专题03 模型建构专题“手拉手”模型--共顶点的等腰三角形（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题03 模型建构专题“手拉手”模型--共顶点的等腰三角形 目录 题型一：双等边三角形模型 1 题型二：双等腰直角三角形模型 11 题型三：双等腰三角形模型 25 题型一：双等边三角形模型 1．（24-25八年级上·湖北·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识点，证得和是解题的关键． 先利用等边三角形的性质可证明即可判断A选项；根据全等三角形的性质、角的和差以及三角形内角和定理可得，即可判断C选项；再证明可得、即可判断B选项；再证明，即可证明是等边三角形，从而判断D选项． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∴，， ， ∵， ∴，故C选项错误，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴、，即B选项正确，不符合题意； ∵， ∴是等边三角形，即D选项正确，不符合题意． 故选C． 3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到可判断①，结合，得到，可判断②，接着证明，得到，可判断③，最后证明是等边三角形，可得到，从而判断④． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴， ∵点B，C，E在同一条直线上， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 4．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，都是等边三角形，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于，于，根据全等三角形的性质可得，结合三角形外角的定义和性质证明，  得到，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，根据“在角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）设交于，过点作于，于， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 又， ． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图 (1)如图1是等边三角形，点D为边上的一动点(点D不与重合)，以为边在右侧作等边，连接，求证：． (2)如图2，在中,，点D为上的一动点(点D不与重合)，以为边作等腰直角三角形，连接，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角的等量代换得到相等的角，再利用 “” 证明三角形全等． （1）根据题意得，再根据“”证明，从而得． （2）根据题意得，再根据“”证明，根据全等三角形性质知，从而得 的度数 ． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴ （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴ 6．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知：如图，点在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点，连接交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可证得，可求得； （2）由（1）中得，结合，和三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：，均为等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知：. ， ，， ． 7．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在等边中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边，连接． (1)如图①，当点在点右侧时，求的度数； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可求解； （2）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得证． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立，理由如下： 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 8．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，找出等量条件证明三角形全等以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，求证即可； （2）由（1）中全等，得出，结合角度计算即可； （3）首先根据中点的性质，准确添加辅助线，属于倍长中线模型，即可得，结合前两问中的等量关系，证明出，故可得，即可证出． 【详解】（1）解：∵与均为等边三角形， ∴，，且， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴． （2）解：若，，三点共线， 则 由（1）中， ∴， ∵，， ∴． （3）解，延长至点，使得，连接，如下图所示： ∵点为中点， ∴，又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， 由（1）中， ∴，结合，， ∴， ∴，∵， ∴． 题型二：双等腰直角三角形模型 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论正确；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①②③④都正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用图形的对称性和全等三角形推导角度与线段关系。 通过等腰直角三角形的性质推导线段垂直平分线，利用全等三角形证明线段与角度关系，结合等边三角形、等腰三角形的角度计算判断结论。 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，， ， ∴ 点在的垂直平分线上， ， ∴ 点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分，①正确； ， ， ， ， ，如图所示： ∴ 由三角形内角和定理得：， 平分，③正确； ， ， ∴是等边三角形，②正确； ， ， ，④错误， 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 3．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且点，，在同一条直线上，连接，则以下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的个数是 ． 【答案】3个 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，结合三角形内角和定理，周角的计算即可判定． 【详解】解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ，即． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 故答案为：3个． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等腰中，，在平面上取一点D，连接，以点A为旋转中心，将线段AD逆时针旋转得到线段，连接． (1)_________． (2)连接，判断并证明与的数量和位置关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，数值相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （2）设交于T，交于O，可证明，得到，再由三角形内角和定理和对顶角相等推出，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， ∴； （2）解：，证明如下： 设交于T，交于O， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，分别以，为腰向外作等腰，，且，，，点为的中点，连接． (1)如图1，若是等边三角形，则与的数量关系是________； (2)如图2，若是任意三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到，使得，连接，证明，得出，，再证明得出，进而可得出； （2）延长到，使得，连接，证明，得出，，再证明得出，进而可得出． 【详解】（1）； 延长到，使得，连接． 点为中点，， 在与中， ， ，， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． （2）成立，理由： 如图，延长到，使得，连接． 点为中点， ， 在与中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·云南红河·期末）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，如图2是由它抽象出的几何图形，和是等腰直角三角形，在同一条直线上，连结． (1)已知，求的度数； (2)指出线段和线段的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直且相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据三角形外角性质解答即可； （2）先根据得，进而可依据“”判定△与△全等，进而得出，，则，据此可得出线段和线段的关系． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ； （2）解：垂直且相等， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ，， ， ， 线段和线段的关系是：垂直且相等． 7．（25-26八年级上·河南信阳·期中）在中，，，点D是射线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． (1)观察猜想 如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)类比探究 如图2，当点D在线段的延长线上时，请根据题意补全图形，并判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； (3)拓展应用 当点D在射线上运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，； (2)仍然成立，见解析 (3)2或10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先证明，再证明，得出，，即可得解； （2）先证明，再证明，得出，，即可得解； （3）分两种情况：当点D在线段上时；当点D在线段的延长线上时；分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵在直线的右侧作，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即； （2）解：画出图形如图所示： ， ∵在中，，， ∴， ∵在直线的右侧作，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：当点D在线段上时，； 当点D在线段的延长线上时，； ∴线段的长为或． 8．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)详见解析 (2)， (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题解题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质推导线段关系与位置关系． （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 9．（25-26八年级上·河南安阳·期中）已知为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，，点D在直线上，连接． (1)若点D在线段上，如图1，求证：； (2)若D在延长线上，如图2，其他条件不变，线段、、有怎样的关系？说明理由； (3)若D在CB的反向延长线上，如图3，其他条件不变，线段、、的关系是______直接写出结论； (4)若，，则的长为______．请直接写出答案，不需要证明 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) (4)14或 【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得到，得到，利用SAS定理证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形证明； 同的证明方法，即可得出结论； 分情况点D在线段上或在的延长线上，再借助的结论计算，即可得出结论． 【详解】（1）证明：和是等腰三角形， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ； （2）当点D在的延长线上时，，理由如下： 和是等腰三角形， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ； （3）解：当点D在的反向延长线上，； 同的方法得， ，， ， ， 故答案为：； （4）解：由知，， ， ， ， ， 当点D在线段的上时，由知， ， 当点D在延长线上时，由知， ∴，不成立，舍去 当点D在的反向延长线上时，由知，， ， 故答案为：14或 题型三：双等腰三角形模型 1．（25-26八年级上·四川德阳·期中）以线段为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点三点共线时，求证：； (2)如图2，当点三点不共线时，连接，点F为中点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和，解决问题的关键是作出适当的辅助线构造全等三角形和画出相应的图形进行分析． （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵点三点共线， ， ∴； （2）证明：延长至，使，连接，， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 由（1）知，， 设，， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①利用即可证明；②延长交于F，设交于G，由全等三角形的性质可得，再导角可证明，据此可得答案； （2）①根据（1）②的结论可得答案；②同理可证明，则，由三线合一定理可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①∵与均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图所示，延长交于F，设交于G， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①同（1）②可证明， ∵A、E、D三点共线， ∴； ②，证明如下： 同理可证明， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵为中边上的高， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)，，理由见解析． 【分析】（1）由，可证，根据全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解； （3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可． 【详解】（1）（1）解：， ， ， 在和中，， ， 故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：且， 理由如下： 如下图所示， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键 4．（21-22八年级上·江苏淮安·期末）如图①，，，． (1)、相交于点M． ①求证：， ②用含α的式子表示的度数； (2)如图②，P，Q分别是、的中点，连接、，，判断的形状，并加以证明； (3)如图③，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，则_______． 【答案】(1)①见解析；②； (2)为等腰三角形，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等，运用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． （1）①由“”可证，可得； ②由三角形内角和定理可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，，根据旋转的性质得到，，，可得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）①证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图1，， ， ， ， ； （2）解：为等腰三角形，理由如下： 如图2，由（1）可得，， ，的中点分别为点、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． （3）解：如图，将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ． 故答案为：5． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点、、三点共线时．求证：； (2)如图2，当点、、三点不共线时，连接，在上取中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点在射线上运动时（点与A不重合），连接，若，，且，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，，，， ∴ ∴， ∵． ∴ ， ； （2）证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在和中，，连接BE，CF． 【发现问题】（1）如图1，若，延长，交于点，则与的数量关系是_________，的度数为_________． 【类比探究】（2）如图2，若，延长，，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，若，，相交于点，连接，．若，求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识． 发现问题（1）：设与交于点O，证明，则，由三角形外角的性质即可得到的度数； 类比探究（2）：证明，则，由，得到，再根据三角形外角的性质得到的度数； 拓展延伸（3）：证明，则，进而证明根据 即可求解． 【详解】解：发现问题（1）：， 如下图，设与交于点O， ， ， 即， ， ， ， ， ； 类比探究（2）：，理由如下： 如下图，      ， ， 即， ， ， ， ； 拓展延伸（3）： ， 即， ， ， ， ∴ ． ∵． ∴四边形的面积． 7．（25-26八年级上·江西新余·期中）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， (1)如图①求证：； (2)如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质． (1)根据可证，利用可证； (2)根据可证，，根据中点的定义可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，， ； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下： ， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． 8．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，．，． (1)如图①，若，写一个未知角的度数：___________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证两三角形全等，即可证得结论； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高相等，最后由角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：过作于点，于点， ∵， ∴，， ∴， 即：， ∴线段为的平分线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 9．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）设交于点，结合等腰直角三角形的定义，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，即可证明； （2）结合等边三角形的性质，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，再证明，然后由三角形内角和定理即可获得答案； （3）在上取点，使得，证明为等边三角形，利用“”证明，，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，设交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：，； （2）∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）如下图，在上取点，使得， ∵，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了“手拉手模型”的应用，涉及的知识点包括全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、三角形内角和定理等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03模型建构专题“手拉手”模型-共顶点的等腰三角形 题型归纳 目录 题型一：双等边三角形模型 ..1 题型二：双等腰直角三角形模型… 11 题型三：双等腰三角形模型 .25 题型专练 题型一：双等边三角形模型 1.(24-25八年级上·湖北期中)如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形.AN与 CM交于点E,BM与CN交于点F,AN与BM交于点D.下列结论：①AN=BM;②CD⊥EF;③ △ECF是等边三角形；④DC平分∠ADB.其中正确的有()个 B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(25-26八年级上·山东德州期中)如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交 CD于M,BD交CE于N,交AE于O,连接MN,则下列结论错误的是() A.ACE≌DCB B.DN=AM C.∠A0B=150° D.△CMW是等边三角形 3.(22-23八年级下·河南郑州·月考)如图，已知ABC和△DCE均是等边三角形，点B,C,E在同一条 直线上，AE与BD相交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD相交于点F,连接OC，,FG,则下列结论： ①AE=BD;②LDOE=60°；③AG=BF;④FGBE;其中正确的结论有一· 1/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C 4.(25-26八年级上·四川德阳·月考)如图，△ABD,△AEC都是等边三角形，CD与BE交于点H,连接AH. B (I)求证：DC=BE; (2)求∠AHD的度数； 5.(25-26八年级上·全国期末)如图 D D 图1 图2 (I)如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边在AD右侧作等 边ADE,连接CE,求证：BD=CE. (2)如图2，在ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，,点D为BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作 等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°，连接CE,求∠DCE的度数. 6.（25-26八年级上四川自贡·期末)己知：如图，点B在线段AD上，ABC和BDE都是等边三角形， 且在AD同侧，连接AE交BC于点G,连接CD交BE于点H,交AE于点O,连接GH, E B (I)求证：AE=CD; (2)求∠A0C的度数. 7.(24-25八年级上广东肇庆·期末)如图，在等边ABC中，点B在直线1上，AB11,点P是直线I上一 动点，以线段AP为一边在其右侧作等边△APQ,连接BQ,CQ. 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② (I)如图①，当点P在点B右侧时，求∠ACQ的度数： (②)如图②，当点P在点B左侧时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认 为正确的结论，并说明理由， 8.(25-26八年级上广西南宁·月考)如图1，己知△ABC是等边三角形，点D在△ABC内部，连接BD, CD,在CD的右侧构造等边三角形△CDE,连接AE. B B B 图1 图2 图3 (I)求证：AE=BD; (2)如图2，当B,D,E三点共线时，求∠AED的度数； (3)如图3，在(2)的条件下，取BC中点F,连接AD，,DF,试判断AD与DF之间的数量关系并证明. 题型二：双等腰直角三角形模型 1.(25-26八年级上·河南洛阳·期中)如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, AD=AE,C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE,以下四个结论：①BD=CE;② ∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE;④LBAE+∠DAC=180°.其中正确的为() A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 2.(25-26八年级上·吉林长春·期中)如图，已知△ABE与aCDE都是等腰直角三角形， ∠AEB=∠DEC=90°，连接AD、AC、BC、BD,AD=AC=AB,给出下列结论：①AE⊥CD;② △ABD是等边三角形；③AC平分∠BAD;④∠BCD的度数为120°.其中正确的结论为. 3/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A B 3.(25-26八年级上山东日照期中)如图，ABC和ADE均为等腰直角三角形，且点C,D,E在同 条直线上，连接BD,BE,则以下四个结论： B ①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=60°；③BD⊥CE;④LBAE+∠DAC=I80°.其中正确的个数是」 4.(24-25八年级下陕西西安·期中)如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,在平面上取一点D,连接AD, 以点A为旋转中心，将线段AD逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE. D B (I)∠ADE= (②)连接BD,CE,判断并证明BD与CE的数量和位置关系， 5.(25-26八年级上江西南昌期中)如图，在ABC中，分别以AB,AC为腰向外作等腰Rt△ABD, RtAACE,且AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F为BC的中点，连接AF, B万 B F 图1 图2 (I)如图1，若ABC是等边三角形，则AF与DE的数量关系是 ； (2)如图2，若ABC是任意三角形，(1)中的结论还成立吗？请说明理由. 6.(24-25八年级上·云南红河·期末)两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，如图2是由它抽象 出的几何图形，ABC和ADE是等腰直角三角形，B,C,E在同一条直线上，连结CD. 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A B 图1 图2 (1)己知∠AEB=30°，求∠CAE的度数； (②)指出线段BE和线段CD的关系，并说明理由. 7.(25-26八年级上河南信阳·期中)在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是射线BC上的一个动点， 连接AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,连接DE,CE. E A 图1 图2 备用图 (①)观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时，线段BD与CE的数量关系是， 位置关系是； (2)类比探究 如图2，当点D在线段BC的延长线上时，请根据题意补全图形，并判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若 成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明： (3)拓展应用 当点D在射线BC上运动的过程中，若BC=6,CD=4,请直接写出线段CE的长. 8.(23-24八年级上·黑龙江佳木斯期末)已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，D是直线BC上的一 动点（点D不与点B,C重合），连接CE. y 图① 图② 图③ (I)如图①，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD; (2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，直接写出BC,CE,CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 位置关系； (3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，直接写出BC,CE,CD之间存在的数量关系及直线CE与直线 BC的位置关系. 9.(25-26八年级上·河南安阳·期中)已知aABC为等腰直角三角形，AB=AC,△ADE为等腰直角三角形， AD=AE,点D在直线BC上，连接CE. B D 图1 图2 图3 (I)若点D在线段BC上，如图1，求证：CE=BC-CD; (2)若D在CB延长线上，如图2，其他条件不变，线段CE、BC、CD有怎样的关系？说明理由： (3)若D在CB的反向延长线上，如图3，其他条件不变，线段CE、BC、CD的关系是 (直接写出结 论)； (4)若CE=10,CD=4,则BC的长为 ·(请直接写出答案，不需要证明) 题型三：双等腰三角形模型 1.(25-26八年级上·四川德阳·期中)以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ACD与等腰 △CBE,DA=DC,EC=EB,LADC=a,LCEB=B,且a+B=180°. D D 图1 图2 (1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：DC⊥CE; (②)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB,点F为AB中点，连接DF、EF,求证：DF⊥EF. 2.(25-26八年级上·福建龙岩·月考)新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合， 则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手 模型”，如图1，若ABC与△CDE都是等腰三角形，其中LACB=∠DCE,则△ACE≌△BCD(SAS). B A B 图1 图2 (I)如图1，若ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=LDCE=90°， 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：△ACE≌△BCD; ②猜想：线段AE、BD的数量关系是_，位置关系是_ (②)在(1)的条件下，若点A,E,D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高， ①∠ADB的度数为 ②线段CM,AD,BD之间的数量关系，并说明理由. 3.(24-25八年级下·浙江·假期作业)在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是 由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣 小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手 拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” (I)如图，ABC与ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有 2 (②)如图，已知ABC,以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE,并连接BE,CD,则 ∠BOD= (3)如图，在两个等腰直角三角形ABC和ADE中，AB=AC,AE=AD,LBAC=∠DAE=90°，连接 BD,CE,交于点P,请判断BD和CE的关系，并说明理由. 4.(21-22八年级上江苏淮安·期末)如图①，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a· ① 2 ③ (I)AD、BE相交于点M. ①求证：AD=BE, ②用含a的式子表示∠AMB的度数： (2)如图②，P,Q分别是AD、BE的中点，连接CP、CO,PO,判断△CPQ的形状，并加以证明； (3)如图③，在ABC中，∠ACB=45°，BC=√⑧，AC=3,以AB为直角边，B为直角顶点作等腰直角 △ABD,则CD= 5.(25-26八年级上·重庆期中)以线段AB、BC为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ABD与等腰△BCE 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,AD=BD,BE=CE,∠ADB=a,∠BEC=B,且a+B=180° D B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点A、B、C三点共线时.求证：DB⊥BE; (2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB,在AC上取中点F,连接DF、EF,求证： DF⊥EF; (3)如图3，当点C在射线AD上运动时（点C与A不重合），连接CE,若a=60,AB=6,且SA40=9V5 ,直接写出EC+。DE的最小值. D C 在△AFD和△CFQ中， B AF=CF ∠DFA=∠QFC, DF=OF △AFD≌aCFQ(SAS, .AD=CQ,∠DAF=∠QCF, D EB=EC, B 6.(25-26八年级上·安徽滁州月考)如图，在ABC和ABC中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,连 接BE,CF. 8/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B H 图1 图2 图3 【发现问题】(1)如图1，若∠BAC=30°，延长BE,交CF于点D,则BE与CF的数量关系是 LBDC的度数为 【类比探究】(2)如图2，若∠BAC=120°，延长BE,FC,相交于点D,请猜想BE与CF的数量关系及 LBDC的度数，并说明理由 【拓展延伸】(3)如图3，若∠BAC=90°，BE,CF相交于点D,连接BF,CE.若CF=8,求四边形 FBCE的面积. 7.(25-26八年级上江西新余·期中)“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以 从中找到全等三角形.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a, B 6 A E 图① 图② (1)如图①求证：ACD≌BCE; (2)如图②，当a=90°时，取AD的中点P,BE的中点Q,判断△CPQ的形状并给出证明. 8.(25-26八年级上·新疆期中)如图，点B在线段AC上，分别以线段AB,BC为边作△ABE和△BCD, AB=BE BC=BD,ZABE=ZDBC 图① 图② (1)如图①，若∠A=60°，写一个未知角的度数： (2)如图②，连接AD,CE交于点F,求证：AD=CE; (3)在(2)的条件下，连接BF,求证：线段FB为∠AFC的平分线. 9.(25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型： 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.通过查 询资料，他们得知这种模型称为手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 9/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)观察猜想 如图1，在ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE, ∠BAD=∠CAE=90°，连接BE,CD,则BE与CD的数量关系为 ,位置关系为 (2)类比探究 如图2，已知ABC,以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE,BE、CD交于点Q,求 ∠DQB的大小. (3)解决问题 如图3，己知点E在等边ABC的外部，并且点E与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE,若 ∠BEC=60°，AE=3,CE=2,则BE的长为 10/10