第五章 二元一次方程组 章末训练 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第五章 二元一次方程组 一、单选题 1．若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．小明购买这两种花18枝恰好用去100元，设他购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 4．已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（ ） 、的运算 运算的结果 A． B． C． D． 5．下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 6．由方程组可得出与的关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知和都是方程的解，则k、b的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知直线和直线的图象如图所示，则方程组的解是 ． 10．若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ． 11．已知是方程的一组解，则的值为 ． 12．已知在平面直角坐标系中，一次函数、为常数，且的图象与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 13．一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点．则点D的坐标为 ． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，已知的面积为10． (1)求这条直线的表达式； (2)若将这条直线沿轴翻折，求翻折后得到的直线的表达式． 15．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象还过点． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图象于点，连接，若，求的面积． 16．如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为2，求a的值． 17．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 18．如图．在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴和轴于点和点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是直线上一点，且，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法． 将三个方程相加，求出的值，再代入方程中解出k的值． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加： ∴ ∴ 将代入方程中： 解得： 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 所列方程组为：． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用：购买x枝康乃馨，y枝百合，根据“康乃馨每枝6元，百合每枝5元，两种花18枝恰好用去100元”，即可作答． 【详解】解：依题意，得， 故选：A． 4．D 【分析】根据表格得出方程组，求出、的值，然后代入代数式中求值即可． 本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 将代入中， 得． 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：A、是二元一次方程组，故此选项符合题意； B、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； C、含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D、第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把②代入①，方程组消去m即可得到x与y的关系式． 【详解】解：， 把②代入①得：， 整理得：， 故选A． 7．B 【分析】本题考查了二元一次方程解的意义，解二元一次方程组，解题关键是掌握二元一次方程组的解法． 先将解代入方程，得到关于k、b的方程组求解． 【详解】解：∵和都是方程的解， ∴，解得：， 故选：B． 8．C 【分析】通过作辅助线构造全等三角形，求出点坐标，再用待定系数法求直线函数表达式．本题主要考查全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握全等三角形判定找相等线段求点坐标，及待定系数法求函数式是解题关键． 【详解】解：过作轴于，过作轴于． 是含角的直角三角尺，，， ，， 又， ． 在和中， ，， ， ，， ，， ∴． 设直线的解析式为，把，代入得： 两式相减得：，， 把代入得：，， 直线的解析式为， 故选C ． 9． 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题方法． 根据图象可知交点坐标，即为方程组的解． 【详解】解：根据图象可知， 直线和直线交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组． 先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长． 【详解】解：方程组，解得：， ∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长， ∴当腰长为2时， 三边长为2，2，4，，不能构成三角形； 当腰长为4时， 三边长为4，4，2，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 故答案为：． 11．10 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程并求解． 明确方程的解的意义，将代入方程；得到关于a的方程；解此方程得． 【详解】∵是方程的解， ∴将代入方程中，等式成立． 代入得：，即，解得， 故答案为：10． 12． 【分析】本题考查了一次函数交点与解二元一次方程组，掌握交点的含义是解题的关键．根据题意，把代入得到交点坐标，说明既满足又满足，由此即可得到方程组的解． 【详解】解：图象交点的横坐标为2， ， 交点坐标为， 二元一次方程组的解为 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求出一次函数解析式，通过构造全等三角形，求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，过点C作轴于点E，易证≌，利用全等三角形的性质，可得出的长，进而可得出点C的坐标，由点A，C的坐标，利用待定系数法，可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点D的坐标． 【详解】解：当时，， 点A的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点B的坐标为， 过点C作轴于点E，如图所示． ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入 得：， 解得：， 直线的解析式为 当时，， 解得：， 点D的坐标为， 故答案为：． 14．(1) (2) 【分析】（1）由解析式得到点B的坐标，根据三角形面积求出点A的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此直接解答． 【详解】（1）解：当时，，则． 当时，，解得，则． 因为的面积为10，所以， 解得，所以这条直线的表达式为． （2）因为关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， 所以将直线沿轴翻折，翻折后得到的直线的表达式为，即． 15．(1)， (2)28 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）根据正比例函数可得A的坐标，再由A的坐标和点可得一次函数的解析式； （2）分别用含m的代数式表示出B和C的坐标，根据可得m的值，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把和代入可得， 解得， 所以一次函数的解析式为； （2）解：由题意可得， ∴， ∴，解得， 即， ∴． 16．(1)，， (2)或 【分析】（1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ． 把点P坐标代入，得， ， 直线的表达式为， 则方程组的解为； （2）解：直线与直线：的交点C为， 与直线：的交点D为． ， ， 即， ∴或， 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交问题，绝对值方程的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 17．(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆 (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；③利用总利润每辆利润数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用利用总利润每辆利润数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆. （3）解：方案一获得利润：（万元； 方案二获得利润：（万元； 方案三获得利润：（万元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是万元． 18．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，根据三角形的面积求点的坐标，位似图形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作于点，交于点，设点，则，，表示出相关线段的长度，然后利用面积公式列出关于绝对值的方程，最后进行求解即可； （3）根据同高的三角形，面积比就等于底的比，得出，继而得出，设坐标，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由可得，， ∵点为线段的中点， ∴， 当函数值为0时，即， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴直线的函数解析式为； （2）解：如图，过点作于点，交于点， 设点，则，， 此时，， ∴， 整理得， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：如图所示， ∵与的高相等，且， ∴, 假设，则有， ， 即， 解得或， ∴点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$