精品解析：广西壮族自治区贵港市港北区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025年秋季期期中教学质量检测八年级 数 学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项：考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、该等式从左到右是整式乘法，不是因式分解，故选项A错误，不符合题目要求， B、左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解，故选项B正确，符合题目要求， C、该等式从左到右是整式乘法，不是因式分解，故选项C错误，不符合题目要求， D、右边是和的形式，不是因式分解，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：B． 2. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误； B、能与2合并，故该选项正确； C、＝3不能与2合并，故该选项错误； D、＝3不能与2合并，错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断． 【详解】解：A、与不能合并，所以选项错误； B、，所以选项错误； C、，所以选项错误； D、，所以选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】依题意，得x-1≥0且x-2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5. 若，则的值为【 】 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴; 故选A． 6. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 7. 已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（　　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】令分母等于0解出增根，去分母后，把增根代入求出k值；去分母解出x，因为解为正数，从而求出k的范围 【详解】解：令x-2=0，解得分式方程的增根是2 去分母得： 代入增根2，解得k=−2 去分母解得x= ∵分式方程解为正数 ∴ 解得 综合所述k的取值范围是：且 故答案选B 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，一元一次不等式等知识点，准确记住增根的解题步骤是解题关键． 8. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0， ∴ = = =-2 故选A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 9. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 10. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 11. 小明坐滴滴打车前去高铁站，他可以选择两条不同路线：路线A全程25千米，但交通比较拥堵；路线B比路线A多7千米，但平均车速比走路线A时能提高．若走路线B比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．设走路线A时的平均速度为千米/小时，则走路线B时的平均速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度，结合走路线B比走路线A少用15分钟（即小时），即可得出关于的分式方程． 【详解】解：设走路线A时的平均速度为千米/小时，则走路线B时的平均速度为千米/小时， 由题意可得：， 即． 故选：D． 12. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“友好数”如，即8，16均为“友好数”，在不超过2020的正整数中，所有的“友好数”之和为（ ） A. 255054 B. 255064 C. 250554 D. 255024 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得：，解得：，可得在不超过2020的正整数中，“友好数”有252个，依此列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，解得：， 则在不超过2020的正整数中，所有的“友好数”之和为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，弄清题中“友好数”的定义是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据题意，提取公因式，即可求解． 【详解】解：, 故答案为： ． 14. 若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=______ 【答案】2 【解析】 【详解】解：因为a为正整数，当a=1时,= 不是最简二次根式，当a=2时，= 是最简二次根式，所以二次根式是最简二次根式， 则最小的正整数a为2 故答案为：2． 【点睛】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 15. 新定义：为分式（为实数）的“关联数”，若“关联数”的分式的值为0，则关于的方程的解是__． 【答案】x=3. 【解析】 【详解】试题分析：x的方程中m可以通过提供的“关联数”建立关于m的分式方程来求得. 试题解析：∵|m,m-2|的分式的值为0， 根据题中的“关联数”规律可知： ， 求解验根得：m=2. 所以可转化为， 求解验根得：x=3. 考点：解分式方程. 16. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有3个偶数解，求出m的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解为非负数，求出m的值，最后求出同时满足已知条件的m的值，求出它们的和即可． 【详解】解： 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， 关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为， ， ， 的整数值为6，7，8，9，10 解方程， 方程两边同时乘得： ， ， , ∵关于y的分式方程的解为非负数， ,即且即， 且， 综上，m的取值为， ∴符合题意的m的值为8，9，10， 则所有满足条件的整数m的值之和是； 故答案为：27. 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，包括负整数指数次幂，平方差公式，二次根式的化简等，解题的关键是掌握各运算法则． （1）利用乘法运算律先进行乘法运算，化简二次根式，最后进行加减即可； （2）先进行平方差公式运算，二次根式的化简，负整数指数次幂运算，最后进行加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知关于的分式方程． （1）若，求分式方程的根； （2）若分式方程的根为正数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：当时，分式方程为 ， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的根； 【小问2详解】 解： ， ∵分式方程的根为正数， ∴，且，即 解得且． 19. （1）根据分式的基本性质填空：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）把分式的分子分母都乘以即可； （2）先把分子分母因式分解，再约分化简，然后把x、y的值代入计算计算． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了分式的基本性质． 20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 21. 已知a、b满足等式 ． （1）求出a、b的值分别是多少？ （2）试求 的值． 【答案】（1）a=3，b=﹣9；（2）﹣6． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的定义得2a﹣6≥0且9﹣3a≥0；（2）根据二次根式的性质，先化简，再加减. 【详解】（1）由题意得，2a﹣6≥0且9﹣3a≥0， 解得a≥3且a≤3， 所以，a=3， b=﹣9 （2）， = ， =6﹣9﹣3， =﹣6． 【点睛】熟记二次根式的意义和加减法则. 22. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法： 例如：＝(x﹣y﹣2)(x﹣y+2)． ②拆项法： 例如：＝(x+1﹣2)(x+1+2)＝(x﹣1)(x+3) ③十字相乘法： 例如： +6x﹣7 解：原式=（x+7）（x﹣1） （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）﹣6x+8； ③（十字相乘法）﹣5x+6＝______． （2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长． 【答案】（1）①(2x+y+1)(2x-y+1) ②(x-4)(x-2) ③(x-2)(x-3) （2）7 【解析】 【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； ②将原式化为-6x+9-1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； ③直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式-4a-4b-6c+17=0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案． 【小问1详解】 解：① = = =(2x+y+1)(2x-y+1)； ②-6x+8 =-6x+9-1 =-1 =(x-3-1)(x-3+1) =(x-4)(x-2)； ③-5x+6=(x-2)(x-3)； 故答案为(x-2)(x-3) 【小问2详解】 解：∵-4a-4b-6c+17=0， ∴(-4a+4)+( -4b+4)+(-6c+9)=0， ∴=0， ∴a=2，b=2，c=3， ∴a+b+c=2+2+3=7． ∴△ABC的周长为7． 【点睛】本题考查了因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． 23. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式x2+的值． 解：∵，∴＝4 即＝4，∴x +＝4，∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0） 则x＝，y＝，z＝，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，求x+的值． （2）已知，（abc≠0），求的值． （3）已知x、y、z为实数,=，=，．求分式的值． 【答案】（1）x+的值为5 （2）的值为 （3）分式的值为-4 【解析】 【分析】（1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设=k，用k表示出a、b、c，代入计算即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， 则a=5k，b=4k，c=3k， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是分式的通分和约分、实数的性质，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期期中教学质量检测八年级 数 学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项：考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 若，则的值为【 】 A. B. C. D. 6. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（　　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. 9. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 10. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 11. 小明坐滴滴打车前去高铁站，他可以选择两条不同路线：路线A全程25千米，但交通比较拥堵；路线B比路线A多7千米，但平均车速比走路线A时能提高．若走路线B比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为千米/小时，根据题意，可列分式方程（ ） A. B. C. D. 12. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“友好数”如，即8，16均为“友好数”，在不超过2020的正整数中，所有的“友好数”之和为（ ） A. 255054 B. 255064 C. 250554 D. 255024 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 分解因式：_____________． 14. 若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=______ 15. 新定义：为分式（为实数）的“关联数”，若“关联数”的分式的值为0，则关于的方程的解是__． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知关于的分式方程． （1）若，求分式方程的根； （2）若分式方程的根为正数，求的取值范围． 19. （1）根据分式的基本性质填空：； （2）先化简，再求值：，其中，． 20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 21. 已知a、b满足等式 ． （1）求出a、b的值分别是多少？ （2）试求 的值． 22. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法： 例如：＝(x﹣y﹣2)(x﹣y+2)． ②拆项法： 例如：＝(x+1﹣2)(x+1+2)＝(x﹣1)(x+3) ③十字相乘法： 例如： +6x﹣7 解：原式=（x+7）（x﹣1） （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）﹣6x+8； ③（十字相乘法）﹣5x+6＝______． （2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长． 23. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式x2+的值． 解：∵，∴＝4 即＝4，∴x +＝4，∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0） 则x＝，y＝，z＝，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，求x+的值． （2）已知，（abc≠0），求的值． （3）已知x、y、z为实数,=，=，．求分式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $