第五章 二元一次方程组（举一反三单元测试·拔尖卷）数学北师大版2024八年级上册

第五章 二元一次方程组·拔尖卷 【北师大版2024】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若与互为相反数，则的值为(   ) A．3 B．9 C．12 D．27 2．（3分）二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 3．（3分）（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（   ） x m y n t 8 p A．13 B．15 C．16 D．18 6．（3分）（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（   ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 8．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（3分）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m＋n的值可能是(　　) A．2 015 B．2 016 C．2 017 D．2 018 10．（3分）（24-25七年级下·山东日照·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（）与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 12．（3分）如果是二元一次方程，那么 ， ． 13．（3分）（24-25七年级下·河南许昌·阶段练习）已知，则 ． 14．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 15．（3分）（24-25七年级下·山东潍坊·期末）小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则 ． 16．（3分）（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图）．这五张卡片上的数分别记为．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 请你帮李明回答卡片上的数从小到大的排序： ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级上·四川眉山·期中）解方程组 (1) (2) 18．（6分）已知关于的方程组与有相同的解， (1)求此相同的解； (2)求的值． 19．（8分）（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，． (1)直接写出a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 20．（8分）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 21．（10分）（24-25七年级下·广东韶关·期中）综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 22．（10分）（24-25六年级下·上海·期末）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 23．（12分）（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）【材料阅读】 二元一次方程有无数个解，如：，，，…如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． (1)【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为________． (2)（2）已知关于，的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线：设方程①图象与轴，轴的交点分别是与，方程②图象与轴，轴的交点分别是与，计算的度数． （说明：三角形的内角和为可以直接使用）． (3)【拓展应用】 （3）图4中包含关于，的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解________． 24．（12分）（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组·拔尖卷 【北师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若与互为相反数，则的值为(   ) A．3 B．9 C．12 D．27 【答案】D 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及非负数的性质，先根据相反数的定义列出关于x、y的方程，求出x、y的值再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 而，， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 2．（3分）二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：C． 3．（3分）（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组是解题的关键．根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则，， ， 解得：， ∴，， ∴方程组的解为：． 故选：D． 4．（3分）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键． 将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数值即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得：． 故选：B． 5．（3分）（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（   ） x m y n t 8 p A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据表格中数据可得：，整理②，得，把①代入即可得出答案． 【详解】解：由题意，得， 整理②，得， 把①代入得， ∴． 故选：A． 6．（3分）（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 根据题意得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：①+②得，， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴，解得：， 所以这个公共解为， 故选：C． 7．（3分）（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（   ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解应用，正确列出二元一次方程并确定其解的情况成为解题的关键． 设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据题意列出方程并求解满足条件的正整数解，然后统计解的个数即可解答． 【详解】解：设甲种奖品购买x件，乙种奖品购买y件， 由题意得： 将方程变形为： 要求y为正整数，即必须能被3整除且结果大于等于1． 依次代入x的正整数值验证： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件． 其他x值代入后y均不为整数或小于1． 因此共有3种购买方案． 故选B． 8．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可． 【详解】解∶ ，得， ∵方程组有无数组解， ∴，， ∴，， 故选∶D． 9．（3分）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m＋n的值可能是(　　) A．2 015 B．2 016 C．2 017 D．2 018 【答案】A 【详解】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据题意得，两式相加得，m+n=5（x+y），∵x、y都是正整数，可知m+n是5的倍数，可知2015、2016、2017、2018四个数中只有2015是5的倍数，即m+n的值可能是2015． 故选：A． 10．（3分）（24-25七年级下·山东日照·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（）与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点与解二元一次方程组，掌握交点的含义是解题的关键．将点代入中解得m的值，再将与进行变形得到二元一次方程组的解恰好为交点P，由此求解即可． 【详解】解：将点代入中得：， 解得：， 将与分别变形为，， 则二元一次方程组的解为一次函数（）与的交点即点P， 二元一次方程组的解为． 故答案为：． 12．（3分）如果是二元一次方程，那么 ， ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了二元一次方程的概念及解二元一次方程组，掌握这两个知识是解题的关键；由题意得方程组，利用加减法解方程组即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程是二元一次方程， ∴， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为， 故答案为：2，2． 13．（3分）（24-25七年级下·河南许昌·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，把当作常数，解关于的方程组，求出的值，再求出比值即可． 【详解】解：解关于的方程组，得：， ∴； 故答案为：． 14．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于，的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解． 【详解】解：已知是关于，的二元一次方程， 去括号得：， 整理得：， 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， 可得方程组， 解得：， 这些方程的公共解为， 故答案为： 15．（3分）（24-25七年级下·山东潍坊·期末）小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出，，的值代入计算即可． 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：3． 16．（3分）（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图）．这五张卡片上的数分别记为．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 请你帮李明回答卡片上的数从小到大的排序： ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，解二元一次方程组，由题意可得，，，，，进而根据加减消元法可得，解方程组求出的值，进而可得的值，最后比较即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，，， ，得， ，得， ，得， ⑦⑧联立得，， 解得， ∴，，， ∴， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级上·四川眉山·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键； （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）①②得，④，将④代入③得，求得，将代入①得，⑤，④⑤得，求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解： ②①得， 解得： 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为： （2）解： ①②得，④ 将④代入③得，， 解得： 将代入①得，⑤ ④⑤得， 解得： 将代入④得， 解得： ∴原方程组的解为： 18．（6分）已知关于的方程组与有相同的解， (1)求此相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解，把只含的两个方程联立，求出的值是解题的关键． （1）把只含的两个方程联立，可求出的值； （2）将的值代入其余的两个方程，得到关于的方程组，解方程组求得的值． 【详解】（1）解：已知关于的方程组与有相同的解， 与有相同的解， 解，得到， 故相同的解为； （2）解：将代入， 得到， 解得 ，． 19．（8分）（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，． (1)直接写出a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，正确理解新定义并准确地计算是解题的关键． （1）利用新定义列出关于、的方程组，解方程组求出a，b的值； （2）将a，b的值；代入方程组，得出关于x，y的方程组，解方程组，用表示x，y，代入方程中，即可求出m的值； （3）由题意，将方程组化为，即， 根据方程组的解为，得出，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 得， 解得， （2）由题意，方程组可化为， 得， ， ， ； （3）由题意，方程组可化为， 方程组可化为， 即， 由方程组的解为， ，解得， 则方程组的解为． 20．（8分）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 第一种思路：利用加减消元法解方程组，可用含k的式子表示出方程组的解，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第二种思路：利用加减消元法用含k的式子表示出的结果，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第三种思路：可建立方程组，解方程组后根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 第一种：我欣赏甲同学的思路， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得； 第二种：我欣赏乙同学的思路， 得， ∵， ∴， 解得 第三种：我欣赏丙同学的思路， 由题意得， 得：，解得， 把代入③得：，解得 ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 21．（10分）（24-25七年级下·广东韶关·期中）综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 【答案】（1）①见解析②（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只（3）公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合x、y均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合鸡的价格即可求出购买鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程，结合x、y均为整数，即可求出结论． 【详解】解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下： 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 ②根据题意得： 故答案为：； （2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只； （3）根据题意得：， 化简得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去． 所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可）， 故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只． 22．（10分）（24-25六年级下·上海·期末）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 【答案】(1)①④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． （1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出的关系，进而可求出的值． 【详解】（1）解：①， ∴被“关联”； ② ∴未被“关联”； ③ ∴未被“关联”； ④ ∴被“关联”； 故答案为：①④； （2）解：根据题意得， 解方程组得； （3）解：根据题意得， 得，即， 将代入①得， 将和代入③得， ， 根据题意可得， ， 整理得， 将代入得，， ∴， 解得， 所以，数对为． 23．（12分）（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）【材料阅读】 二元一次方程有无数个解，如：，，，…如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． (1)【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为________． (2)（2）已知关于，的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线：设方程①图象与轴，轴的交点分别是与，方程②图象与轴，轴的交点分别是与，计算的度数． （说明：三角形的内角和为可以直接使用）． (3)【拓展应用】 （3）图4中包含关于，的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查了二元一次方程组的图象解法、直线平行条件及几何角度计算，解题的关键是掌握二元一次方程组的图象解法． （1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； （2）根据关于，的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线经过点，然后画出图象，根据平行线的性质求解即可； （3）首先得到直线经过点，然后得到直线即为直线，得到是方程的一个解，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： 由图象可知，直线与直线交于点， 同时是方程和方程的解， 是方程组的解， 故答案为：． （2）方程组无解， 直线与直线没有交点， 直线与直线平行， 在方程中，当时，， 直线经过点， 如图所示，直线和直线即为所求： ， 在中， （3）如图所示 在方程中，当时，则，即此时， 是方程的解，即直线经过点； 直线为直线或直线中的一条， 把代入方程中，左边，方程左右两边不相等， 不是方程的解，即直线不经过点 直线即为直线 直线为直线， 在方程中，当时，则，解得， 是方程的一个解， 直线与直线的交点横坐标为3， 直线与直线的交点坐标为， 二元一次方程组的解为， 故答案为：． 24．（12分）（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $