5.3二元一次方程组的应用（第1课时鸡兔同笼）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学导学案聚焦二元一次方程的应用，以《孙子算经》“鸡兔同笼”古算题为导入，通过对比算术推理、一元一次方程与二元一次方程组三种解法，搭建从具体问题到数学模型的学习支架，衔接方程知识与实际应用。 资料特色在于融入丰富古算题情境激发学习兴趣，通过解法对比强化模型意识，分题型设计合作探究与练习，培养学生抽象能力和推理意识，助力学生用数学语言表达现实问题，提升解决实际问题的能力，符合新课标核心素养要求。

5.3二元一次方程组的应用 导学案 第1课时 鸡兔同笼 1.能根据 “鸡兔同笼” 及类似古算题的题意，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解，掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本方法. 2.通过对比算术推理、一元一次方程、二元一次方程组三种解法，理解二元一次方程组在解决含两个未知量问题时的优势，强化数学模型思想. 学习重点：掌握用二元一次方程组解决 “鸡兔同笼” 及类似实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）；能从实际问题中准确找出等量关系，列出二元一次方程组. 学习难点：理解二元一次方程组设元的思路，体会其与一元一次方程设元的区别与优势；准确解读古算题的文字表述，提炼复杂情境中的等量关系. . 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P120-P121页的内容，思考： 【学法指导】 情景引入 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. ●探究一：应用二元一次方程组解古算题 ◆1.“鸡兔同笼”题为:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何? 提示：“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么? 你能算出鸡兔各几只吗？ 译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚.问笼子里鸡和兔各有多少只? 思考：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？ 已知条件是： 35 个头， 94 只脚； 所求问题是：鸡和兔的数量； 隐藏的条件是：鸡有2只脚，兔有4只脚. ◆2.小组讨论：你能用几种方法解决这一问题？ 【解法一】算术推理 如果都是鸡，35 头应该有 70 只脚，实际有 94 只脚，多出 24 只脚，应该是兔子的， 每只兔子多两只脚，所以兔子应该有 12 只.所以鸡有 35－12＝23(只)（列式算）. 【解法二】用一元一次方程求解 思考：趣题中有怎样的等量关系？ 解：设有鸡 x 只，则有兔（35－x）只． 由题意得2x＋4×（35－x）＝94 ． 解得： x＝23 ． 所以 兔的只数为： 35－x＝12 ． 答：有鸡23只，兔12只． 【解法三】用二元一次方程组求解 设鸡有 x 只，有兔y 只， 鸡 兔 合计 只数 x y 35 脚数 2x 4y 94 根据表格你能列出方程吗？ 【解答】解：设有鸡 x 只，兔 y 只． 由题意得： 解得： 答：有鸡23只，兔12只. 对比三种解法，总结优势： ◆3.小组讨论：“算术法、一元一次方程法、二元一次方程组法，这三种方法各有什么优缺点？” 总结： 算术法：优点是无需设未知数，缺点是逻辑推理复杂，仅适用于简单问题； 一元一次方程法：优点是比算术法更系统，缺点是需用一个未知量表示另一个未知量，列方程时易出错； 二元一次方程组法：优点是直接设两个未知量，更贴合问题的数量关系，列方程更直观，缺点是需要解方程组，计算步骤稍多，但整体更易理解和掌握. 总结：“当实际问题中含有两个未知量，且有两个等量关系时，用二元一次方程组解决更便捷.” ◆4.总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： 审题：弄清题意和题目中的数量关系； 设元：用字母表示题目中的未知数（设两个未知数）； 列方程组：根据两个等量关系列出方程组； 解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值； 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1：今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的 10 钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍； 如果乙得到甲的 10 钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱? 【分析】等量关系：甲+10=5（乙-10），乙+10=甲-10 . 【解答】解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y ，根据题意，得 解这个方程组，得： 答：甲带了 38 钱，乙带了 18 钱. 例2 隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？ 【分析】等量关系：人数×5=银两数﹣6；人数×6=银两数+5 【解答】解：设人数为x人，银两为y两，依题意得： 解得： 答：人数为11人，银两为61两. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何列二元一次方程解决古代数学问题，重点探讨如何找等量关系； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （ B ） D. 2.古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为． 3.《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为．（只列不解） 4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． （1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得： ， 解得： ， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； 解：（2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊；购买头牛，只羊． 题型一 鸡兔同笼问题 1．我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“上有16头，下有44足”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵上有16头， ∴x+y＝16； ∵下有44足， ∴2x+4y＝44． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（　　） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 【分析】设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（　　）两． A． B． C． D． 【分析】设一头牛值金x两，一头羊值金y两，根据牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两得：，即可解得答案． 【解答】解：设一头牛值金x两，一头羊值金y两， 根据题意得：， 解得， ∴一头牛值金两； 故选：D． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 4．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿”，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设鸡有x只，兔有y只， 由题意得：， 解得：， 答：鸡有13只，兔有7只． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【分析】设鸡有x只，兔有y只，由题意：从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设鸡有x只，兔有y只， 由题意得：， 解得：， 答：鸡有23只，兔有12只． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型二 和、差、倍分问题 6．现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（　　） A．12张 B．14张 C．20张 D．21张 【分析】根据“有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元”可得相应的方程组． 【解答】解：设100元的人民币为x张，20元的人民币y张，根据题意得： ， 解得：， 即面额100的人民币有12张． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关键． 7．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货 　 　吨． 【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x+5y）中即可求出结论． 【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨， 依题意得：， 解得：， ∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5， ∴3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨． 故答案为：24.5． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及分数的计算，根据题意列出方程是解题的关键． 设乐乐积攒的零用钱为元，则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元，继而得到，再解方程即可． 【解答】设乐乐积攒的零用钱为元， 则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元， 又这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元， 所以，解得， 一支钢笔花了元． 答：乐乐购买这支钢笔花了42元钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒的长度之和为55，求两根铁棒的长度． 【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为55cm，故可得方程：x+y＝55，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程xy，把两个方程联立，组成方程组，解方程组即可求解． 【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm， 由题意得：， 解得：， 答：较长铁棒的长度为30cm，较短铁棒的长度为25cm． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 10．北大附中畅春园校区教学楼有4层，其中初一、初二的班级教室都在2﹣4层，共有35个班，1200名学生．进出教学楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．周一早上参加升旗仪式时，各班从教室出发，如果通过两道正门和一道侧门走到操场，那么4分钟可以集合完毕；如果通过两道侧门和一道正门走到操场，那么5分钟可以集合完毕（出门跑到操场指定位置的时间忽略不计）． 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？ 【分析】设一道正门平均每分钟可以通过x人，一道侧门平均每分钟可以通过y人，根据两种假设列方程组求解即可． 【解答】解：设一道正门平均每分钟可以通过x人，一道侧门平均每分钟可以通过y人， 根据题意得， 解得． 答：一道正门平均每分钟可以通过120人，一道侧门平均每分钟可以通过60人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 题型三 盈不足问题 11．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案． 【解答】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组： ． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键． 12．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7＝y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房， ∴9（x﹣1）＝y． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两；则①人数为 　 　人；②银子共有 两． 【分析】设有x人，y两银子，列出方程组，解方程组即可求解． 【解答】解：设有x人，y两银子， 由题意可得，， 解得， ∴有6人，46两银子， 故答案为：6，46． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 14．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官和士兵各有多少名？ 【分析】设军官有x名，士兵有y名．由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案． 【解答】解：设军官有x名，士兵有y名．根据题意得： ， 解得． 答：军官有200名，士兵有800名． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【分析】设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【解答】解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得， 解得， 答：有30个客人，13个盘子． 【点评】本题考查数学常识，根据题意列二元一次方程组并求解是解题的关键． ▲1．总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： 审题：弄清题意和题目中的数量关系； 设元：用字母表示题目中的未知数（设两个未知数）； 列方程组：根据两个等量关系列出方程组； 解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值； 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3二元一次方程组的应用 导学案 第1课时 鸡兔同笼 1.能根据 “鸡兔同笼” 及类似古算题的题意，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解，掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本方法. 2.通过对比算术推理、一元一次方程、二元一次方程组三种解法，理解二元一次方程组在解决含两个未知量问题时的优势，强化数学模型思想. 学习重点：掌握用二元一次方程组解决 “鸡兔同笼” 及类似实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）；能从实际问题中准确找出等量关系，列出二元一次方程组. 学习难点：理解二元一次方程组设元的思路，体会其与一元一次方程设元的区别与优势；准确解读古算题的文字表述，提炼复杂情境中的等量关系. 第一环节 自主学习 新知自研：自研课本P120-P121页的内容，思考： 【学法指导】 情景引入 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. ●探究一：应用二元一次方程组解古算题 ◆1.“鸡兔同笼”题为:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何? 提示：“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么? 你能算出鸡兔各几只吗？ 译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚.问笼子里鸡和兔各有多少只? 思考：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？ 已知条件是： ； 所求问题是： ； 隐藏的条件是： . ◆2.小组讨论：你能用几种方法解决这一问题？ 【解法一】算术推理 如果都是鸡，35 头应该有 70 只脚，实际有 94 只脚，多出 只脚，应该是 的， 每只兔子多两只脚，所以兔子应该有 只.所以鸡有 （列式算）. 【解法二】用一元一次方程求解 思考：趣题中有怎样的等量关系？ 解：设有鸡 x 只，则有兔（35－x）只． 由题意得 ． 解得： ． 所以 兔的只数为： ． 答：有鸡 只，兔 只． 【解法三】用二元一次方程组求解 设鸡有 x 只，有兔y 只， 鸡 兔 合计 只数 x y 35 脚数 94 根据表格你能列出方程吗？ 【解答】解：设有鸡 x 只，兔 y 只． 由题意得： 解得： 答：有鸡 只，兔 只. 对比三种解法，总结优势： ◆3.小组讨论：“算术法、一元一次方程法、二元一次方程组法，这三种方法各有什么优缺点？” 总结： 算术法：优点是无需设 ，缺点是逻辑推理复杂，仅适用于简单问题； 一元一次方程法：优点是比算术法更系统，缺点是需用一个未知量表示 ，列方程时易出错； 二元一次方程组法：优点是直接设 未知量，更贴合问题的数量关系，列方程更直观，缺点是需要解方程组，计算步骤稍多，但整体更易理解和掌握. 总结：“当实际问题中含有两个未知量，且有两个等量关系时，用 解决更便捷.” ◆4.总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： 审题：弄清题意和题目中的 ； 设元：用字母表示题目中的 （设两个未知数）； 列方程组：根据两个等量关系列出 ； 解方程组：利用 或加减消元法解出未知数的值； 检验并答：检验所求的解是否符合 意义，然后作答. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1：今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的 10 钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍； 如果乙得到甲的 10 钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱? 【分析】等量关系： ， . 【解答】解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y ，根据题意，得 解这个方程组，得： 答：甲带了 钱，乙带了 钱. 例2 隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？ 【分析】等量关系： ， . 【解答】解：设人数为x人，银两为y两，依题意得： 解这个方程组，得： 答：人数为 人，银两为 两. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何列二元一次方程解决古代数学问题，重点探讨如何找等量关系； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （ ） D. 2.古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为 ． 3.《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为 ．（只列不解） 4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 题型一 鸡兔同笼问题 1．我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（　　） A． B． C． D． 2．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（　　） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 3．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（　　）两． A． B． C． D． 4．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 5．我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 题型二 和、差、倍分问题 6．现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（　　） A．12张 B．14张 C．20张 D．21张 7．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货 　 　吨． 8．开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 9．如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒的长度之和为55，求两根铁棒的长度． 10．北大附中畅春园校区教学楼有4层，其中初一、初二的班级教室都在2﹣4层，共有35个班，1200名学生．进出教学楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．周一早上参加升旗仪式时，各班从教室出发，如果通过两道正门和一道侧门走到操场，那么4分钟可以集合完毕；如果通过两道侧门和一道正门走到操场，那么5分钟可以集合完毕（出门跑到操场指定位置的时间忽略不计）． 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？ 题型三 盈不足问题 11．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 12．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 13．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两；则①人数为 　 　人；②银子共有 两． 14．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官和士兵各有多少名？ 15．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． ▲1．总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： 审题：弄清题意和题目中的 ； 设元：用字母表示题目中的 （设两个未知数）； 列方程组：根据两个等量关系列出 ； 解方程组：利用 或加减消元法解出未知数的值； 检验并答：检验所求的解是否符合 意义，然后作答. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $