11.5二次根式及其性质（题型专练）数学北京版2024八年级上册

11.5 二次根式及其性质 题型一 二次根式的识别 1．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 根据二次根式有意义的条件求参数范围 4．（24-25八年级下·北京·期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）下列函数中，自变量x的取值范围是的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 7．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 9．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若实数满足，则代数式的值是 ． 10．（2024八年级上·北京·专题练习）若最简二次根式与的被开方数相同，则a值为 ． 11．（12-13八年级下·山东聊城·期中）已知，则 ． 12．（23-24八年级下·北京·开学考试）已知，则的平方根是 ． 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 13．（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 14．（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 15．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 16．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 题型五 求二次根式的值 17．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 18．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 19．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型六 利用二次根式的性质化简 20．（24-25八年级下·北京丰台·期末）写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是 ． 21．（24-25八年级下·北京大兴·期中）下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·北京顺义·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）已知 ，求代数式 的值． 24．（23-24八年级下·北京·期中）阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． (1)你认为 的解答是错误的； (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； (3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 题型一 数轴与二次根式的化简的综合运用 25．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（   ） A． B． C． D．0 26．（23-24八年级上·北京昌平·期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    27．（23-24八年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示： 化简：． 28．（21-22八年级下·北京昌平·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点如图：    化简． 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 29．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简： ； （2）若，求的取值范围： ． 31．（20-21八年级下·江苏无锡·期中）已知a是的小数部分，则式子的值为 ． 32．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）若式子化简的结果为，则x的取值范围是 ． 33．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 34．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 题型三 复合二次根式化简求值 35．（20-21八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 36．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 37．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 1．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，， ①当，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________；… （2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：） 2．（23-24八年级下·北京大兴·期中）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 3．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 4．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， ； (2)若，则x的取值范围为 ； (3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 5．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 6．（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.5 二次根式及其性质 题型一 二次根式的识别 1．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、 ，被开方数为负数，无意义，不符合条件； B、 ，根指数为2且被开方数，符合二次根式定义； C、，，则，被开方数为负数，不符合条件； D、，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件； 故选：B． 2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 3．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 题型二 根据二次根式有意义的条件求参数范围 4．（24-25八年级下·北京·期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 5．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）下列函数中，自变量x的取值范围是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查自变量的取值范围，熟练掌握分式，二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式，二次根式有意义的条件进行计算即可． 【详解】解：，，即，故选项A不符合题意； ，且，解得且，故选项B不符合题意； ，为任意实数，故选项C不符合题意； ，，即，故选项D符合题意； 故选D． 6．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 7．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)全体实数； (2)； (3)； (4)且． 【分析】（）根据为整式时自变量取值范围是全体实数； （）根据含有分式时，分母不能为零即可； （）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零即可， （）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零，零指数幂底数不能为零即可； 本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，分式和零指数幂有意义的条件是解题的关键． 【详解】（1）根据题意可得，自变量的取值范围是全体实数； （2）由题意，得， 解得； （3）由题意，得， 解得； （4）由题意，得， 解得且． 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 9．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若实数满足，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握非负数的性质，则，，求出，，进行计算，即可． 【详解】∵实数满足且，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．（2024八年级上·北京·专题练习）若最简二次根式与的被开方数相同，则a值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式，解一元二次方程，根据题意列一元二次方程，求出根后，判断被开方数是否大于0，即可得出答案． 【详解】解：∵与的被开方数相同， ∴，即：， 解得：或， 时，，符合题意， 而时，，故不合题意，舍去， 故a值为． 故答案为：． 11．（12-13八年级下·山东聊城·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴ ∴ 故答案为： 12．（23-24八年级下·北京·开学考试）已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，利用二次根式的意义解题是解题的关键．根据二次根式的意义得，解得，进一步得到，再利用平方根的定义，即得答案． 【详解】由题意，得， 解得， ， ， 即的平方根是． 故答案为: ． 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 13．（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答． 【详解】解：∵63=7×9， ∴， ∵是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键． 14．（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 15．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 16．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 题型五 求二次根式的值 17．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 18．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 19．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型六 利用二次根式的性质化简 20．（24-25八年级下·北京丰台·期末）写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质与化简得出，然后找出一个符合条件的值即可． 【详解】解：若， 则， 所以a的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（24-25八年级下·北京大兴·期中）下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、，A选项运算正确，不符合题意； B、，B选项运算正确，不符合题意； C、，C选项运算正确，不符合题意； D、，D选项运算错误，符合题意； 故选：D． 22．（24-25八年级上·北京顺义·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 23．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 24．（23-24八年级下·北京·期中）阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． (1)你认为 的解答是错误的； (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； (3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 【答案】(1)甲 (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的性质去判断即可； （3）根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴甲的解答是错误的； 故选：甲； （2）解：错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴，， ∴原式． 题型一 数轴与二次根式的化简的综合运用 25．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用二次根式的性质化简，实数与数轴之间的对应关系，解题关键是根据a，b在数轴上的位置判断各数的符号以及绝对值的大小．首先结合数轴确定，易得，然后再根据运算法则进行计算，即可获得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 26．（23-24八年级上·北京昌平·期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】利用数轴判断出、的符号，并进一步确定出的符号；然后利用二次根式的性质，将二次根式化简，再合并同类项即可求得结果． 【详解】解：由数轴可知：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 27．（23-24八年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示： 化简：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、数轴，正确得出a，b的符号是解题关键．观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ， ． 28．（21-22八年级下·北京昌平·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点如图：    化简． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断绝对值里式子的正负，利用绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，，，， ∴ ． 【点睛】此题考查了二次根式和绝对值的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 29．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由完全平方公式因式分解，再由二次根式性质化简得到，结合绝对值非负性及非负数和为零的条件求解即可得到，从而由三角形三边关系即可得到答案． 【详解】解：， ，则， ， 要使，则， 解得， 由三角形的三边关系可知， 是这个三角形的最长边， ，即这个三角形的最长边的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识，熟记三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识是解决问题的关键． 30．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简： ； （2）若，求的取值范围： ． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2）， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 31．（20-21八年级下·江苏无锡·期中）已知a是的小数部分，则式子的值为 ． 【答案】2 【分析】先用夹逼法估算，得出a的值，根据完全平方公式得出，再把a的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，则， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，分母有理数，解题的关键是正确得出a的值，掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 32．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）若式子化简的结果为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，将转化为：，分，和三种情况讨论，求解，根据化简的结果为，得出结论即可． 【详解】解：， 当时：原式，不满足题意； 当时：原式，不满足题意； 当时：原式，满足题意； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质，以及化简绝对值．熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． 33．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 34．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 题型三 复合二次根式化简求值 35．（20-21八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 36．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 37．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 1．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，， ①当，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________；… （2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：） 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式， （1）把各组、的值分别代入和中计算可判断它们的大小公式； （2）由于，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到； 灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】解：（1）当，时，，，则； ②当，时，，，则； ③当，时，，，则； 故答案为：，，； （2）；理由如下： ， ， ， ； 故答案为：； 2．（23-24八年级下·北京大兴·期中）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）设，，然后利用（1）的结论可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：设，， 由（1）得：， 解得：， ． 3．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 4．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， ； (2)若，则x的取值范围为 ； (3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质； （1）根据化简即可； （2）根据可知，解不等式即可； （3）先根据数轴判断出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）解：，， 故答案为：2，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴得：， ∴，， ∴． 5．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴，则． 【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． 6．（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，最小值为 【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）， ， 而，， ， ； （2）由，，得， ， ∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2； 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$