精品解析：吉林省四平市2025-2026学年上学期第三次检测九年级数学试题

九年级第三次检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 2. 已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 3. 点关于原点对称的点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，武汉旅游的人数持续增长．2025年，某旅游景点七月份接待游客36万人次，9月份接待游客42万人次．设旅游人数月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（ ） A. 95m B. 190m C. 235m D. 285m 6. 如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 8. 秀秀的衣柜里有5件上衣，其中有2件是黄色，3件是红色，从中任意取出一件正好是黄色的概率为______． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为__________． 10. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为 ___． 11. 如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是上的两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是___________（结果保留）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 14. 如图，在直角三角形中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转得到．求的度数． 15. 已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 16. 某校开展以“新时代深圳精神”为主题的演讲比赛．“新时代深圳精神”概括凝结为16个字：“敢闯敢试、开放包容、务实尚法、追求卓越”，这四个主题依次用字母A，B，C，D表示．将A，B，C，D分别写在四张完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗匀．每位选手随机从中抽出一张卡片，并按照抽到的主题进行演讲． （1）小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是______； （2）小颖从中抽出一张卡片，记下字母后放回．重新洗匀后，小亮再从中抽出一张卡片，求他们演讲主题相同的概率． 17. 已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． （1）判断的图象的开口方向，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值； （3）连接，求的面积． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 19. 如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 20. 如图1，点E为正方形内一点，，，，将绕点A逆时针方向旋转，点B、E的对应点分别为点、． （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 21. 如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． （1）___________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标； （3）当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； （4）连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是随机事件， 故选：D． 2. 已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系：若点到圆心的距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，点P到圆心O的距离为7，， ∴点P在圆外． 故选：A． 3. 点关于原点对称的点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称，熟练其规律是解决本题的关键．关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可． 【详解】解：点关于原点对称的点B的坐标是． 故选A． 4. 近年来，武汉旅游的人数持续增长．2025年，某旅游景点七月份接待游客36万人次，9月份接待游客42万人次．设旅游人数月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每月旅游人数的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设旅游人数月平均增长率为，则可列方程 故选：C． 5. 图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（ ） A. 95m B. 190m C. 235m D. 285m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，则，求解得到坐标，即可得出答案，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】令抛物线中， 即， 解得， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值． 8. 秀秀的衣柜里有5件上衣，其中有2件是黄色，3件是红色，从中任意取出一件正好是黄色的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，利用概率公式求解．总件数为5，黄色上衣件数为2，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：衣柜中共有5件上衣，其中黄色上衣有2件． 任意取出一件正好是黄色的概率为． 故答案为 ． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为__________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质． 直接根据旋转的性质作答即可． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，， 则． 故答案为：． 10. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为 ___． 【答案】8cm 【解析】 【分析】作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解． 【详解】如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA， ∵，， ∴， ∵直径为26cm， ∴， ， ， 故答案为：8cm． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 11. 如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是上的两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用扇形弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴这块扇形玉石的周长是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 解得：． 13. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】（1） （2）在这条抛物线的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 14. 如图，在直角三角形中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转得到．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，先由旋转得出，即可得，由得，即可得出结论 【详解】解：∵绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 15. 已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】 证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】略 16. 某校开展以“新时代深圳精神”为主题的演讲比赛．“新时代深圳精神”概括凝结为16个字：“敢闯敢试、开放包容、务实尚法、追求卓越”，这四个主题依次用字母A，B，C，D表示．将A，B，C，D分别写在四张完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗匀．每位选手随机从中抽出一张卡片，并按照抽到的主题进行演讲． （1）小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是______； （2）小颖从中抽出一张卡片，记下字母后放回．重新洗匀后，小亮再从中抽出一张卡片，求他们演讲主题相同的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数和他们演讲主题相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，列表为： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，他们演讲主题相同的有4种结果， 所以他们演讲主题相同的概率为 17. 已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． （1）判断的图象的开口方向，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为 （2）点坐标为点坐标为． （3）的面积为3． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）把分别代入可求出，可得两点的坐标,再把点坐标代入求解即可； （3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴； 把代入得， ∴， ∵， ∴， ∴； 把代入，得：， 解得：； 【小问3详解】 解：由（2）得， 当时，， ∴与y轴交点的坐标为， ∴的面积． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 【答案】（1） 如图①，四边形即为所求． （2） 如图②，四边形即为所求． 【解析】 【分析】考查作图-中心对称变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画图即可． （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， 又，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及推论和扇形的面积公式是解题的关键， （1）连接，利用圆周角定理可得，，从而可推出，证得为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （2）连接、，由圆周角定理的推论可得，从得到，，再根据（1）中等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质得，进而可证得是等边三角形，故可得，再利用代入即可算出阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 20. 如图1，点E为正方形内一点，，，，将绕点A逆时针方向旋转，点B、E的对应点分别为点、． （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）四边形是正方形， 理由如下：由旋转的性质得：，，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）根据求出，进而求出，结合即可求解； （2）由旋转的性质得，，，即可求解； （3）当时，与E重合，最短；当落在的延长线上时，最长．据此即可求解； 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当没有旋转时，过点C作于点G，连接，如图3所示，则， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点A逆时针方向旋转，点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短，此时， 当落在的延长线上时，最长， 由旋转的性质可得， ∴， ∴线段长度的取值范围为． 21. 如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． （1）___________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）由题意得，推导出，由四边形是平行四边形，得，，，当点M在上，则，得，可推导出，则，解得； （3）分两种情况，一是点M在的内部或边上，则；二是点M在的外部，作于点F，分别交、于点D、点E，则四边形是矩形，所以，可求得，即可由求得． 【小问1详解】 解：在等腰直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 如图1，点M在上，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当点P与点C重合时，则， ∴， 当时，如图2， ∵， ∴； ∵当时，如图3，作于点F，分别交于点D、点E， ∵，, ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵ ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示有关线段的长度是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标； （3）当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； （4）连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）当的边与轴垂直时，点的纵坐标为12，点的纵坐标为26或点的纵坐标为26，点的纵坐标为44 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式求解、顶点坐标、函数增减性及与矩形的综合应用．解题的关键是熟练运用二次函数性质，结合几何条件转化为代数问题求解，注意分类讨论和边界情况分析． （1）代入两点坐标列方程，求解得解析式． （2）求顶点坐标确定m，代入解析式得F坐标． （3）分平行于x轴，求m后算纵坐标． （4）确定矩形对角线的中点横坐标，结合抛物线增减性与对称轴，求m范围． 【小问1详解】 将代入抛物线得； 将）和代入抛物线方程，得，解得 ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为， ∵点E与顶点重合，且E横坐标为， ∴，得． ∴点F横坐标为，代入抛物线解析式得， 即． 【小问3详解】 抛物线对称轴为．当的边与y轴垂直时，边平行于x轴． 若轴，则C纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F横坐标为，纵坐标为． 若轴，则D纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F 横坐标为 ，纵坐标为 ． ∴点E的纵坐标为12，点F的纵坐标为26或点E的纵坐标为26，点F的纵坐标为44． 【小问4详解】 抛物线开口向上，对称轴， ∵点C与点F的横坐标分别为， ∴矩形的中点横坐标为， 当矩形中点在对称轴左侧时，矩形内抛物线主要部分在左侧，且满足y随x增大而减小， ∴，解得， 结合，得（如图）． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $