精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市部分中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

乌兰察布市2025年度基础教育阶段学生学科素养提升检测试题 高二年级数学 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等填写在答题卡相应位置上. 3.答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程求得集合，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，可得，解得或或， 所以，又，所以. 故选：B. 2. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出，进而确定对应点的位置. 【详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，求解即可. 【详解】不等式可化为，即，等价于， 解得，则解集为. 故选：A 4. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 所以 故选：B 5. 在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定方格图，利用向量的加减法计算即得. 【详解】如图所示， . 故选：C 6. 以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩（单位：分）：，.这10人成绩的第百分位数是84，则（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案. 【详解】因为10人成绩的第百分位数是84，而，即第7位与第8位的平均值，所以84是这10人成绩的第70百分位数. 故选：B. 7. 函数的零点为（ ） A. B. C. 和 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】直接解方程即得函数的零点. 【分析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于，故； ，故； ，故； 综上所述：； 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误： 对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确； 对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确； 对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确. 故选：BCD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象知：为对称轴､是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得错误； 由AB知,令,得 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 11. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是 A. 若，则的最大值为 B. 若，则的最小值为6 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式，以及1的妙用求解可判断ABC；换元可得，利用二次函数的最值求解可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为，故A错误； 对于B,因为， 所以 当且仅当，即时，的最小值为4，故B错误； 对于C，因为，则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：CD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求法考虑限制条件即可求解. 【详解】函数 要使解析式有意义需满足： 解得， ，即函数的定义域为. 故答案： 13. 一个袋子中有3个红球､4个白球､3个绿球.若随机地摸出一个球，设事件“摸出红球”,事件“摸出白球”，事件“摸出绿球”，则__________. 【答案】##0.7 【解析】 【分析】根据互斥事件概率的可加性即可求解. 【详解】袋子里共有个球. 事件A：摸出红球， 事件B：摸出白球， 因为摸出一个球不可能既是红球又是白球，所以事件A与B互斥， 于是 故答案为： 14. 正四面体中，是其外接球球心，分别是线段上的点，且是直线上的一点，则线段的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为点在直线上，所以当时，线段最小.在、中，解三角形，计算即可求解. 【详解】将正四面体补成一个正方体，如图，则正方体的棱长为. 由已知，分别是线段上的点，且， 则的外心一定在线段上，所以线段最小值就是. 在正中，， 得，在中，由余弦定理， 得， 则， 而是正方体体对角线一半，又体对角线长为， 所以，得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因 则 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 16. 在中，角所对的边分别为.已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得； （2）由正弦定理及平方关系可得； （3）由二倍角公式及两角和与差的公式可得. 【小问1详解】 因为，即， 解得或，因为，所以. 【小问2详解】 因为，由（1）得，且， 因为，所以 由正弦定理，所以， 因为，所以. 【小问3详解】 由（2）得， 故. 17. 某市为弘扬中华传统文化，针对全市不同年龄市民，举办了“国韵流芳”知识竞赛，满分100分（90分及以上为“传统文化高认知者”）.竞赛后统计得出高认知者共人按年龄分成5组：第一组､第二组､第三组､第四组､第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄（同一组年龄用该组区间中点值表示） （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人担任“传统文化宣传员”.已知市民甲年龄30岁）､乙（年龄40岁）已被选入宣传员队伍.若计划从第三组和第五组被抽到的宣传员中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选为组长的概率. 【答案】（1），平均年龄为29.75 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数的公式即可求解； （2）根据古典概型公式可得. 【小问1详解】 由题意有：，解得，设这人的平均年龄为，则 5=29.75； 【小问2详解】 由题意得，第三组应抽取人，记为（甲）， 第五组抽取人，记为（乙）， 对应的样本空间的样本点为： ， ，共包含15个等可能的样本点 设事件为“甲､乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的 样本点. 所以. 答：甲､乙两人至少有一人被选上的概率为. 18. 如图，三棱锥中，面. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） ， 故， 面平面， 平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式即可求出； （2）根据线面可证线线垂直； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量的夹角公式，求解可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，如图建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，令，则， ， ， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数： （1）有4个零点且从小到大记作.求； （2）已知为的三个内角，，若且均为锐角.证明：为钝角； （3）若函数在区间上的最大值为，最小值为，且，求的取值范围. 【答案】（1）0 （2） 当时，，其对称轴为：， 因为，则， 由于，则， 故， 若为钝角，即证：， 即证：，因为均为锐角，在上单调递增， 即证：， 即证：， 即证：， 设， 则， 即，证毕. （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得为偶函数，利用对称性即可求解； （2）根据二次函数对称性可得：，从而将问题可转化为证明，结合三角函数的图象与性质即可证明结论； （3）利用二次函数的图象与性质即可求解. 【小问1详解】 由题可得：，其定义域为， 由于， 所以为偶函数， 即当，有两个零点，记作，由韦达定理则有， 由对称性，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对称轴为， ， ①当， ， 综上所述 ②当， 则，，且. 故只需， 因为，故此时解为； ③当， . 故只需， 当上式恒成立， 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌兰察布市2025年度基础教育阶段学生学科素养提升检测试题 高二年级数学 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等填写在答题卡相应位置上. 3.答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（ ） A. B. C. D. 6. 以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩（单位：分）：，.这10人成绩的第百分位数是84，则（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 7. 函数的零点为（ ） A. B. C. 和 D. 或 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的对称轴 D. 是函数的对称中心 11. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是 A. 若，则的最大值为 B. 若，则的最小值为6 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数的定义域为__________. 13. 一个袋子中有3个红球､4个白球､3个绿球.若随机地摸出一个球，设事件“摸出红球”,事件“摸出白球”，事件“摸出绿球”，则__________. 14. 正四面体中，是其外接球球心，分别是线段上的点，且是直线上的一点，则线段的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 16. 在中，角所对的边分别为.已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 某市为弘扬中华传统文化，针对全市不同年龄市民，举办了“国韵流芳”知识竞赛，满分100分（90分及以上为“传统文化高认知者”）.竞赛后统计得出高认知者共人按年龄分成5组：第一组､第二组､第三组､第四组､第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄（同一组年龄用该组区间中点值表示） （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人担任“传统文化宣传员”.已知市民甲年龄30岁）､乙（年龄40岁）已被选入宣传员队伍.若计划从第三组和第五组被抽到的宣传员中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选为组长的概率. 18. 如图，三棱锥中，面. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：； （3）求与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数： （1）有4个零点且从小到大记作.求； （2）已知为的三个内角，，若且均为锐角.证明：为钝角； （3）若函数在区间上的最大值为，最小值为，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $