3.1.1第2课时函数的概念(二)课后练习-2025-2026学年高一上学期人教A版数学必修第一册

第3章3.1.1第2课时函数的概念(二) 一．选择题 1．函数f(x)＝＋的定义域为( 　 ) A．[－2,1] B．(－2,1] C．(0,1] D．(1，＋∞) 2．已知函数f(x)＝，则f(x)的值域是( 　 ) A. B． C. D．(0，＋∞) 3．(多选)下列函数中，值域为[0,4]的是( 　 ) A．f(x)＝x－1，x∈[1,5] B．f(x)＝－x2＋4 C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋－2(x＞0) 4．下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( 　 ) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝x＋，g(x)＝ 5．(多选)已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1,2]，则其定义域可能是( 　 ) A．[0,1] B．[1,2] C. D．[－1,1] 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( 　 ) A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 7．若函数y＝f(x)的定义域是(0,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(x2)的定义域是( 　 ) A．(0,2] B．(0,4] C．(0,16] D．[－16,0)∪(0,16] 8．(多选)下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( 　 ) A．f(x)＝，g(x)＝x－5(x≠－3) B．f(x)＝x，g(t)＝ C．f(x)＝x2－1与g(x)＝(x＋1)2－2(x＋1) D．f(x)＝与g(x)＝ 二．填空题 9．函数y＝的定义域用区间表示为 　. 10．下列各对函数中是同一函数的是 　. ①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0； ②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|； ③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2. 11．若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为 　. 12．函数y＝的值域为 　. 三．解答题 13．求下列函数的值域． (1)y＝2x＋1，x∈[1,5]； (2)y＝－1； (3)y＝. 14．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域． (1)x∈R； (2)x∈[0，＋∞)； (3)x∈[－2,2]； (4)x∈[1,2]． 15．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)． (1)求f(2)，g(3)的值； (2)求f[g(3)]的值及f[g(x)]． 16．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第3章3.1.1第2课时函数的概念(二) 一．选择题 1．函数f(x)＝＋的定义域为( 　 ) A．[－2,1] B．(－2,1] C．(0,1] D．(1，＋∞) 【解析】　要使函数f(x)＝＋有意义，则解得－2<x≤1，则函数f(x)的定义域为(－2,1]．故选B. 2．已知函数f(x)＝，则f(x)的值域是( 　 ) A. B． C. D．(0，＋∞) 【解析】　∵x2＋2≥2，∴0<≤，∴f(x)的值域为.故选C. 3．(多选)下列函数中，值域为[0,4]的是( 　 ) A．f(x)＝x－1，x∈[1,5] B．f(x)＝－x2＋4 C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋－2(x＞0) 【解析】　x∈[1,5]时，x－1∈[0,4]，所以函数f(x)＝x－1，x∈[1,5]的值域是[0,4]，故A正确；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数值域是(－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－x2≤16，又16－x2≥0，所以0≤≤4，即函数值域为[0,4]，故C正确；因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞)，故D错误．故选AC. 4．下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( 　 ) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝x＋，g(x)＝ 【解析】　对于A选项，函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，则f(x)与g(x)不是同一函数；对于B选项，函数f(x)＝x－1的定义域为R，函数g(x)＝的定义域为{x|x≠－1}，则f(x)与g(x)不是同一函数；对于C选项，函数f(x)＝与函数g(x)＝的定义域均为R，且f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，则f(x)与g(x)不是同一函数；对于D选项，函数f(x)＝x＋与函数g(x)＝的定义域均为{x|x≠0}，且g(x)＝＝x＋，则f(x)与g(x)是同一函数．故选D. 5．(多选)已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1,2]，则其定义域可能是( 　 ) A．[0,1] B．[1,2] C. D．[－1,1] 【解析】　由x2－2x＋2＝1，得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，得x＝1.由x2－2x＋2＝2，得x2－2x＝0，即x＝0或x＝2.设定义域为[a，b]，若a＝0，则1≤b≤2，则A正确；若b＝2，则0≤a≤1，则B、C正确．故选ABC. 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( 　 ) A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 【解析】　由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．故选B. 7．若函数y＝f(x)的定义域是(0,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(x2)的定义域是( 　 ) A．(0,2] B．(0,4] C．(0,16] D．[－16,0)∪(0,16] 【解析】　要使g(x)有定义，则需满足解得0<x≤2.故选A. 8．(多选)下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( 　 ) A．f(x)＝，g(x)＝x－5(x≠－3) B．f(x)＝x，g(t)＝ C．f(x)＝x2－1与g(x)＝(x＋1)2－2(x＋1) D．f(x)＝与g(x)＝ 【解析】　选项A，因为函数f(x)的定义域为{x|x≠－3}，函数g(x)的定义域为{x|x≠－3}，且f(x)＝＝x－5，所以函数f(x)和函数g(x)是同一函数；选项B，因为g(t)＝＝t(t∈R)，它与函数f(x)＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以函数f(x)和函数g(t)是同一函数；选项C，f(x)＝x2－1与g(x)＝(x＋1)2－2(x＋1)＝x2－1，两个函数的定义域为R，对应关系也一样，所以函数f(x)和函数g(x)是同一函数；选项D，f(x)＝的定义域为{x|x>1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1}，则这两个函数不是同一个函数，则D不选．故选ABC. 二．填空题 9．函数y＝的定义域用区间表示为 (－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]　. 【解析】　要使函数有意义，需满足即∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]． 10．下列各对函数中是同一函数的是 ②④　. ①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0； ②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|； ③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2. 【解析】　①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数． 11．若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为 [0,1)　. 【解析】　由y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则－1≤2x－1＜1，解得0≤x＜1，所以f(2x－1)的定义域为[0,1)． 12．函数y＝的值域为 　. 【解析】　∵x2＋x＋1＝2＋≥，∴0<≤.∴值域为. 三．解答题 13．求下列函数的值域． (1)y＝2x＋1，x∈[1,5]； (2)y＝－1； (3)y＝. 【解析】　(1)∵1≤x≤5，∴2≤2x≤10， ∴3≤2x＋1≤11， 所以函数的值域为{y|3≤y≤11}． (2)∵≥0，∴－1≥－1. ∴函数y＝－1的值域为[－1，＋∞)． (3)y＝＝ ＝＝－. ∵≠0，∴y≠. ∴函数y＝的值域为 . 14．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域． (1)x∈R； (2)x∈[0，＋∞)； (3)x∈[－2,2]； (4)x∈[1,2]． 【解析】　(1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4， ∴值域为[－4，＋∞)． (2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示， 当x＝0时，y＝－3， ∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)． (3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4； 当x＝2时，y＝5. ∴当x∈[－2,2]时，值域为[－4,5]． (4)根据图象可得当x＝1时，y＝0； 当x＝2时，y＝5. ∴当x∈[1,2]时，值域为[0,5]． 15．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)． (1)求f(2)，g(3)的值； (2)求f[g(3)]的值及f[g(x)]． 【解析】　(1)因为f(x)＝， 所以f(2)＝＝－. 因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8. (2)依题意，知f[g(3)]＝f(8)＝＝－， f[g(x)]＝＝＝(x≠0)． 16．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【解析】　f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m，使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m]，则需m>1，且f(m)＝m， 即m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0， 解得m＝3或m＝1(舍去m＝1)． 故存在实数m＝3满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $