精品解析：河北省保定市安国市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 4. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.87 6. 【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 丙和丁 7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图所示，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4m，A′B′＝2，则AB与A′B′的夹角为( ) A. 45° B. 30° C. 60° D. 以上都不对 11. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式_______． 14. 两个相似三角形的周长比是，其中较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为______． 15. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） 18. 尺规作图：如图，在正方形中，点为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得．保留作图痕迹，并说明两三角形相似的理由． 19. 某商场计划在“双11”期间推出有奖促销活动.规定：凡在商场消费一定金额的顾客，可获得一次抽奖机会.抽奖方案是：在一个布袋中装着大小形状完全相同的2个红球和3个绿球，从中随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得精美礼品一份；若摸得绿球，则不中奖.现已知小欣获得一次抽奖机会． （1）求小欣摸球中奖的概率； （2）若小欣首次摸球未中奖，商场允许未中奖的顾客进行二次摸奖.要求先从原来的布袋中拿掉１个红球或绿球，然后从袋中随机摸出1个球（不放回），再摸出第2个球，若摸得的两球颜色相同，则该顾客也可获得精美礼品一份．若要提高中奖机会，小欣应从袋中拿掉哪种颜色的球？请用树状图或列表法加以说明． 20. 阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： （1）． （2）． 21. 如图，在中，D是边上一点，且， （1）求证：； （2）若，，的面积为2，求的面积． 22. 用一元二次方程解决实际问题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 23. 小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 2. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意可得到，求出的长，再根据即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 3. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 4. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 5. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.87 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论． 【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85， 这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.85． 故选：B． 6. 【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 丙和丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故乙错误； ∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； ∴， ∴，，故丁正确，丙错误； 故选：C． 7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 8. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 10. 如图所示，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4m，A′B′＝2，则AB与A′B′的夹角为( ) A. 45° B. 30° C. 60° D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【详解】解：将线段AB平移，使A点与 点重合，则在 中， ，所以. 故选：B. 11. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 12. 如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．先根据网格特点求出点的坐标，根据以原点为位似中心的位似图形的性质计算即可． 【详解】解：∵正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为， ∴根据网格可知：点的坐标为， 以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先计算出3和的和、积，然后根据根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为， ∵两个根分别为3和， ∴，， ∴以3和为根的一元二次方程可为， 故答案为：． 14. 两个相似三角形的周长比是，其中较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行求解即可 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的面积比是， ∵较小三角形的面积为， ∴较大的三角形面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 15. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 移项得， ∴ 即 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，可证，得到，，根据一次函数可得，，即得，，得到，即得反比例函数，同理得到，再根据平移得，最后代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵一次函数，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵点向左平移个单位后为， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移，一次函数与坐标轴的交点，正确添加常用辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，公式法，配方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得，即， 开方得， ∴，； 【小问2详解】 解：， ． ， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴， 即，； 【小问3详解】 解：移项，得． 因式分解，得． ∴或， ∴，． 18. 尺规作图：如图，在正方形中，点为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得．保留作图痕迹，并说明两三角形相似的理由． 【答案】 解：如图，点P即为所求作． 在正方形中，， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定、尺规作一个角等于已知角．先根据正方形的性质得到，再利用尺规作一个角等于已知角的步骤作，即可解答． 【详解】略 19. 某商场计划在“双11”期间推出有奖促销活动.规定：凡在商场消费一定金额的顾客，可获得一次抽奖机会.抽奖方案是：在一个布袋中装着大小形状完全相同的2个红球和3个绿球，从中随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得精美礼品一份；若摸得绿球，则不中奖.现已知小欣获得一次抽奖机会． （1）求小欣摸球中奖的概率； （2）若小欣首次摸球未中奖，商场允许未中奖的顾客进行二次摸奖.要求先从原来的布袋中拿掉１个红球或绿球，然后从袋中随机摸出1个球（不放回），再摸出第2个球，若摸得的两球颜色相同，则该顾客也可获得精美礼品一份．若要提高中奖机会，小欣应从袋中拿掉哪种颜色的球？请用树状图或列表法加以说明． 【答案】（1） （2）若要提高中奖机会，小欣应从袋中拿掉红色的球 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）根据题意即可求解； （2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：∵布袋中装着大小形状完全相同的2个红球和3个绿球，从中随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖， ∴小欣摸球中奖的概率为： 【小问2详解】 解：①若小欣从袋中拿掉１个红球，画出树状图，如图所示： 共有种等可能的结果，摸得的两球颜色相同的结果有种， ∴小欣中奖的概率的概率为； ②若小欣从袋中拿掉１个绿球，画出树状图，如图所示： 共有种等可能的结果，摸得的两球颜色相同的结果有种， ∴小欣中奖的概率的概率为； 综上所述，若要提高中奖机会，小欣应从袋中拿掉红色的球． 20. 阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查换元法解方程． （1）通过换元将高次方程转化为二次方程求解； （2）通过换元处理绝对值，转化为二次方程求解． 【小问1详解】 解：设， 则原方程化为． ∵， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∵， ∴无实数根； 故原方程的解为，； 【小问2详解】 解：设，则，且， 原方程化为， 即． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴，． 21. 如图，在中，D是边上一点，且， （1）求证：； （2）若，，的面积为2，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴的面积． 22. 用一元二次方程解决实际问题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元 （2）解：商场平均每天盈利不能达到元，理由如下： 假设能达到，由题意，得， 整理得：，， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可； （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为， 所以，商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元； 【小问2详解】 略 23. 小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理，的直角三角形，作出两条辅助线构造出2个直角三角形是解决本题的关键．利用直角三角形的性质可得的长，也就求得了的长；由已知可得与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得的长． 【详解】解：作于点，于点． 则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ． 同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的， 光线与水平线的夹角相等， 又标杆与影长构成的角为直角，与构成的角为直角， 与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似， ， 解得， ． 答：的长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据的面积与的面积相等，得到D点的坐标． （1）直线经过点A，且A点的纵坐标是，可得，代入反比例函数解析式可得k的值； （2）依据直线与反比例函数的图象交于A，B两点，借助图象即可得到不等式的解集解题； （3）设平移后的直线与x轴交于点D，连接，，依据，即可得出的面积与的面积相等，求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：∵直线经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，设平移后的直线与x轴交于点D，连接，， ∵， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积为10， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线l2的函数表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $