11.5二次根式及其性质（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

本讲义聚焦二次根式的定义及性质这一核心知识点，系统梳理形如√a（a≥0）的定义及被开方数非负的前提条件，深入讲解双重非负性、平方与开方互逆性、积与商的算术平方根等性质，形成从概念到性质再到应用的学习支架，并配有思维导图辅助知识脉络梳理。 该资料针对基础薄弱学生设计，通过分层练习题（如二次根式识别题培养抽象能力，求参数题发展推理意识，化简题提升运算能力）落实数学眼光与数学思维。思维导图助力知识体系构建，课中辅助教师精准教学，课后帮助学生查漏补缺，有效实现从30分至70分的提分目标。

11.5二次根式及其性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式，其中“”称为二次根号，a叫做被开方数。被开方数a必须是非负数（即），这是二次根式有意义的前提条件。 二次根式的性质 1. 双重非负性 对于二次根式，有： · 被开方数非负：； · 二次根式的值非负：。 应用：若，则且。 2. 平方与开方的互逆性 · （），即二次根式的平方等于被开方数本身； · ，即一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 3. 积的算术平方根 （，），即积的算术平方根等于各因数算术平方根的积。 4. 商的算术平方根 （，b>0），即商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。 型 习 练 题 二次根式的识别 1．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 求二次根式的参数 6．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 7．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 8．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 9．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 10．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二次根式有意义的条件 11．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 12．当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（  ） A． B． C． D． 13．二次根式有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 14．已知函数，那么不能取的数是（   ） A． B． C． D．0 15．若没有意义，则x的取值范围（   ） A． B． C． D． 利用二次根式的性质化简 16．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 17．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 18．实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（   ） A． B． C． D． 19．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．已知a，b为任意实数，则下列等式成立的是() A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5二次根式及其性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式，其中“”称为二次根号，a叫做被开方数。被开方数a必须是非负数（即），这是二次根式有意义的前提条件。 二次根式的性质 1. 双重非负性 对于二次根式，有： · 被开方数非负：； · 二次根式的值非负：。 应用：若，则且。 2. 平方与开方的互逆性 · （），即二次根式的平方等于被开方数本身； · ，即一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 3. 积的算术平方根 （，），即积的算术平方根等于各因数算术平方根的积。 4. 商的算术平方根 （，b>0），即商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。 型 习 练 题 二次根式的识别 1．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 2．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义． 【详解】解：二次根式定义为()，且根指数为2． ，被开方数，故A不符合； ，根指数为3，故B不符合； ， ∵， ∴，且根指数为2，故C符合； 且，则，被开方数小于0，故D不符合． 故选：C． 3．下列各式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 形如的式子是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式，不是二次根式，不符合题意； B．是分式，不是二次根式，不符合题意； C．是二次根式，符合题意； D．不是二次根式，不符合题意． 故选C． 4．式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 5．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 求二次根式的参数 6．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 7．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 8．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 利用二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质得，， ∴， 故选：D． 9．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 10．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 二次根式有意义的条件 11．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，且， 解得且． 故选：A． 12．当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根式与分数的定义，熟练掌握根式中被开方数的非负性和分母不为零是解题的关键． 分别检查每个代数式在时根号内的被开方数是否非负，且分母是否不为零即可． 【详解】解：选项A：，当时，且，则代数式有意义； 选项B：，当时，，则代数式无意义； 选项C：，当时，，且，则代数式无意义； 选项D：，当时，，分母为零，无意义； 故选：A． 13．二次根式有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零； 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选：B 14．已知函数，那么不能取的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即， ∴不能取的数是． 故选：A． 15．若没有意义，则x的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式无意义，根据分式的分母等于0时分式无意义，二次根式的被开方数为负数时，二次根式无意义，得到当时，代数式没有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴； 故选D． 利用二次根式的性质化简 16．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，准确计算是解题的关键． 根据算术平方根的定义，，因此先计算平方，再取非负平方根． 【详解】； 故选． 17．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和实数，绝对值的性质，二次根式的性质， 根据数轴可知，进而得，再将原式化为，然后去绝对值即可． 【详解】解：根据数轴可知， ∴， ∴． 故选：C． 18．实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根. 先根据数轴得到，，则，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知道，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 19．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，注意区分：和是解题的关键． 根据二次根式的性质、绝对值的定义逐个选项判断即可． 【详解】A. ，选项错误，不符合题意；     B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项正确，符合题意；     D. ，选项错误，不符合题意；     故选：C． 20．已知a，b为任意实数，则下列等式成立的是() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的化简与性质，逐一判断各选项．A项忽略的符号可能为负；C项平方根结果应为非负数，不应有±；D项需、均非负才成立；B项因且，等式恒成立． 【详解】解：A．当时，，不成立； B．∵对于任意实数，， ．又，，故恒成立． C．，结果为非负数，而表示两个值，且当时，不成立； D．当且时，、无实数意义，等式不成立． ∴只有B正确． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $