外无其他三点共线，经过这些点可以作直线的条数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 题型二.直线相交的交点个数问题 5．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则 ． 6．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 7．如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 8．如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 题型三.线段的应用 9．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 10.．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 11．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 12．如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为 ． 题型四.直线,射线.线段的联系 13．下列生活中的实例可以看成射线的是（   ） A．紧绷的琴弦 B．人行横道线 C．手电筒发出的光线 D．正方体的棱长 14．有以下表述： （1）若，则；    （2）若，则； （3）不能作射线的延长线；    （4）若，则不一定成立． 其中正确表述的序号有 ． 15．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 16．已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型五.画出直线.射线.线段 17．下列语句正确的是（    ） A．可以用直线上的一个点来表示该直线 B．画出4厘米长的直线 C．“射线”也可以写成“射线” D．点A一定在直线上 18．对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 19．已知线段，按如下要求作图：反向延长线段到点，使，再延长到点，使．若线段，则线段的长为 ． 20．同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个． 题型六.点与线的位置关系 21．如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 22．点与直线的位置关系：直线 这个点（点在直线上）或直线不经过这个点 23．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 24．M所在的位置如图，的位置是点 ，的位置是点 ． 题型七.两点确定一条线 25．在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号． ①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 27．下列说法：其中说法正确的有 ． ①下雨天打开雨刷器，雨刷器在运动时形成一个扇面，其运用的数学原理是线动成面； ②将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，运用的数学原理是两点之间线段最短； ③在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和目标确定的直线上才能射中目标，其运用的数学原理是两点确定一条直线； ④已知为线段上的一点，若，则点为线段的中点； 28．下列说法错误的个数有（   ）． ①经过两点有一条直线，有且只有一条直线；    ②两点之间直线最短； ③有理数包括正有理数和负有理数；    ④的最高次项是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型八.线段的和与差 29．下列选项中，能用表示的是（    ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 30．题目：“如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．若已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，，求线段的长．”甲答，乙答，丙答，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 31．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为 ． 32．如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 题型九.线段中点的有关计算 33．下列说法中，正确的有（    ） A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．，则点B是线段的中点 34．如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 35．已知C为线段上一点，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．若，则的值为 ． 36．如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 题型十.线段n等分点的有关计算 37．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 38．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 39．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 40．都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 题型十一.线段之间的数量关系 41．如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 42．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 43．已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，则线段AQ的长为 ． 44．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 题型十二.与线段有关的动点问题 45．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 46．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 47．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 48．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 题型十三.两点之间线段最短 49．下列语句正确的是（    ） A．延长射线 B．连接两点的线段长度叫做两点间的距离 C．两点之间，直线最短 D．过一点只能作一条直线 50．下列三个日常现象： 其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）． 51．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（   ） A． B． C． D． 52．已知多项式的次数为a，项数为b，常数项为c，如图，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 题型十四.两点间的距离 53．下列说法正确的个数为（    ） ①过两点有且只有一条直线；②射线和射线表示同一条射线；③两点之间的线段叫做两点间的距离；④如果，则点B是线段的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 54．如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 55．已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 56．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从点C处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，且，则这条绳子的原长为 ． 题型十五.作线段(尺规作图) 57．如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 58．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（   ） A． B． C． D． 59．如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ． 60．如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． (强化专练) 一.选择题 61．下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 62．下列说法：经过一点有无数条直线；两点之间直线最短；经过两点，有且只有一条直线；若线段等于线段，则点是线段的中点；连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 63．已知线段，，下列说法正确的是（　　） A．点P不能在直线上 B．点P只能在直线上 C．点P只能在线段的延长线上 D．点P不能在线段上 64．下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 65．下列说法不正确的个数有（    ） ①直线与直线是同一条直线；②三条直线相交，有三个交点；③如果线段，则点B是线段的中点；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤若有理数和互为相反数，则一定有； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 66．如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 67．一列火车往返甲、丙两地，中间要停靠乙、丁两地，铁路局要制定（   ）种火车票． A．4 B．6 C．8 D． 二.填空题 68．如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为 ． 69．如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 70．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 71．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 72．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 73．如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号） 74．一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 75．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 3. 解答题 76．如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 77．如图，点C为线段上一点，点D为线段的中点，且，． (1)求线段的长度； (2)若点E在线段上，且，求线段的长度． 78．如图1，点C是线段上一点，若（），我们称m为点C在线段上的“分割值”，记为． 例如：点C在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足． ①求出________；________； ②请在图2的数轴上画出A、B两点． ③C为数轴上一个动点，从A点向终点B匀速运动．若C点表示的数为，则________． (2)如图3，在四边形中，，，，，点P，Q同时从点B出发向终点C匀速运动，点P沿折线运动，点Q沿线段运动．设点P，Q的速度分别为x和y且满足，若，当点P运动到线段上时，求的值．（用含有m的代数式表示） 79．探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 80．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6．点从点出发，前内以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，之后以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发的同一时刻，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)运动秒后，用含的代数式表示点表示的数（分情况讨论）． (2)设点为线段的中点，点为线段的中点，用含的代数式表示点、表示的数（点需分情况讨论）． (3)当时，求线段的长度（用含的代数式表示），并判断该代数式是几次几项式． (4)当时，若线段的中点为H，用含t的代数式表示点H，并写出该代数式的常数项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $