专题05 判定两个三角形全等的常用思路（举一反三专项训练）数学湘教版2054八年级上册

专题05 判定两个三角形全等的常用思路（举一反三专项训练） 【湘教版2024】 【题型1 已知两边找第三边SSS】 1 【题型2 已知两边找夹角SAS】 2 【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】 4 【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】 5 【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】 6 【题型6 已知一角与对边找一角AAS】 7 【题型7 已知两角找夹边ASA】 8 【题型8 已知直角与邻边找对边HL】 9 【题型9 已知直角与对边找对边HL】 10 【题型10 已知两边找直角HL】 11 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型1 已知两边找第三边SSS】 【例1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1-1】如图，点D在内部，，．求证：．    【变式1-2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【变式1-3】（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在五边形中，，，，将绕点顺时针旋转后得到． (1)求证：、、三点在同一条直线上； (2)求证：． 【题型2 已知两边找夹角SAS】 【例2】（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【变式2-1】（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【变式2-3】（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与探究 如图1，和都是等边三角形，连接，． (1)求证：． (2)如图2，将绕点顺时针旋转至，，三点共线，为的中点，连接，． ①的度数为________． ②试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】 【例3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【变式3-1】（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【变式3-2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【变式3-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】 【例4】（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，点是边上一点，点为外的任意一点，连接，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【变式4-1】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【变式4-2】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【变式4-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在和的延长线上，且，连接，．求证：． 【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】 【例5】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式5-1】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，，，求证：． 【变式5-2】（2025·江苏镇江·二模）如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【变式5-3】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，点E、F在长方形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 【题型6 已知一角与对边找一角AAS】 【例6】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，．求证：． 【变式6-1】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，垂直平分交于点，于点，求证：． 【变式6-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点C在线段上，．与全等吗？请说明理由． 【变式6-3】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图的位置时， 求证： (1)； (2)． 【题型7 已知两角找夹边ASA】 【例7】在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证：    【变式7-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点D，A，C在同一直线上，，，，试说明． 【变式7-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 【变式7-3】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在的网格中，点A，B，C在格点上，，，平分，点N是线段的中点，过点N作分别交，于点E，F．求证：． 【题型8 已知直角与邻边找对边HL】 【例8】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，E是AB上的一点，且，．求证：． 【变式8-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，，求证：． 【变式8-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【变式8-3】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 【题型9 已知直角与对边找对边HL】 【例9】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 【变式9-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【变式9-2】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 【变式9-3】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图．在中，于，于，且，．求证：． 【题型10 已知两边找直角HL】 【例10】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，连接，点D为的中点，连接，，求证：． 【变式10-1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在和中，，，与交于点．求证：． 【变式10-2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【变式10-3】（2025·山东威海·一模）已知点为长方形边的中点，连接，将长方形沿折叠，点的对应点为点，连接并延长，交直线于点． (1)如图，点落在长方形内部时，试判断线段，，之间的数量关系，直接写出结论________________； (2)如图，点落在长方形外部时，请用尺规作出图形（不写作法，保留作图痕迹），（）中的结论仍然成立吗？请说明理由； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 判定两个三角形全等的常用思路（举一反三专项训练） 【湘教版2024】 【题型1 已知两边找第三边SSS】 1 【题型2 已知两边找夹角SAS】 5 【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】 9 【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】 13 【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】 16 【题型6 已知一角与对边找一角AAS】 19 【题型7 已知两角找夹边ASA】 22 【题型8 已知直角与邻边找对边HL】 24 【题型9 已知直角与对边找对边HL】 27 【题型10 已知两边找直角HL】 30 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型1 已知两边找第三边SSS】 【例1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质， （1）利用证明即可； （2）利用全等的性质和平行线的性质得出，再利用来证明，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）点是的中点， ， 在和中，， ． （2）， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ， ． 【变式1-1】如图，点D在内部，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由，可知，再利用即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 【变式1-3】（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在五边形中，，，，将绕点顺时针旋转后得到． (1)求证：、、三点在同一条直线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由旋转的性质得，求得，即可得证； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：由旋转可得， ， ， ， 、、三点在一条直线上； （2）证明：由旋转可得， ，， ， ，即， 在和中， ， ． 【题型2 已知两边找夹角SAS】 【例2】（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 【变式2-1】（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，然后证明出，进而证明出． 【详解】证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 【变式2-3】（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与探究 如图1，和都是等边三角形，连接，． (1)求证：． (2)如图2，将绕点顺时针旋转至，，三点共线，为的中点，连接，． ①的度数为________． ②试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)①②，理由见详解 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得．根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）①由（1）知，，得到，求得， ②如图，延长至点G，使得．由F为的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，．根据全等三角形的性质得到，，求得．根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴； （2）解：①与（1）同理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：如图，延长至点G，使得． ∵F为的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 由（1），得， ∴，， ∴， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】 【例3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用公共边，结合证明即可． （2）利用证明即可得到结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 【变式3-2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，，即可得证． 【详解】证明：点与点关于点中心对称， 是线段的中点，即， ， ， 在与中， ， ， ，， 点A与点F关于点E成中心对称． 【变式3-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】 【例4】（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，点是边上一点，点为外的任意一点，连接，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边； （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式4-1】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据，得，结合，，证明，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 【变式4-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在和的延长线上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 证，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， 即 在和中， 【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】 【例5】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 【变式5-1】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定． 【详解】证明：， ， ． 在与中， ， ． 【变式5-2】（2025·江苏镇江·二模）如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【答案】(1)36 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）先根据三角形的外角性质得到，然后即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即， 而， ， 在和中， ， ． 【变式5-3】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，点E、F在长方形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了长方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由长方形的性质可得，，由等边对等角结合对顶角相等即可得出，最后证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：四边形是长方形， ，，               ， ∴， ∵，， ．                 在和中， ， ，                   ． 【题型6 已知一角与对边找一角AAS】 【例6】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，平行线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据平行线性质结合三角形内角和定理得到，再根据“”即可证明三角形全等． 【详解】证明： ， ， ， ，即， ∵， ， 在与中， ， ． 【变式6-1】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，垂直平分交于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质得，，进而得，，通过证明即可． 【详解】证明：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式6-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点C在线段上，．与全等吗？请说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，然后利用即可证明． 【详解】解：，理由如下， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【变式6-3】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图的位置时， 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等即可； （2）利用全等三角形性质得到、，再结合等量代换即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∵于D，于E， ∴， ， ， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴、， ∴． 【题型7 已知两角找夹边ASA】 【例7】在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证：    【分析】证明，得到. 【详解】解：， ， ， ， 在和中， ， ， . 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点D，A，C在同一直线上，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以． 【变式7-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行证明即可． 【详解】证明： ， ， 即：． ，， ． 【变式7-3】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在的网格中，点A，B，C在格点上，，，平分，点N是线段的中点，过点N作分别交，于点E，F．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明三角形全等． 先根据已知条件求出，再利用中点，最后通过对顶角相等证明，从而得出． 【详解】证明：，CM平分， ， 点N是AC中点， ． ， ． ． 【题型8 已知直角与邻边找对边HL】 【例8】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，E是AB上的一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质．由“等角对等边”得到，再由“”证明，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【变式8-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键． 利用“斜边、直角边”判定和全等，根据三角形全等的性质即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即． ∵， ∴和是直角三角形． 在和中， ， ∴． ∴． 【变式8-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【变式8-3】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，进而求出的度数，进而求出的度数，进而求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型9 已知直角与对边找对边HL】 【例9】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．通过证明出，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ． 【变式9-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明： 与分别为，边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 【变式9-2】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-3】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图．在中，于，于，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质．根据等腰三角形的三线合一性质得，继而得到，利用证明全等即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型10 已知两边找直角HL】 【例10】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，连接，点D为的中点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先证明是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，推出 ，，再利用，即可证明． 【详解】证明：， ，   是等腰三角形，            点D为的中点， ，， ∵， ， ，       ，                在和中， ． 【变式10-1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在和中，，，与交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明得，再由等角对等边即可得证．掌握“等角对等边”是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式10-2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，进而可得，然后利用垂直平分线的性质即可得出结论； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，结合已知条件即可得出的形状． 【详解】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ∴垂直平分线段， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，点为中点， ， ， 是等边三角形． 【变式10-3】（2025·山东威海·一模）已知点为长方形边的中点，连接，将长方形沿折叠，点的对应点为点，连接并延长，交直线于点． (1)如图，点落在长方形内部时，试判断线段，，之间的数量关系，直接写出结论________________； (2)如图，点落在长方形外部时，请用尺规作出图形（不写作法，保留作图痕迹），（）中的结论仍然成立吗？请说明理由； 【答案】(1)； (2)作图见解析，（）中的结论仍然成立，理由见解析； 【分析】（1）连接，根据长方形的性质及折叠得，，进而证明（）得，从而得解； （2）过作于，在的延长线上取一点，使得，连接，，延长交直线于，则点的对应点为点， 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为点， ∴，，， ∴， ∵ ∴（） ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：尺规作图如图所示， （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为点， ∴，，， ∴， ∵ ∴（） ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂线，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，尺规作垂线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $