解答题 多模块综合考查（三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、导数、概率统计）（专项训练，12大题型+高分必刷）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题 多模块综合考查 根据近几年的高考情况，解三角形、概率统计、立体几何、平面解析几何、导数等专题是高考中经常出现的解答题类型，在考试中经常出现相互交汇的情况，本专题通过对高考中经常出现的几种交汇类型进行总结。 题型一：导数与三角函数相交汇 1．（2025·河南·一模）（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）构造，利用导数及分类讨论研究不等式恒成立求参数范围； （2）构造，利用导数研究其单调性得，即可证； （3）问题化为，，令，，应用必要性探路得，进而研究其充分性即可得范围. 【详解】（1）令函数，则，， 当时，，函数在上单调递增，则，即成立， 当时，在上单调递增，， 所以，当时，，在上单调递减， 所以对，，不成立. 综上，实数的取值范围为. （2）令，由（1）知函数在上单调递增， 因为，，所以，因此，即， 即成立； （3）对，都有成立，即对，， 令，即， 当时，，，则， 要使成立，则，即， 下面证明：当时，成立，由（2）得， 下面证明：，即证明， 令，则， 因此在上单调递增，，即成立， 综上所述，实数的取值范围是. 1. 利用三角函数的性质，在利用导数解决问题时，构建相关的模型 2. 利用导数恒成立思想或能成立思想进行求解 1．（2025·陕西榆林·一模）已知函数，． (1)证明：在上单调递减； (2)记的最小值为，最大值为，数列的前项积为． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、求等比数列前n项和、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导，结合三角函数性质分析可知，即可得单调性； （2）（i）利用诱导公式分析可知的对称轴和周期性，结合单调性可得和；（ⅱ）可得，构造函数，利用导数结合单调性可得，进而分析证明. 【详解】（1）因为， 当时，则，，可得， 且，则，即， 可得，所以函数在上单调递减. （2）（ⅰ）若，则，即； 若，由（1）可知：在上单调递减， 且， 可知是一个周期为的周期函数， 又因为 可知关于对称， 则在处取到最小值，在或处取到最大值， 可得， 综上所述：，． （ⅱ）若，由（i）可知：， 且符合上式，所以，则， 可得， 要证明，即证， 只需证， 构造，则， 当时，，可知函数在上递增， 则，即，可得，， 所以， 而是一个首项为1，公比为的等比数列的前项和， 根据等比数列求和公式可得． 可得，且对数函数是单调递增函数，所以． 2．（2025·广东肇庆·一模）已知函数. (1)当，时，求证：； (2)当时， （ⅰ）求在上的所有极大值点之和； （ⅱ）若在上有两个实根，，比较与的大小关系. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、求已知函数的极值点、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数法研究单调性即可证明. （2）（ⅰ）求出导函数，利用导数求出单调区间，然后求出所有极大值点，即可得解； （ⅱ）根据是周期为的奇函数，结合单调性求得是的极小值点，设，则，，要证，只需证，令，利用导数法证得，即可证明. 【详解】（1）当，时，，要证，即证：. 设，则，∴在上单调递减， ∵，∴，即，∴得证. （2）（ⅰ）当时，， . 当时，由得或， 解得，，，，或， 当，，，时，， ∴在，，，上单调递增； 当，，时，， ∴在，，上单调递减. ∴当时，的极大值点为，，，所以极大值点的和为. （ⅱ），证明如下： ∵的定义域为，且， ∴为奇函数，由（ⅰ）知是周期为的周期函数， ∴易知在上单调递减，在上单调递增， ∴是的极小值点. 设，∴，，∴， 要证，只需证，即证， ∴，∴只需证. 令，其中， ∴ ， ∵，∴，， ∴，，∴， ∴在上单调递增， ∵，∴，∴， ∴，所以得证. 题型二：导数与概率统计相交汇 1．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用排列数及古典概型计算公式求解即可； （2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，求出，根据二项分布的计算公式求出概率，列出分布列即可； （3）由期望公式求出，代入，可得，两边取对数可得，构造函数，利用导数分析单调性即可求解. 【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”， 则， 故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. （2）每组化验的次数可能是1或6， 记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”， 则， 可知， ， ， 所以的分布列为： 7 12 （3）， ， 所以， 令，则，即， 当时，，两边取以为底的对数，得到， 设函数，则， 当时；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以的最大值为. 1. 利用统计概率的相关性质列出式子 2. 利用导数的性质求出单调性，从而求出最值 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量. (1)若，求和； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求证：且. 【答案】(1)， (2)2 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案； （2）先计算，根据期望公式得 ，结合，的单调性，计算的到的最小值； （3）由题先计算，根据期望公式得，利用导数确定单调性证明得到结论. 【详解】（1）； （2）， ∴ ， 令，得， 又在上单调递减， 且，，， 且对所有，都有，故的最小值为2. （3）， ∴， 设， 当时，；当时，， ∴，设， ， ∴，∴， 当时，， ，等号成立 ∴. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点时得到，结合导数确定函数的单调性，从而得结论. 题型三：导数与数列相交汇 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知，函数.证明：当时，； （2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知. （i）证明：； （ii）求，其中表示不超过的最大整数. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析    （ii） 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数列不等式恒成立问题、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得到当时，的最大值为0，即可证得当时，； （2）根据导数的几何意义，分析相应切线的斜率，构造新函数，分析新函数的单调性及最值，从而获得，证得.构造新函数，得数列的性质，进而得到关于其前n项和的不等式，进而得到求即可. 【详解】（1）因为，所以. 令，则. 当时，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 因为，所以，即. 所以在上单调递减，所以当时， . 由此当时，. 所以在上单调递减，. 故当时，. （2）（i）令，则.所以在上单调递减. 因为，所以当时，. 令，则，所以在上单调递增. 因为，所以当时，. 所以. 所以，， 即，. 若，则； 若，则； 若，则. 若，则； 若，则； 若，则. 由，知；由，知. 所以在点处的切线斜率为.由题可知，所以. 在点处的切线斜率为，因为，所以. 所以. 所以，. 所以，即. （ii）由（i）知，化简得. 令，则. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以当时，取得最大值，最大值为. 所以当时，，即. 所以，即. 因为，所以. 令，则. 所以当时，单调递减，且，即. 所以，所以， 因为，所以. 所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，. 所以累乘得，当时，，即. 因为，且时，. 所以. 所以. 1. 根据数列的性质得到相关通项 2. 根据导数的性质对其进行分析，得到相关性质进行求解 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”． (1)若，，证明：为有界数列； (2)设，对，均有，求实数的取值； (3)设数列是2－有界数列，，且，求的最大可能值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】数列新定义、利用导数证明不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）通过证明时，可完成证明； （2）注意到，然后分，， ，四种情况，结合正负性讨论可得答案. （3）由题，为得到最大值，应让中出现尽量多的或，据此可得答案. 【详解】（1）因，则，对于函数， ，则在上单调递增，，从而. 则，即为有界数列； （2）. 因，又，均有， 则，， 因函数在上单调递减，则， 又满足题意，则； ，. 当时，为任意实数满足题意； 当时，，因函数在上单调递减， 则，又满足题意，则此时； 当时，，因函数在上单调递减， 则，则此时. 综上可得： （3）由题可得，因，为使最大， 应让中出现尽量多的或. 则容易想到可让中有个，个，和个， 此时中包含个，1个，. 2．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)不存在，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】由定义判定等比数列、求等差数列前n项和、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）写出，再利用等差数列求和公式即可得到答案. （2）确定，构造，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明. （3）确定，，根据得到，确定，再假设存在得到，整理得到，无解，得到答案. 【详解】（1），，. （2），，故， 构造函数，，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. （3），则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）抽屉原理也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出并用来证明数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．其内容为：如果把个物体放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉要放进个或更多个物体．已知数列与数列满足，若数列是递增数列，则称数列具有性质． (1)当，且数列具有性质时， ①写出一个满足，项数为6的数列； ②若，数列的前项和为，证明：当时，至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等． (2)从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列，判断是否存在项数为的数列具有性质，并说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)存在项数为的数列具有性质，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、数列新定义、求等差数列前n项和、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）①只需满足即可；②由题意得或，分析得当时，，故存在，使得，结合抽屉原理即可得证. （2）只需证明存在项数为的递减数列或项数为的递增数列即可. 【详解】（1）①解：．（答案不唯一，只需满足.可） ②证明：因为，即，所以或， 显然当时，． 又当时，，当时，， 则当时，． 因为数列从第二项起每一项都有两种可能，所以共有种不同的数列． 因为， 所以至多有种不同的取值． 令， 则． 令，则， 所以在上单调递增． 因为， 所以，即，所以在上单调递增． 因为，所以当时，恒成立， 即当时，，故存在，使得， 由抽屉原理可知，此时至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等． （2）从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列， 存在项数为的数列具有性质． 记“满足，且数列是递增数列的最长数列的项数”， 假设，即，都有，其中， 则，使得至少有个取， 即，其中． 若，当时，， 则将与以为首项的递增数列合成一个以为首项，项数为的新的数列； 若，当时，都有， 则，即存在一个项数为的数列是递减数列． 综上，从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列中，总是存在项数为的递减数列或项数为的递增数列． 因为递增数列或递减数列都满足性质，所以存在项数为的数列具有性质． 题型四：导数与二项式相交汇 1．（2025·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若，求； (2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称. （i）求，； （ii）若，，.证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、二项展开式各项的系数和、判断或证明函数的对称性 【分析】（1）根据二项式定理求出，，和，求出，得出，令得出答案； （2）（i）分奇偶两种情况讨论：当时，关于对称，得到，求导得到，令得；当时，关于点对称，得到，多次求导得到，令得 ，，代入求出，同理得到； （ii）由（i）和得到，，利用放缩得到，再利用裂项相消法证明即可. 【详解】（1）， ，，，，，则，，，，， ，. 又， ，， （2）（i）当时，关于对称，则①， 对①式两边分别求导得②， 对②式两边分别求导得③， …… ， 令，代入上式得，即. 当时，关于点对称，则①， 对①式两边求导得②， 对②式两边求导得③， …… ， 令，代入上式得，即. 又，， 同理可得. （ii）由（i）知，，. 又，，，. 所以. 所以. 1..求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． 2.求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 3.根据导数的性质对二项式进行分析 题型五：数列与平面几何相交汇 1．（2025·湖南永州·模拟预测）抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知点纵坐标，建立关于的方程，求解即可得； （2）设过焦点的直线方程，代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理计算即可得； （3）先借助导数的几何意义计算出点、为切点的两条切线方程，从而求出，再借助两点间距离公式与等比数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）设该点坐标为，则，且，则 则，化简得， 解得或，又，则， 即； （2），设直线的方程为， 联立，则有，恒成立， 则，即得证； （3）由在第一象限，则在第四象限， 则点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 令，解得，即， 由、，则，， 即， 则， 故 . 1. 利用平面解析几何的性质列出相关式子： （1） 联立 （2） 韦达定理找到相交点的关系 （3） 列出相关式子 2.利用数列的相关性质进行求解 1．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． (1)求C的方程； (2)设数列的前n项和为，证明：； (3)求的面积． 【答案】(1)或； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、数列不等式恒成立问题、直线与抛物线交点相关问题、求抛物线的轨迹方程 【分析】（1）讨论在轴左侧或右侧，分别求出对应轨迹方程即可； （2）由题设得，，结合斜率求得，根据等差数列的定义写出通项公式得，应用裂项相消法求，即可证； （3）由（2）得，再由，结合向量模长、数量积的坐标表示化简求值即可. 【详解】（1）当在轴左侧时，在轴的非正半轴上，的方程为； 当在轴右侧时，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为， 综上，C的方程为或； （2）因为在上，所以，可得， 依题意，则， 所以，故数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，则， ， 所以， 显然关于单调递减，则； （3）由（2）得， 所以，而， 所以 . 2．（2024·云南·模拟预测）如图，已知点列与满足，且，其中，．    (1)求； (2)求与的关系式； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用向量垂直求参数、数列不等式恒成立问题、递推数列的实际应用、坐标计算向量的模 【分析】（1）由垂直向量的坐标表示和模长公式列出方程组，解方程即可得出答案. （2）根据垂直向量的坐标表示和模长公式列出方程组，解方程即可得出答案. （3）要证等价于证明，先证明，再由累加法即可证明. 【详解】（1）因为，， ，， 所以， 得，所以. （2）由，， ①， 又，则②， 将①代入②得: 即. （3）要证等价于证明， 当时， ， 因为， 所以 ， ， ． 【点睛】关键点点睛：本题（3）的关键点在于将题意转化为证明，先由放缩法证明，再由累加法即可证明. 题型六：统计概率与数列相交汇 1．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 【答案】(1) (2) 【难度】0.15 【知识点】独立重复试验的概率问题、求等比数列前n项和、求离散型随机变量的均值、求某点处的导数值 【分析】（1）对于求比赛中得10分的概率，列举出情况，计算求解再求和即可. （2）求投篮次数的均值，有三种方法: 马尔科夫链方法:根据当前连续命中球数的不同状态，建立关于达到连续命中3球所需平均投篮次数的递推关系，联立方程求解，概率母函数方法:根据投篮的不同情况确定概率，构建率母函数，通过求函数在特定点的导数值得到投篮次数的均值，鞅的停时定理方法:利用游戏“公平性”，根据不同资本状态下投篮的结果建立关于投篮次数期望的方程，联立求解. 【详解】（1）根据题中的连续投中得分公式，得. 总得分为10，只能从连续投中4次、3次、2次、1次中选择组合.将总得分10的可能情况分类求解如下； ①连续投中4次得分，其余6次均不中，并且这样的选择有7种．其发生的概率为. ②连续投中1个3次得分分. 要总得分为10分，在10次投篮中出现一个连续投中3次、一个连续投中2次，一个投中1次， 它的得分为6分+3分+1分分.用捆绑法和插空法：， 可得这样的不同投法有种，该情况下发生的概率为． ③连续投中一个2次得分分，要总得分为10分，可以3个连续2次投中，1个1次投中，总得分为分+1分分， 用捆绑法和插空法：，选择投中1次的位置有种. 该情况下发生的概率为， 另外，如果由2个连续投中2次，4个投中1次，可得总分分+4分分， 但是2个连续2次中间至少要有一次不中，这需要至少5次，4个1次要间隔， 中间至少有3次失败，一共至少需要次，所以该情况不满足题意，其它亦如此. 根据概率加法公式，总得分为10分的概率为， 所以总概率为． （2）①马尔科夫链法：已知， 化简可得， 同理，当已经连续命中1球时候，若下一次命中， 只需要再投个球回家，若未命中，则需要投个球回家， 则. 当已经连续命中2球时候，若下一次命中就能回家（投篮次数为0）， 若未命中，则需要再投个球回家， 则. 联立求解可得，即小宇投篮次数的均值是14. ②概率母函数法：小宇投篮的情况可以分为四种：（i）未命中；（ii）命中，未命中： （iii）命中，命中，未命中;（iv）命中，命中，命中. 这四种情况概率分别为. 则小宇投篮次数的均值恰为函数在处的导数值. 先对当,时，, 则， 故，，即小宇投篮次数的均值是14. ③鞅的停时定理： 设小宇的投篮次数为，因为游戏是“公平的”，小宇开始时资本为0， 设为第次后的投篮的资本，根据停时定理， 每次投篮的命中概率，未命中的概率为. 当资本为0时，， （表示资本为0开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望， 表示资本为2开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望），化简得. 当资本为2时，（表示资本为4开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望）. 当资本为4时，. 联立求解,即小宇投篮次数的均值是14. 1. 根据统计概率的相关性质得到数列的通项公式进行 2. 熟练掌握马尔科夫链 全概率公式是新高考考查内容，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者 （）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 3.利用相关性质进行求解 1．（24-25高二下·广东东莞·期末）现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品． (1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望； (2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值． ①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值． ②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值． 【答案】(1) (2)① ；② 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、二项分布的均值、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据二项分布的期望公式即可得到答案； （2）①记合格品的数量为X，则，设，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案； ②．两边同时取自然对数并整理得：令，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案. 【详解】（1）估计合格率，则，； （2）①从这批产品中抽取100件产品，记合格品的数量为X，则， 所以，设， ， 因为，当时，在上位单调递增函数； 当时，在上位单调递减函数， 所以当时，有最大值，即p的极大似然估计值为． ②，则，，2，3，…，m 设：． 两边同时取自然对数并整理得： ， 令， ， ，时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减，． 所以时，最大，此时取得最大值． 因此，p的极大似然估计值为． 2．（2024·云南丽江·模拟预测）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为． (1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病． （i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望； （ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望； (2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)20 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）（i）求出可以取的值及对应的概率，代入期望公式求解即可；（ii）求出可以取的值，结合组合数求出对应的概率，代入期望公式求解即可； （2）先确定的可能取值并求出对应的概率，求出期望，由及组合数的性质得，两边取自然对数得，设，利用导数研究函数的单调性，根据零点存在性的判定方法求解的最大值. 【详解】（1）（i）根据题意知可以取的值有1，2，3，4， ∴，，， ， ∴； （ii）根据题意知可以取的值有2，3， ∵当时可以分两类， 第一类：混检的3人中有一人患病，并且在第2次就检测出患病人员； 第二类：混检3人均没有患病，并且在第2次就检测出患病人员或未患病人员： ∴，， ∴； （2）由题知将20000份血样随机地按份一组平均分成组， 则的可能取值为，，，⋯，， 其中每一组检测结果为阴性的概率为，检测结果为阳性的概率为， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， 可得，两边取自然对数，化简得， 不妨设，则， 令，， ∴在单调递增，， ∴在单调递增． 由题知是20000的正因数且，， ∵， ， ∴的最大值为20． 3.（2025·黑龙江大庆·一模）2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. (1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； (2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、写出等比数列的通项公式、利用全概率公式求概率、由定义判定等比数列 【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式和互斥事件的概率加法公式即可求解； （2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式； （3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值. 【详解】（1）记3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章为事件A，交换过程包含两种情况： ①第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用袋鼠徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第一种情况的概率为； ②第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用熊猫徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第二种情况的概率为； 所以3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率为. （2）记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”概率为， 则，第次交换后，乙的徽章只有两种可能，一种是3枚徽章都是相同动物， 另一种是3枚徽章中有1枚不同动物， 记第次交换后，乙的3枚徽章动物相同为事件，动物不同为事件， 则，记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”为事件C，因为在第次交换后徽章动物相同的条件下再交换后不可能是相同动物，即， 在第次交换后徽章动物不同的条件下再交换后可以变为相同动物，即， 再根据全概率公式可得： ， 所以， 则是等比数列，即， 所以； （3）又记“次交换后，甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动”概率为， 则， 第次交换后，甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 另一种是不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， ①甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，下次交换后还包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 此时发生的概率为； ②甲的徽章不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，则甲的3枚徽章中一定有两枚相同运动的徽章（比如两个乒乓球徽章，一个羽毛球徽章），乙的3枚徽章中也一定有两枚相同运动的徽章， 当甲、乙分别取出相同运动徽章中的一枚进行交换后， 甲的3枚徽章就可以变换为包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，此时发生的概率为； 再根据全概率公式可得：， 所以有， 即是等比数列，即， 当为奇数时，，且， 当为偶数时，， 所以当时，取到最大值. 题型七：平面解析几何与导数相交汇 1．（2025·湖南长沙·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为 . (1)求的方程； (2)过点且不垂直于轴的直线与交于两点，直线与交于另一点. （i）证明: ； （ii）若点是的外心，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式推理得证； （ii）结合（i）求出点的坐标，进而求出三角形面积表达式，再利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，，解得，则， 所以椭圆方程为 ; （2）（i）设直线的方程为，， 由，整理得， 由，得， ，， 若轴，由，解得，则， 此时的斜率，即，不合题意，则，的斜率均存在， 因此， 所以. （ii） 设的中点为，则， 点，线段的垂直平分线为， 由（i）知，点关于轴对称，令，得，则， 于是的面积， 令，设， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为. 1. 根据平面几何性质列出相关式子 2. 利用导数对其进行求解 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C．    (1)证明曲线C的方程为； (2)设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点. ①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值. ②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为?若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，2条 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）设，分别表示出直线的方程和直线的方程，两式相乘化简即可得出答案. （2）①先明确曲线顶点、焦点，设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率条件确定直线过定点Z，点W的轨迹是以OZ为直径的圆，进而计算得出面积表达式；②设过焦点的直线方程，联立椭圆方程后用韦达定理，将四边形面积转化为三角形面积作差，通过换元、函数单调性分析，结合面积值判断直线条数. 【详解】（1）显然，设， 因为，，所以，， 当时，则直线的方程为①， 直线的方程为② ①×②得：即. 当时，交点也满足此方程，故曲线方程为，得证. （2）①由，设直线：，，， 直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足， 联立，得. ， ，，， 即， 化简可得：，解得：，则直线过. 得直线PQ过定点，而点W是坐标原点O在直线l上的射影， 所以点W的轨迹是以OZ为直径的圆（除去与x轴的交点）. 因为该圆的圆心为，半径， 所以面积的最大值为． ②满足题意的直线条数有两条，证明如下： 由题意可知直线PQ的斜率不为0，设，，，不妨令，， 联立，可得    因为四边形OFQN的面积为， 所以， 因为，代入①可得，， 代入②可得， 所以，即或， 令，则， 令因为恒成立，所以，即在上单调递增， 因为，由零点存在性定理可知： 所以在上有唯一零点， 综上所述，满足题意的直线l有两条. 题型八：数列与排列组合相结合 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）． 【答案】(1)与为“2级相邻数列”；理由见解析 (2)； (3)3470 【难度】0.4 【知识点】数列新定义、利用函数单调性求最值或值域、利用an与sn关系求通项或项、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）根据数列通项公式的关系，先求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，从而确定的通项公式.利用累加法，得到的通项公式，同样检验时是否满足.最后根据“2级相邻数列”的定义，计算的表达式，通过分析该表达式与的大小关系，判断与是否为“2级相邻数列”. （2）由，通过移项得到关于的不等式.设，通过分析与的大小关系判断的单调性，进而求出的最值， 由此得到的取值范围和的取值范围，从而确定的取值范围. （3）根据条件集合有，，，，，共6种不同的情况，每种情况下考虑数列的不同情况，并对应研究数列的不同情况数，利用计数原理，结合组合数计算满足条件的数列的组数. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，也成立，所以， 所以， 所以， 所以， 所以与是“2级相邻数列” （2）已知，化简可得. 设，则. 因为，所以，（当时取等号）， 所以单调递减，所以的最大值为， 所以， 所以，， 所以，即的取值范围为. （3）已知， 由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”， 因为与为“1级相邻数列”，所以， 当时，有2种不同选择；时，，有3种不同选择； 时，有3种不同选择，时，有2中不同选择． 由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素， 所以有，，，，，共6种不同的情况． 当时，数列可能是1个1、3个2的排列（有4种不同的排列）； 也可能是2个1、2个2的排列（有种不同的排列）； 还可能是3个1、1个2的排列（有4种不同的排列）． 1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列， 3个1、1个2的每一种排列对应的数列分别有，，种不同的清况， 总共个不同的数列； 同样，，时也各贡献528个不同的数列； 时也分是1个2、3个3的排列（有4种不同的排列）； 也可能是2个2、2个3的排列（有种不同的排列）； 还可能是3个2、1个3的排列（有4种不同的排列）， 总共个不同的数列； 时，总共个不同的数列； 共计有个不同的数列组； 即满足条件的数列组的个数为3470． 1. 利用排列组合的性质得到相关式子 2. 和数列相结合进行求解 1．（2025·浙江·三模）空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. (1)求粒子在第2秒末移动到点的概率； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 【答案】(1) (2)（i），，；（ii）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、计算古典概型问题的概率、组合数的性质及应用 【分析】（1）由古典概率模型概率计算公式即可求解； （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，向下移动步，表示出，由组合数公式化简即可得出答案； （ii）利用题目条件可证明，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 【详解】（1）粒子在第2秒末，每一步分别是四个不同方向，共有16种方法， 粒子在第2秒可能运动到点有2种方法， 分别为先向右移动一个单位，再向下移动一个单位，或先向下移动一个单位，再向右移动一个单位， 故； （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形； 于是， 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步， 向下移动步，故 . 故. （ii）利用可知： ， 于是， 令，， 故在上单调递增， 则，于是， 从而有， 即为不超过的最大整数，则对任意常数， 当时，，于是, 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 题型九：导数与解三角形相交汇 1．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）记斜的内角的对边分别为，已知，且． (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值； （2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案； （3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围. 【详解】（1）利用余弦定理化简，得， 在斜中，得，， 故上式可化为， ，可得，利用二倍角公式可得， ，，即，. （2）为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，， ，得， 由（1）可知，即，， 由余弦定理得，解得， 的面积为 （3），在中，由正弦定理可得，，即， 在中，由正弦定理可得，，即， 四边形的内角和为，且，， 在中，由余弦定理可得， ， 即， ， ，在中,，， ，故的取值范围为. 1．（2025·四川成都·三模）记斜的内角的对边分别为，已知，且. (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据余弦定理可得化简后，故求； （2）根据中线向量求模后结合余弦定理可求，故可求面积； （3）由正弦定理得，由余弦定理可得，结合导数可求周长的取值范围. 【详解】（1）由可得，， 而，故， 因为为斜三角形，故，故， 而，故即. （2）因为的中线，所以. 两边同时平方，得，即. 在中，，由余弦定理可得， 解得，所以. （3）在中，由正弦定理可得即. 在中，由正弦定理可得即. 因为四边形的内角和为，且，所以. 在中， ， 所以，则， . 因为在中，所以， 则在上单调递增. 因为， 所以的取值范围为. 2．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解； （2）由正弦定理，得到，化简，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. （2）解：因为，可得且， 由正弦定理得，可得， 则， 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 题型十：导数与平面向量相交汇 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知，． (1)若曲线和有两个公共点，求a的取值范围； (2)已知B为曲线上一点，其中为的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E． （ⅰ）求E的方程； （ⅱ）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.15 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、特殊角的三角函数值、利用导数研究函数的零点、求平面轨迹方程 【分析】（1）将曲线和有两个公共点转化为与直线有两个交点问题，通过讨论的单调性和最值即可得解； （2）（ⅰ）利用已知条件中的与点的坐标之间的关系，即可写出E的方程；（ⅱ）将E的内接等腰直角三角形面积的最小值转化为曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值的问题，写出面积，再利用导数即可求出最小值. 【详解】（1），，曲线和有两个公共点， 即有两个不同的正根，即有两个不同的正根， 令，则函数与直线有两个交点， ，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，且， 当时，；当时，， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 综上a的取值范围是； （2）（ⅰ）解：设，， 则 则， ，， 又B为曲线上一点，，， 故E的方程为； （ⅱ）由（ⅰ）知E的内接等腰直角三角形面积的最小值等于曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值． 设为直角顶点，，， 则AB斜率，AC斜率 ，，即（1） ，， 化简得：， 化简得：， 即：， 显然，所以（2） 由（1）得，代入（2）得， 去分母，得到， 看成关于b的一元二次方程，得到， 因式分解得， 或， ， 令，得到关于的函数，，则， 令，得或，令，得或， 所以在上递减，递增，递减，递增， 又，，，， 所以曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值为. 题型十一：数列与三角函数相交汇 1．（24-25高三上·山西·期末）已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求和的值； (3)已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式. 【答案】(1)函数不具有性质，理由见解析 (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、由递推关系证明等比数列、函数新定义 【分析】（1）根据题意可得存在实常数及，使得，进而可判断； （2）由题意化简得对任意的都成立，再根据对应系数均为0求解即可； （3）由题意，再构造可得，进而可得通项公式. 【详解】（1）若函数具有性质，则存在实常数及， 使得对任意的都成立， 即， 所以，，不合题意，舍去.所以函数不具有性质. （2）由题意存在实常数及，使得对任意的都成立， 即， 化简得对任意的都成立， 所以 解得或 所以或 （3）由函数不存在零点，且具有性质得， 对任意的，，都有， 即，所以， 所以， 又，，所以，所以， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 1．（2025·山西·三模）已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)证明：．(切线不等式) 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）先求切线方程，代入坐标可得，，即，构造等比数列即可求解； （2）由，利用错位相减法和分组求和即可求解； （3）由，得，利用分组求和即可证，又，利用切线不等式，故，即可得证. 【详解】（1），， 记，，， 切线，有， 代入坐标可得，，即，可得， 故为公比为2的等比数列，由于，， 故，得； （2）由， 记，有， 作差有，有， 有， 故； （3）因为， 由于，故，故，右边证毕； 因为，故， 故，又根据切线不等式，故，故有， 综上所述：． 题型十二：立体几何与三角函数相交汇 1．（2025·甘肃白银·三模）圆柱的标准方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圆柱任意一点的坐标.已知圆柱的方程为，如图，点，分别为上、下底面圆的圆心，四边形是圆柱的一个轴截面，点，，分别为，，的中点，点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）. (1)证明：平面； (2)若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，求的取值范围； (3)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.15 【知识点】锥体体积的有关计算、由导数求函数的最值（不含参）、证明线面平行、求二面角 【分析】（1）连接，，由几何关系结合线面平行的判定定理证明可得； （2）设，利用两点间距离公式表示出，，利用三角函数定义和两角和的正切表示出，再构造函数，求导分析单调性可得； （3）利用三棱锥的体积公式和组合体积得到当且仅当最大时，三棱锥的体积最大，设，代入圆，利用韦达定理、弦长公式、对勾函数的单调性求出，再求二面角可得. 【详解】（1）证明：因为底面圆的方程为，，点， 所以，为的中点， 所以四边形是正方形， 所以. 如图①，连接，， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以. 当为的中点时，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）由题知，，， 设，，，且， 所以，， 如图②，因为，所以，， 则. 设，， 则 . 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增， 所以， 又，， 所以， 即的取值范围为. （3）由题知，， ， 所以当且仅当最大时，三棱锥的体积最大. 如图②，在平面直角坐标系中，圆的方程为， 设，代入圆， 整理得，且， 所以，， 所以， 令，则，则， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以当，即，即时，三棱锥的体积最大， 此时，且，所以， 所以即平面与平面所成角， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为. 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图①，在梯形中，为线段的中点，将沿折起至，如图②． (1)若，证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）设，则，连接,交于点，连接,利用余弦定理求得，同理求得，再由勾股定理逆定理即可证得； （2）取的中点，连接,证明为二面角的平面角，由余弦定理求得，过点作直线的垂线段,交于点 ，证明平面,利用条件写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间夹角的坐标公式求解即得. 【详解】（1） 设,因则, 因为线段的中点，则,如图②，连接,交于点，连接, 易得菱形,则,因，则,且， 在中，由余弦定理，,则, 在中，由余弦定理，, 由,可得. （2） 由题意，与均为边长是2的正三角形，取的中点，连接, 则,即为二面角的平面角，等于， 在中，由余弦定理，，即， 过点作直线的垂线段,交于点，因， 平面,故平面,又平面，故, 因,平面，故平面. 分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 因,则，. 则, 则, 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为, 则，故可取， 则， 设平面与平面夹角为， 则 1．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 【答案】(1) (2)①证明见解析，② 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、累加法求数列通项 【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以，，即可求出的期望. （2）①根据累计得分为分的概率为，分两种情况讨论，从而得到递推式，再根据构造法求证即可； ②根据①可求出，再根据累加法可求出，再由从而求解即可. 【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以，所以，，，，，而，所以随机变量的可能取值为，，，，所以 ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （2）①证明：，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过点，，则，累计得分为分的情况有两种： （i），即累计得分，又掷骰子点数超过点，其概率为， （ii）累计得分为分，又掷骰子点数没超过点，得分，其概率为， 所以，所以，，，，， 所以，，，，是首项为，公比为的等比数列. ②因为数列，，，，是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 ， ， ， 各式相加，得， 所以，，，，， 所以活动参与者得到礼券的概率为：. 2．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）甲有两辆自行车，且每天都去体育馆锻炼.若甲去体育馆时，只要不下雨且家里有自己的自行车，他就会骑自行车过去．若甲回家时，只要不下雨且体育馆有自己的自行车，他就会骑自行车回家.其他情况下均走路去体育馆或回家．假设甲每天去体育馆时，回家时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每次下雨与否互不影响．当前甲的自行车一辆在家里，一辆在体育馆． (1)设甲第一天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为，求的分布列与期望． (2)设甲连续天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为0，1的概率分别为，． ①求； ②证明：． 【答案】(1)分布列见解析；1 (2)①，；②证明见解析 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）确定X的可能的取值，由题意求出每个值相应的概率，即可求得分布列以及期望； （2）①结合（1）的结论求解，即得答案；②设为连续天去体育馆锻炼回到家后，家中有2辆自行车的概率，可得，从而可得，，相加后化简即可证明结论. 【详解】（1）由题意可知的取值可能为， 当时，表示甲第一天去体育馆锻炼时不下雨，回家时下雨， 则, 当时，表示甲第一天去体育馆锻炼时不下雨，回家时也不下雨， 或甲第一天去体育馆锻炼时下雨，回家时也下雨， 则； 当时，表示甲第一天去体育馆锻炼时下雨，回家时不下雨， 则， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 则. （2）①由（1）可知， 则； ； ②设为连续天去体育馆锻炼回到家后，家中有2辆自行车的概率，则， 则，， 故 . 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积． (1)求概率的值； (2)求随机变量的概率分布及其数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意，分别得出“从5个顶点中随机选取3个点构成三角形”和“”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率； （2）先由题意得到的可能取值，求出对应的概率，进而可得到分布列，求出期望. 【详解】（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法． 其中的三角形如，这类三角形共有个， 因此． （2）由题意，的可能取值为，2，． 其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个； 其中的三角形有两个，和． 因此，． 所以随机变量的概率分布列为： 2 所求数学期望． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数，将函数的所有正的零点从小到大排列组成数列.记表示不超过的最大整数，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)从数列的前项中，随机选出两个不同的项相乘，所得结果为偶数的概率为.是否存在一个正整数，当时，恒有，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. (3)数列满足，且数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)存在；的最小值为 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】裂项相消法求和、利用导数证明不等式、cos2x的降幂公式及应用、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先化简函数，得用整体角解三角方程求出零点，确定数列，再根据的定义可得； （2）分为奇数和偶数两类讨论求解.先求积为奇数的情况，再利用对立事件的概率公式求，解不等式求解的范围可得； （3）由代入所证不等式，先通过化简变形将所证不等式转化为，再构造函数，利用导函数求证不等式任意，成立，再利用不等式分别赋值，将不等式左边每一项裂项放缩，然后再累加化简求证不等式成立即可. 【详解】（1）. 令，即，得， 解得，， 则函数的所有正的零点可表示为， 其中从小到大第一个正零点为，且公差为. 则，，所以， 故数列的通项公式为. （2）从数列的前项中，随机选出两个不同的项相乘， 共有种方法； 设事件“两个不同的项相乘，所得乘积为偶数”，其概率为， 则其对立事件“两个不同的项相乘，所得乘积为奇数”，则其概率为. ①当为偶数时，前项中恰个奇数，个偶数， 从数列的前项中，随机选出两个不同的项相乘， 要使所得乘积为奇数，则两项均为奇数， 易得; 当时，即从个奇数中任取2个不同的奇数，共有种方法； 则， 所以此时. 由，即，解得， 由为偶数，则； ②当为奇数时，前项中个奇数，个偶数， 要使所得乘积为奇数，则两项均为奇数， 即从个奇数中任取2个不同的奇数，共有种方法； 则， 所以此时.由，即， 由，可知不等式对任意奇数恒成立. 综上所述，存在正整数，当时，恒有. 又当时，时，其中不满足. 故的最小值为. （3）由， 则. 由 . 构造函数， ，则在上单调递减， 由，则， 所以任意，，即恒成立. 令，则，即，， 所以有，，，. 以上各式相加得， 故，得证. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数法证明数列不等式.第（3）问中通过构造函数，利用导数的单调性证明，赋值可得，达到将数列和式通过放缩后可裂项求和，从而问题得证. 5．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，证明：； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、数列不等式恒成立问题、利用平方关系求参数、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）由已知等式得出，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）可求得，，利用裂项求和法求出，然后利用裂项求和法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立； （3）利用分析法可知，要证所证不等式成立，即证，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合函数的单调性即可证得结论成立. 【详解】（1）已知，即及，， 化简得，又 所以数列是首项为公差为的等差数列. （2）由（1）可知， 所以，. 又，所以，， . 所以 于是， ， 因为，所以，即. （3）定义，原不等式即 下面证明，即， 即证（*）， 设，则， 于是在区间上是增函数. 因为，有，不等式（*）成立. 故原不等式成立. 6．（2025·山东泰安·模拟预测）在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个白球和红球，有放回地随机摸球次，白球出现次.假设每次摸出白球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出白球的概率的估计值为. (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取个球，设摸出的球为白球的次数为，则. （注： 表示当每次摸出白球的概率为时，摸出白球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值. (2)把（1）中“使得取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性. 【答案】(1)（ⅰ）表格见解析，答案见解析；（ⅱ） (2)，答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用二项分布求分布列 【分析】（1）由题意可知，的值为或，根据二项公布的概率公式求解概率填入表格，由表中数据确定的值； （2）由参数的对数似然函数，利用导数研究单调性，求出最大似然估计，与频率估计的概率比较后下结论. 【详解】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且， 所以的值为或， （ⅰ）当时，， ，， 当时，， ，， 表格如下 （ⅱ）由上表可知． 当或时，参数的概率最大；当或时，参数的概率最大． 所以 ； （2）由， 则， 令，即， 故， 即当时，，    当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值，故， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的. 7．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)①证明见解析；②不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、等比中项的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）当时，，利用导数判断函数的单调性即可； （2）①确定，构造函数.求导得到函数单调递增，计算最值即可证明结论成立； ②确定则，，根据，得到，确定，再假设存在得到，，，整理得到，无解即可. 【详解】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，； 当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2））①，，故， 构造函数， ，则 函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. ②，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【点睛】本题考查了函数导数和数列综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数确定函数的单调性得到是解题的关键. 8．（2025·上海·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为． (2)． (3)①证明见解析；②不存在，理由见解析 【难度】0.15 【知识点】数列新定义、利用导数研究不等式恒成立问题、等比中项的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导得，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为当时，恒成立，求导得，然后分，以及讨论，即可得到结果； （3）①根据题意，构造函数，求导可得在恒成立，即可证明；②根据题意，结合“源数列”以及“生成数列”的概念，然后假设存在，代入计算，即可得到方程无解，故不存在. 【详解】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，，当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， ① 当时，，所以在上单调递增， ，不合题意； ② 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 若要使恒成立，则需使，解得， 故此时； ③ 当时，因为，，故在单调递减， 则，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． （3）①，，故， 构造函数，，则 易得函数在上单调递增，而，则在上恒成立，故在上单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②，则，(*)， 设，即，代入(*)可得， 设函数，显然该函数在上单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，则，，， 故，整理得到，该方程无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 9．（2025·四川·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，证明：当时，； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数分别求出函数在上的最大值、最小值即可推理得证. （3）等价变形给定不等式，再构造函数，利用导数求出恒成立的的范围即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，令，求导得， 函数在上单调递增，而， 则，使得，即， 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以当时，. （3）对，， 令，依题意，在上恒成立，且， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 当，即时，，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，，而函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，， 于是函数在上单调递减，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 10．（2025·陕西西安·模拟预测）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； (2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、独立重复试验的概率问题、求回归直线方程、非线性回归 【分析】（1）先对两边分别取对数得到，再根据题目中的数据代入公式去求即可； （2）依题意，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为两边取对数可得，即， 令，所以，由， ，. 所以， 又，即， 所以，所以. 所以关于的经验回归方程为. （2）甲每局比赛获胜的概率为，则甲每局比赛失败的概率为， 依题意可得， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时； 11．（2025·浙江丽水·一模）已知函数，，（为自然对数的底数）． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）记为函数在上从小到大排列的第个极值点，求数列的前20项和． (2)当时，求证：对任意的，恒成立． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和、利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）（i）求导，利用导数结合余弦函数性质求单调区间即可；（ii）根据函数单调性和极值点分析可知数列是以首项为，公差为的等差数列，整理可得，利用错位相减法运算求解； （2）整理可得，结合题中范围可得，再结合分析证明即可. 【详解】（1）由题可得：， （i）令，则， 可得，解得， 所以的单调递增区间为； （ii）令，则， 可得，解得， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 可知函数的极值点为， 且，则函数的极值点依次为，，，， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，， 令， 记数列的前20项和为， 则， 可得， 两式相减得 整理可得. （2）由题可得： ， 因为，，则，，， 可得， 构造，则， 可知在内单调递增，则， 即， 且，，， 可得，，即， 则 ， 即， 所以对任意的，恒成立. 12．（2025·云南楚雄·模拟预测）在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为，乙选到最粗的甘蔗的概率为. (1)若，求和； (2)若最粗的甘蔗是第棵，求； (3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为，此时的值为. 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）由题意可知；5棵甘蔗的位置排序有种情况，同学乙要取到最粗的甘蔗，有以下两种情况：最粗的甘蔗是第4棵，其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况；最粗的甘蔗是第5棵，第二粗的甘蔗在第1个或第2个或第3个位置，其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况.从而得到. （2）法1：若考虑全部这一列甘蔗排序，最粗的甘蔗是第棵，共有!种排法，先从其余棵甘蔗中选（）棵甘蔗出来，其中最粗的甘蔗在前个位置，剩下的全排列，共有!种排法，剩下的棵甘蔗全排列，从而得到.法2：若最粗的甘蔗是第棵，则乙游客能选到最粗的甘蔗，只需要前棵甘蔗中最粗的那棵排在前棵，从而得到. （3）记事件表示最粗的甘蔗被乙游客取到，事件表示最粗的世蔗排在第个位置，求出，由全概率公式求.当，即最粗的甘蔗在前个位置中，此时，当时，最粗的甘蔗被乙游客取到当且仅当前棵甘蔗中最粗的一棵在前棵之中，求出，得到，令，求，利用导数的单调性得到，即取得最大值，从而得到所求. 【详解】（1）由题意可知. 依题意，5棵甘蔗的位置从第1棵到第5棵排序， 有种情况，同学乙要取到最粗的甘蔗，有以下两种情况： 最粗的甘蔗是第4棵，其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况； 最粗的甘蔗是第5棵，第二粗的甘蔗在第1个或第2个或第3个位置， 其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况. 因此，. 故. （2）法1：若考虑全部这一列甘蔗排序，最粗的甘蔗是第棵，共有!种排法， 先从其余棵甘蔗中选（）棵甘蔗出来，其中最粗的甘蔗在前个位置，剩下的全排列，共有!种排法，剩下的棵甘蔗全排列， 所以 . 法2：若最粗的甘蔗是第棵，则乙游客能选到最粗的甘蔗，只需要前棵甘蔗中最粗的那棵排在前棵，所以. （3）记事件表示最粗的甘蔗被乙游客取到，事件表示最粗的世蔗排在第个位置，则， 由全概率公式可知. 当，即最粗的甘蔗在前个位置中，此时， 当时，最粗的甘蔗被乙游客取到当且仅当前棵甘蔗中最粗的一棵在前棵之中，此时， . 令，则， 由，可得， 当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 【答案】(1)或． (2)且 (3) 【难度】0.4 【知识点】导数新定义、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义和两点斜率公式列方程可求，再利用点斜式求切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，作函数的大致图象，由时，成立，可得，求函数的对称中心，利用对称性化简可得，结合图象进一步化简，由此可求结论， （3）由条件结合导数运算法则可得，令，，利用导数研究函数的单调性，结合函数性质求其零点，由此可得结论. 【详解】（1）因为，故可设切点为，， 所以， 整理得： 解得：或， 当时，切点为，切线斜率为，故切线方程为， 当时，切点为，切线斜率为，切线方程为， 故切线方程为：或． （2），当且仅当时，， 由（1）， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又由可得，，， 作函数的大致图象如下，    所以， 要使恒成立 当即时，恒成立， 即，且， 所以 当时，由恒成立， 得（*）， 因为，所以，， 令，所以， 当时，，当时，， 由题干可得函数的图象关于点对称， 所以， 所以不等式（*）为， 因为，结合图象可得， 所以恒成立， ，所以． 综上，且 （3）， 由于，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为 14．（2025·辽宁·模拟预测）设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. (3)证明见解析；. 【难度】0.15 【知识点】数列新定义、由递推关系式求通项公式、反函数的性质应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】（1）根据伴随数列的定义求解； （2）（i）利用证明；（ii）根据伴随数列的定义求； （3）根据伴随数列的定义证明数列的伴随数列为数列，然后由已知数列的伴随数列的通项公式构造出，通过反函数得出通项公式． 【详解】（1）根据定义，有： ， 即． （2）（i）的证明：注意到：，故，反之有．而且，进而且， 即． （ii）的证明：根据定义和已知条件，数列和数列均为整数数列．考虑数列的伴随数列：，即数列的伴随数列就是数列． （3）由（2）中（ii）的证明可知：只需证明数列的伴随数列为数列． 设，由定义有，即， 进而有， 由（2）中（i）的证明可知，这等价于， 即．故数列与数列互为伴随数列． 记数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，…为， 易见数列的伴随数列的通项公式为， 记函数，则其反函数为：， 由（3）中所证明结论可知数列的通项公式为． 15．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中． (1)写出，，并求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、裂项相消法求和 【分析】（1）根据导数的几何意义写出切线方程，求出关于数列的递推公式，判断数列的性质求其通项公式或利用累乘法求其通项公式. （2）利用错位相减法求数列的前项和，或构造数列，，根据利用裂项求和法求数列的前项和，再判断与4的大小. 【详解】（1）由已知， 则曲线在点处的切线方程为， 即． 令，得． 因为，代入上式，依次解得，． 因为，所以，得．所以． 解法一：故数列为等比数列，首项为1，公比为． 所以． 解法二：当时，． 当时，因为，所以上式亦成立. 所以． （2）解法一：． ， ， 两式相减可得： 所以． 因为，所以. 解法二：． 令，则． 所以 ． 因为，所以． 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求函数零点或方程根的个数、集合新定义 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、求直线与双曲线的交点坐标、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 5．（2018·上海·高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】比较不同通勤方式的人均通勤时间来确定范围，再根据加权平均数求得人均通勤时间的表达式，最后分析其单调性. 【详解】（1）根据题意，即， 当时，，不满足题意； 当时，，化简得， 即，∴或（舍），∴， 综上，当时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间； （2）由题意，， 当时，， 由一次函数图象性质可知，在时单调递减； 当时，， 由二次函数图象性质可知，当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，， 在上单调递减，在上单调递增， 说明当自驾群体范围小于时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为时，人均通勤时间最少； 当自驾群体范围超过时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. 6．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.15 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、解余弦不等式 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 7．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、二项式定理与数列求和 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列新定义 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】等比数列的简单应用、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 多模块综合考查 根据近几年的高考情况，解三角形、概率统计、立体几何、平面解析几何、导数等专题是高考中经常出现的解答题类型，在考试中经常出现相互交汇的情况，本专题通过对高考中经常出现的几种交汇类型进行总结。 题型一：导数与三角函数相交汇 1．（2025·河南·一模）（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 1. 利用三角函数的性质，在利用导数解决问题时，构建相关的模型 2. 利用导数恒成立思想或能成立思想进行求解 1．（2025·陕西榆林·一模）已知函数，． (1)证明：在上单调递减； (2)记的最小值为，最大值为，数列的前项积为． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）证明：． 2．（2025·广东肇庆·一模）已知函数. (1)当，时，求证：； (2)当时， （ⅰ）求在上的所有极大值点之和； （ⅱ）若在上有两个实根，，比较与的大小关系. 题型二：导数与概率统计相交汇 1．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 1. 利用统计概率的相关性质列出式子 2. 利用导数的性质求出单调性，从而求出最值 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量. (1)若，求和； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求证：且. 题型三：导数与数列相交汇 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知，函数.证明：当时，； （2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知. （i）证明：； （ii）求，其中表示不超过的最大整数. 1. 根据数列的性质得到相关通项 2. 根据导数的性质对其进行分析，得到相关性质进行求解 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”． (1)若，，证明：为有界数列； (2)设，对，均有，求实数的取值； (3)设数列是2－有界数列，，且，求的最大可能值． 2．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）抽屉原理也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出并用来证明数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．其内容为：如果把个物体放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉要放进个或更多个物体．已知数列与数列满足，若数列是递增数列，则称数列具有性质． (1)当，且数列具有性质时， ①写出一个满足，项数为6的数列； ②若，数列的前项和为，证明：当时，至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等． (2)从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列，判断是否存在项数为的数列具有性质，并说明理由． （参考数据：） 题型四：导数与二项式相交汇 1．（2025·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若，求； (2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称. （i）求，； （ii）若，，.证明：. 1..求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． 2.求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 3.根据导数的性质对二项式进行分析 题型五：数列与平面几何相交汇 1．（2025·湖南永州·模拟预测）抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 1. 利用平面解析几何的性质列出相关式子： （1） 联立 （2） 韦达定理找到相交点的关系 （3） 列出相关式子 2.利用数列的相关性质进行求解 1．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． (1)求C的方程； (2)设数列的前n项和为，证明：； (3)求的面积． 2．（2024·云南·模拟预测）如图，已知点列与满足，且，其中，．    (1)求； (2)求与的关系式； (3)证明：． 题型六：统计概率与数列相交汇 1．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 1. 根据统计概率的相关性质得到数列的通项公式进行 2. 熟练掌握马尔科夫链 全概率公式是新高考考查内容，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者 （）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 3.利用相关性质进行求解 1．（24-25高二下·广东东莞·期末）现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品． (1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望； (2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值． ①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值． ②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值． 2．（2024·云南丽江·模拟预测）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为． (1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病． （i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望； （ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望； (2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值. 3.（2025·黑龙江大庆·一模）2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. (1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； (2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 题型七：平面解析几何与导数相交汇 1．（2025·湖南长沙·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为 . (1)求的方程； (2)过点且不垂直于轴的直线与交于两点，直线与交于另一点. （i）证明: ； （ii）若点是的外心，求面积的最大值. 1. 根据平面几何性质列出相关式子 2. 利用导数对其进行求解 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C．    (1)证明曲线C的方程为； (2)设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点. ①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值. ②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为?若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 题型八：数列与排列组合相结合 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）． 1. 利用排列组合的性质得到相关式子 2. 和数列相结合进行求解 1．（2025·浙江·三模）空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. (1)求粒子在第2秒末移动到点的概率； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 题型九：导数与解三角形相交汇 1．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）记斜的内角的对边分别为，已知，且． (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 1．（2025·四川成都·三模）记斜的内角的对边分别为，已知，且. (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围. 2．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 题型十：导数与平面向量相交汇 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知，． (1)若曲线和有两个公共点，求a的取值范围； (2)已知B为曲线上一点，其中为的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E． （ⅰ）求E的方程； （ⅱ）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值． 题型十一：数列与三角函数相交汇 1．（24-25高三上·山西·期末）已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求和的值； (3)已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式. 1．（2025·山西·三模）已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)证明：．(切线不等式) 题型十二：立体几何与三角函数相交汇 1．（2025·甘肃白银·三模）圆柱的标准方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圆柱任意一点的坐标.已知圆柱的方程为，如图，点，分别为上、下底面圆的圆心，四边形是圆柱的一个轴截面，点，，分别为，，的中点，点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）. (1)证明：平面； (2)若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，求的取值范围； (3)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值. 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图①，在梯形中，为线段的中点，将沿折起至，如图②． (1)若，证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的正弦值． 1．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 2．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）甲有两辆自行车，且每天都去体育馆锻炼.若甲去体育馆时，只要不下雨且家里有自己的自行车，他就会骑自行车过去．若甲回家时，只要不下雨且体育馆有自己的自行车，他就会骑自行车回家.其他情况下均走路去体育馆或回家．假设甲每天去体育馆时，回家时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每次下雨与否互不影响．当前甲的自行车一辆在家里，一辆在体育馆． (1)设甲第一天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为，求的分布列与期望． (2)设甲连续天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为0，1的概率分别为，． ①求； ②证明：． 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积． (1)求概率的值； (2)求随机变量的概率分布及其数学期望． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数，将函数的所有正的零点从小到大排列组成数列.记表示不超过的最大整数，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)从数列的前项中，随机选出两个不同的项相乘，所得结果为偶数的概率为.是否存在一个正整数，当时，恒有，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. (3)数列满足，且数列的前项和为，求证：. 5．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，证明：； (3)证明：. 6．（2025·山东泰安·模拟预测）在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个白球和红球，有放回地随机摸球次，白球出现次.假设每次摸出白球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出白球的概率的估计值为. (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取个球，设摸出的球为白球的次数为，则. （注： 表示当每次摸出白球的概率为时，摸出白球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值. (2)把（1）中“使得取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性. 7．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 8．（2025·上海·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 9．（2025·四川·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，证明：当时，； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． (1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； (2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 11．（2025·浙江丽水·一模）已知函数，，（为自然对数的底数）． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）记为函数在上从小到大排列的第个极值点，求数列的前20项和． (2)当时，求证：对任意的，恒成立． 12．（2025·云南楚雄·模拟预测）在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为，乙选到最粗的甘蔗的概率为. (1)若，求和； (2)若最粗的甘蔗是第棵，求； (3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取） 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 14．（2025·辽宁·模拟预测）设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 15．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中． (1)写出，，并求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 5．（2018·上海·高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 6．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 7．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $