5.3二元一次方程组的应用（第2课时借助表格梳理等量关系）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学导学案聚焦二元一次方程组的应用，通过温故“审设列解验答”步骤，结合工厂利润等情景引入，引导学生用表格梳理已知量与未知量，搭建从旧知到新知的学习支架，掌握借助表格梳理等量关系的方法。 以真实情境和探究活动为特色，通过自主填写表格、合作分析题型，培养学生抽象能力和模型意识，习题涵盖增长率、配套问题等，提升推理能力和应用意识，助力学生用数学语言表达现实问题，发展解决实际问题的能力。

5.3二元一次方程组的应用 导学案 第2课时 借助表格梳理等量关系 1.能借助表格或线段图梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，熟练按照 “审、设、列、解、验、答” 步骤列二元一次方程组解决问题. 2.通过分析工厂利润、营养品配比等实例，经历 “梳理信息 — 找等量关系 — 列方程组” 的过程，提升分析问题、转化问题的能力. 学习重点：掌握用 “表格法” 梳理收支、配比类实际问题的关键信息，用 “线段图法” 分析路程类实际问题的数量关系;熟练按照 “审、设、列、解、验、答” 六步，列二元一次方程组解决实际问题. 学习难点：准确找出复杂实际问题中的两个等量关系，避免量与量之间的混淆;准确确定复杂问题的核心量，将比例、百分比等关系转化为表格中的表达式，并从中提炼独立的等量关系. . 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P121-P122页的内容，思考： 【学法指导】 温故知新： 用二元一次方程组解决问题的一般步骤是什么？”列方程组最关键的一步是什么？ 一般步骤是“审、设、列、解、验、答”，列方程组最关键的一步是“找等量关系”. 情景引入 如果问题里有‘去年’‘今年’两个时间，还有‘总收入’‘总支出’‘利润’多个量，直接找等量关系容易乱，有没有办法帮我们理清这些量？今天我们就学习‘借助表格梳理等量关系’. ●探究一：二元一次方程组的应用---借助表格梳理等量关系 某工厂去年的利润（总收入 - 总支出）为 200 万元.今年的总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为 780 万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？ ◆1.这个问题涉及哪些量？ 去年的总收入、去年的总支出、今年的总收入、今年的总支出、去年的利润、 今年的利润. ◆2.这些量之间有怎样的等量关系？ （1）去年的利润 = 去年的总收入 - 去年的总支出；（2）今年的总收入 = 去年的总收入×（1+20%）； （3）今年的总支出 = 去年的总支出×（1−10%）；（4）今年的利润 = 今年的总收入 - 今年的总支出. ◆3.你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流. 年份 总收入 / 万元 总支出 / 万元 利润 / 万元 去年 x y x﹣y 今年 (1+20%) (1−10%) 780 ◆4.尝试列出方程组，并作答. 依题意列方程组得：， 解得：， 答：去年总收入 2000 万元，总支出 1800 万元. ◆5.总结归纳：: 在解决问题时，如何梳理其中的关键信息？ （1）先明确题目涉及的核心量，确定表格的行或列标题； （2）将题目中的已知量和未知量对应填充到表格的单元格中； （3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列方程组. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1：医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。如果患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？ 【分析】设每餐需要甲原料 x g,乙原料 y g，则有 成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 0.5x+0.7y 其中所含铁质 0.4 x+0.4y 等量关系式：（1）甲原料中所含蛋白质+乙原料中所蛋白质=35 （2）甲原料中所含铁质+乙原料中所铁质=40 【解答】解：设每餐需要甲原料 x g、乙原料 y g，根据题意， 解这个方程组，得： 答：每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何通过借助表格梳理等量关系，从而列出二元一次组来解答实际问题； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．设甲、 乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是 ( C ) A. B. C. D. 2.某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x 元和y元。若已知两种货物的进货价共30000元，则可列方程 x＋y = 30000 ；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，则可列方程 10%x＋11%y = 3150 ，由此可得方程组 . 2. 甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？ 设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h，填写下表并求x，y的值. 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和 第一种情况 甲先走2h (2+2.5）x 2.5y 36 第二种情况 乙先走2h 3x (2+3)y 36 解： 设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h， 根据题意，得 解方程组，得 答：甲的速度为 6 km/h，乙的速度为 3.6 km/h. 4. 甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生? 设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值. 人数 甲班 乙班 两班总和 学生人数 x y 100 达标学生人数 87.5%x 75%y 81%×100 解：设 甲班有x名学生，乙班有y名学生，根据题意，得 解，得， 答：甲班有48人，乙班有52人. 题型一 增长率（下降率）或百分比问题 1．某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（　　）吨， A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23 【分析】设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，由题意：去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【解答】解：设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨， 则该农场去年实际生产小麦（1+15%）x吨，玉米（1+10%）y吨， 依题意得：， 解得：， ∴（1+15%）x＝（1+15%）×10＝11.5，（1+10%）y＝（1+10%）×5＝5.5． 即该农场去年实际生产小麦11.5吨，玉米5.5吨， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（　　） A．200元 B．480元 C．600元 D．800元 【分析】设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，根据“调价前每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元， 依题意，得：， 解得：， 即调价前上衣的单价是800元， 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3000册，由于学生积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书 　 　册，高中部原计划赠书 　 册． 【分析】设原计划初中部赠书x册，高中部赠书y册，根据原计划赠书3000册和初中部多捐赠的书+高中部多捐赠的书＝3780﹣3000可得方程组，解方程组即可． 【解答】解：设原计划初中部赠书x册，高中部赠书y册， 依题意有：， 解得：， 故答案为：1200；1800． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，为了少出差错，减少运算量，最好根据增加的书数来列等量关系． 4．某工厂一月份生产甲、乙两种机器共50台，经过工厂技术调整，计划二月份甲种机器增产10%，乙种机器减产20%，且计划二月份生产这两种机器共52台，则该工厂一月份生产甲、乙两种机器各多少台？ 【分析】设该厂一月份生产甲机器x台，乙机器y台，根据“计划二月份生产这两种机器共52台”列方程求解即可． 【解答】解：设该厂一月份生产甲机器x台，乙机器y台，由题意可知， ， 解得： 答：该厂一月份生产甲机器40台，乙机器10台． 【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 5．某工厂去年总产值比总支出多500万元，由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%．因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？ 设去年总产值x万元，总支出y万元．根据题意填写下表，并列出方程组，求x，y的值，以及今年的总产值与总支出． 总产值 总支出 差 去年 x y 500 今年 　 　 　 　　 　 　　 【分析】设去年计划的总产值是x万元，总支出y万元．根据今年总产值比总支出多950万元，得方程（1+15%）x﹣（1﹣10%）y＝950，求出方程的解即可． 【解答】解：设去年计划的总产值是x万元，总支出y万元． 根据题意，得， 解得： 则（1+15%）×2000＝2300，（1﹣10%）×1500＝1350． 答：今年计划的总产值为2300万元，总支出为1350万元． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程．此题中根据增长率，显然设去年的，易于表示今年的对应量． 题型二 配套问题 6．甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，列方程组即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大． 7．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（　　） A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人 【分析】设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽刚好配套，根据等量关系：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数＝90；螺栓总数×2＝螺帽总数，列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套， 根据题意，得：， 解得：， 即分配40人生产的螺栓，50人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 8．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少m3钢材做A部件，多少m3钢材做B部件恰好配成整套这种仪器？ 【分析】设应用x m3钢材做A部件，y m3钢材做B部件，再根据等量关系“共有6m3钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程组求解即可． 【解答】解：设应用x m3钢材做A部件，y m3钢材做B部件， 由题意得， 解得， 刚好配成：240×2÷3＝160（套）． 答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，刚好配成160套． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程组是解题的关键． 9．一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，均可用铝合金板冲压制成，已知1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，现要用11m2铝合金板制作这种格栅灯具，应分配多少平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，多少平方米铝合金板制作栅板？恰好能配成这种格栅灯具多少套？ 【分析】设应分配x平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，y平方米铝合金板制作栅板，恰好能配成这种格栅灯具，由11m2铝合金板制作这种格栅灯具，一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，列出方程组解答即可． 【解答】解：设应分配x平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，y平方米铝合金板制作栅板，由题意得 ， 解得：， 则12． 答：应分配9平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，2平方米铝合金板制作栅板，恰好能配成这种格栅灯具12套． 【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出两个方程，组成方程组解决问题． 10．在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个． （1）求这个班男生、女生各有多少人？ （2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【分析】（1）由题意列出方程组，解方程组解可； （2）分别计算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量＝筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：这个班有男生有24人，女生有26人； （2）男生剪筒底的数量：24×120＝2880（个）， 女生剪筒身的数量：26×40＝1040（个）， 因为一个筒身配两个筒底，2880：1040≠2：1， 所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套， 设男生应向女生支援a人， 由题意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2， 解得：a＝4， 答：原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组． 题型三 图表信息问题 11．根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价． 【分析】设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合小丽两次购买笔和笔记本的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某景区游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： （1）他们共去了几个成人，几个学生？ （2）小明想要换哪种方式购票？该购票方式是否更合算？请通过计算说明． 【分析】（1）设去了x个成人，去了y个学生，根据爸爸说的话，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）计算团体票所需费用，和400元比较即可求解． 【解答】解：（1）设去了x个成人，去了y个学生， 依题意得：， 解得：， 答：他们共去了6个成人，8个学生． （2）小明想要换团体票购票方式购票，该购票方式更合算，理由如下： 若按团体票购票：16×40×0.6＝384（元）， ∵384＜400， ∴按团体票购票更省钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．某校准备组织学生到潍坊进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元． 青岛北﹣潍坊票价 一等座 二等座 83（元） 52（元） （1）参加社会实践活动的老师与学生各有多少人？ （2）若二等座火车票只能买到30张，则如何购票最省钱？此时总票款是多少元？ 【分析】（1）设参加社会实践活动的老师有x人，学生有y人，由题意：二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由二等座学生票可打7.5折，且学生为50人，即可得出最省钱的购票方案． 【解答】解：（1）设参加社会实践活动的老师有x人，学生有y人， 由题意得：， 解得：， 答：参加社会实践活动的老师有15人，学生有50人； （2）若二等座火车票只能买到30张，且30张二等座火车票都为学生票， 则需要购买（15+50﹣30）张一等座火车票最省钱， 此时总票款为：30×52×0.75+35×83＝4075（元）， 答：30张二等座火车票都为学生票，再购买35张一等座火车票最省钱，此时总票款为4075元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14．某校八年级（1）班和（2）班的学生一块到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共104人，其中（1）班学生比（2）班学生少，教育基地门票价格如下： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 12元 10元 8元 原计划两班都以班为单位购票，则一共应付1136元，请回答下列问题： （1）八年级（1）班有多少学生？ （2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？ 【分析】（1）根据表格中的数据和两个班人数之间的关系可以列出相应的方程组，从而可以得到八年级（1）班的人数； （2）根据表格中的数据和（1）中的结果，可知两个班一起购买最省钱，从而可以求得可以省多少钱． 【解答】解：（1）设八年级（1）班有x人，则八年级（2）班有y人， ∵x＜y， ∴， ∴， 答：八年级（1）有48人； （2）两个班一起购票最省钱， 1136﹣8×104＝1136﹣832＝304（元）， 即可以节省304元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答． 15．某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上 每套服装的价格 100元 80元 60元 经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题： （1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【分析】（1）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是100元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付6600元，列方程组求解即可； （2）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，列出方程探讨答案即可． 【解答】解：（1）设甲乐团有x名；乙乐团有y名， 根据题意，得， 解得， 答：甲乐团有30名；乙乐团有45名； （2）由题意，得3a+5b＝65，变形得b＝13a，， ∵每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数， ∴或， ∴共有两种方案：①从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人； ②从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人． 【点评】本题考查二元一次方程组与二元一次方程解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键． ▲1．利用表格梳理数量关系的方法 （1）先明确题目涉及的核心量，确定表格的行或列标题； （2）将题目中的已知量和未知量对应填充到表格的单元格中； （3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列方程组. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3二元一次方程组的应用 导学案 第2课时 借助表格梳理等量关系 1.能借助表格或线段图梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，熟练按照 “审、设、列、解、验、答” 步骤列二元一次方程组解决问题. 2.通过分析工厂利润、营养品配比等实例，经历 “梳理信息 — 找等量关系 — 列方程组” 的过程，提升分析问题、转化问题的能力. 学习重点：掌握用 “表格法” 梳理收支、配比类实际问题的关键信息，用 “线段图法” 分析路程类实际问题的数量关系;熟练按照 “审、设、列、解、验、答” 六步，列二元一次方程组解决实际问题. 学习难点：准确找出复杂实际问题中的两个等量关系，避免量与量之间的混淆;准确确定复杂问题的核心量，将比例、百分比等关系转化为表格中的表达式，并从中提炼独立的等量关系. . 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P121-P122页的内容，思考： 【学法指导】 温故知新： 用二元一次方程组解决问题的一般步骤是什么？”列方程组最关键的一步是什么？ 情景引入 如果问题里有‘去年’‘今年’两个时间，还有‘总收入’‘总支出’‘利润’多个量，直接找等量关系容易乱，有没有办法帮我们理清这些量？今天我们就学习‘借助表格梳理等量关系’. ●探究一：二元一次方程组的应用---借助表格梳理等量关系 某工厂去年的利润（总收入 - 总支出）为 200 万元.今年的总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为 780 万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？ ◆1.这个问题涉及哪些量？ ◆2.这些量之间有怎样的等量关系？ （1）去年的利润 = 去年的总收入 - ；（2）今年的总收入 = 去年的总收入× ； （3）今年的总支出 = 去年的总支出× ；（4）今年的利润 = - 今年的总支出. ◆3.你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流. 年份 总收入 / 万元 总支出 / 万元 利润 / 万元 去年 今年 ◆4.尝试列出方程组，并作答. 依题意列方程组得： ， 解得： ， 答：去年总收入 万元，总支出 万元. ◆5.总结归纳：: 在解决问题时，如何梳理其中的关键信息？ （1）先明确题目涉及的核心量，确定表格的行或列 ； （2）将题目中的已知量和 对应填充到表格的单元格中； （3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列 . 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1：医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。如果患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？ 【分析】设每餐需要甲原料 x g,乙原料 y g，则有 成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 0.7y 其中所含铁质 等量关系式：（1）甲原料中所含蛋白质+ =35 （2） +乙原料中所铁质=40 【解答】解：设每餐需要甲原料 x g、乙原料 y g， 根据题意列方程组得， ， 解这个方程组，得： ， 答：每餐用甲原料 、乙原料 可以恰好满足患者的需要. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何通过借助表格梳理等量关系，从而列出二元一次组来解答实际问题； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．设甲、 乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x 元和y元。若已知两种货物的进货价共30000元，则可列方程 ；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，则可列方程 ，由此可得方程组 . 2. 甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？ 设 甲、乙两人的速度分别是 x km/h和 y km/h，填写下表并求x，y的值. 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲、乙两人的路程之和 第一种情况 甲先走2h 第二种情况 乙先走2h 4. 甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生? 设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值. 人数 甲班 乙班 两班总和 学生人数 x y 100 达标学生人数 题型一 增长率（下降率）或百分比问题 1．某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（　　）吨， A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23 2．某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（　　） A．200元 B．480元 C．600元 D．800元 3．青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3000册，由于学生积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书 　 　册，高中部原计划赠书 　 册． 4．某工厂一月份生产甲、乙两种机器共50台，经过工厂技术调整，计划二月份甲种机器增产10%，乙种机器减产20%，且计划二月份生产这两种机器共52台，则该工厂一月份生产甲、乙两种机器各多少台？ 5．某工厂去年总产值比总支出多500万元，由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%．因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？ 设去年总产值x万元，总支出y万元．根据题意填写下表，并列出方程组，求x，y的值，以及今年的总产值与总支出． 总产值 总支出 差 去年 x y 500 今年 　 　 　 　　 　 　　 题型二 配套问题 6．甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（　　） A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人 8．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少m3钢材做A部件，多少m3钢材做B部件恰好配成整套这种仪器？ 9．一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，均可用铝合金板冲压制成，已知1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，现要用11m2铝合金板制作这种格栅灯具，应分配多少平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，多少平方米铝合金板制作栅板？恰好能配成这种格栅灯具多少套？ 10．在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个． （1）求这个班男生、女生各有多少人？ （2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 题型三 图表信息问题 11．根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价． 12．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某景区游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： （1）他们共去了几个成人，几个学生？ （2）小明想要换哪种方式购票？该购票方式是否更合算？请通过计算说明． 13．某校准备组织学生到潍坊进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元． 青岛北﹣潍坊票价 一等座 二等座 83（元） 52（元） （1）参加社会实践活动的老师与学生各有多少人？ （2）若二等座火车票只能买到30张，则如何购票最省钱？此时总票款是多少元？ 14．某校八年级（1）班和（2）班的学生一块到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共104人，其中（1）班学生比（2）班学生少，教育基地门票价格如下： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 12元 10元 8元 原计划两班都以班为单位购票，则一共应付1136元，请回答下列问题： （1）八年级（1）班有多少学生？ （2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？ 15．某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上 每套服装的价格 100元 80元 60元 经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题： （1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． ▲1．利用表格梳理数量关系的方法 （1）先明确题目涉及的核心量，确定表格的行或列 ； （2）将题目中的已知量和 对应填充到表格的单元格中； （3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $