精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期阶段质量检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．总分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前，考生需准确填写自己的姓名、班级、准考证号，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、班级及考场号； 3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答；选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚； 4．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效； 5．保持卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( ) A. B. C. D. 5. 明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 6. 如图，已知四边形四边形，，，则的长是（ ）． A. 6 B. C. D. 4 7. 《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为四边形的对角线，点E、F为的两个三等分点，分别连接，四边形为菱形，若，，则四边形的面积为（ ） A. 144 B. 72 C. 36 D. 24 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如果，那么的值为______． 10. 若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝____． 11. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为______． 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根，满足，则 的值为______． 13. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 14. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点是对角线上一点，，，则点的坐标为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用公式法解方程：． 16. 用因式分解法解方程：． 17. 如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 18. 如图，菱形的对角线、交于点．若，，求的长． 19. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 20. 如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 21. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 22. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0 （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值． 23. 如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． （1）若，求的度数． （2）若，，且，求的长． 24. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑件，同年9月份制作泥塑件． 素材2 泥塑的制作成本为元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为元/件时，月销售量为件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件? 25. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 26. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段质量检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．总分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前，考生需准确填写自己的姓名、班级、准考证号，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、班级及考场号； 3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答；选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚； 4．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效； 5．保持卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念依次判断即可． 【详解】解：A、，移项合并后无二次项，是一元一次方程，不符合题意； B、，当时，是一元一次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、，等式左边不是整式，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程，把问题转化为关于a的方程求解． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． 故选：A． 3. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点作平行横线的垂线，交点 所在的平行横线于 ，交点 所在的平行横线于 ，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点 所在的平行横 线于 ，交点 所在的平行横线于 ， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 5. 明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 6. 如图，已知四边形四边形，，，则的长是（ ）． A. 6 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形四边形，可得，再代入数据计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握“相似多边形的对应边成比例”是解本题的关键． 7. 《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2025年2月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率），2025年3月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率，再根据第一季度总销量达到万辆即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 8. 如图，为四边形的对角线，点E、F为的两个三等分点，分别连接，四边形为菱形，若，，则四边形的面积为（ ） A. 144 B. 72 C. 36 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，连接，交于点，得到，勾股定理求出的长，根据四边形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵点E、F为的两个三等分点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积； 故选B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，关键是由比例的基本性质得到． 由比例的基本性质得到，然后代入，即可求值． 【详解】解：， ，即， 将代入． 故答案为：． 10. 若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝____． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 11. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质先证明四边形是矩形，再由，，得出是等边三角形，得到，进而求得长． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 由 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是矩形， ∴是等边三角形 故答案为：12 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根，满足，则 的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，又因为满足，所以代入并解方程，即可求出 的值． 【详解】解：是方程的两个实数根， ． ， ， 解得． 检验：当时，方程为，，方程有两个实数根，符合题意 故答案为：1． 13. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点 ， 在边上，点 ，在边 上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 14. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，点 的坐标为，点是对角线上一点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查菱形的性质、勾股定理，解题关键是利用菱形性质得出边的关系，结合勾股定理求出点的坐标，再根据线段长度关系确定点的坐标先利用菱形性质及勾股定理求出点坐标，再得出长度，结合求出长度，进而确定点坐标． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴ ． ∵ ，在轴上， ∴ 平行于轴，点的纵坐标与点的纵坐标相同． 设点的坐标为，点 的坐标为， 由勾股定理可得， 解得或, ∵点在 轴正半轴， ∴， ∴ 点的坐标为． ∵点的坐标为，平行于轴， ∴ 点的横坐标为，纵坐标为 ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用公式法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握是解题的关键．直接根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ， ， ． 16. 用因式分解法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， ∴， ∴ ， 即或， 解得：，． 17. 如图，点 ， ，分别是边 ， ，上的点，已知，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 答：的长为． 18. 如图，菱形的对角线、交于点．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理求出对角线一半的长度，进而得到的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 19. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 20. 如图，在中，， 是 的中点，是的中点，，交的延长线于点 ，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， 是 的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 先证明≌，再证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明． 【详解】略 21. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在 位置的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 22. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0 （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值． 【答案】（1）m＜；（2）m=-3 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出解之即可得出结论； （2）设方程的两根分别为 根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再根据即可确定 的值． 试题解析：(1)∵方程有两个不相等的实数根， 解得： ∴当时，方程有两个不相等的实数根. (2)设方程的两根分别为a、b， 根据题意得： ∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长， 解得：m=−3或m=5. ∵a>0，b>0， ∴a+b=−2m+1>0， ∴m=−3. 若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为−3. 23. 如图，在矩形中， ，分别是， 上的点，将四边形沿折叠，使点 的对应点恰好落在 上． （1）若，求的度数． （2）若，，且，求的长． 【答案】（1）； （2） ． 【解析】 【分析】（ ）由四边形是矩形，得，得，由折叠得，则； （ ）设，则，，由，，则，，然后由勾股定理得，求出即可； 此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理等知识，正确地根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，可得， ∴； 【小问2详解】 解：设，则，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴． 24. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑件，同年9月份制作泥塑件． 素材2 泥塑的制作成本为元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为元/件时，月销售量为件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件? 【答案】任务 ：；任务 ：元/件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．任务 ：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解；任务 ：设该泥塑的售价应定为 元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：任务 ：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为. 任务 ：设该泥塑的售价应定为 元/件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件 25. 如图，在中，平分，交 于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接 ，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 26. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边 上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形及勾股定理可得，根据得到点P在线段的垂直平分线上，则得到，则当点共线时取得最小值，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论； （3）证明四边形是正方形，则，连接，证明，则，，延长到点G，使得，连接 ，，证明，得到当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是 的长，由勾股定理求出 的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴点P到的距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴ ∴， 当点共线时取得最小值， 此时， 即的最小值为； 故答案为： （2）∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ 是等边三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点G，使得，连接 ，， ∵， ∴点D和点G关于成轴对称， ∴， ∴， ∵， 当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是 的长， 在中，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当辅助线和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $