精品解析：广西百色市田阳区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度上学期期中学业水平测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1、答题前；请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列函数，是二次函数的是（ ） A B. C. D. 2. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 4. 如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，若，则的长为（ ） A. 9 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 7. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数图象上，点在函数的图象上，轴于点.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 15. 双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是____________________． 16. 已知抛物线（n为常数），当时，其对应的函数值最大为，则n的值为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤） 17. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度变化范围． 18. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）判断点是否在该抛物线上并说明理由． 19. 如图，中，点在线段上，，且． （1）求证：； （2）若，求的周长． 20. 如图，在四边形中，，，，E为垂足，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，已知直线l：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线分别交于C、D两点．若点B的坐标为，点Ｄ的坐标为． （1）求直线l与双曲线的解析式； （2）若将直线l向下平移个单位，当直线l与双曲线有且只有一个交点时，求m的值． 22. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中学业水平测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1、答题前；请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列函数，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，最高次数为1，故不是二次函数； B．是反比例函数，故不是二次函数； C．根式函数，故不是二次函数； D．形如，且，是二次函数，符合题意． 故选D． 2. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k-1＜0， 解得k＜1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在（k≠0）中，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限是解题的关键． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 4. 如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数（为常数，）中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为．设点的坐标为，因为点在反比例函数上，所以，由图可知，阴影部分矩形的面积为，又因为反比例函数的图象在第二、四象限，所以，则，所以反比例函数的解析式为． 【详解】解：设点坐标为，因为点在第二象限， ，所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为， 又由， ， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 故选：B． 5. 如图，直线，若，则的长为（ ） A. 9 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，则，然后代入数值进行求出，即可作答． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 7. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2， 再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 9. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． 对于A，由，可得，再根据三边一共用了米木栏建立方程，可得，最后由矩形的面积公式即可得； 对于B，由可知，，将代入中可得，解方程即可得的值； 对于C，由可知，，将代入中即可求解； 对于D，由可知，，将化为顶点式，可知二次函数图象开口向下，且对称轴为，进而可知当，随的增大而增大，故时，取得最大值，最后将代入求解即可． 【详解】由题意可知，四边形为矩形， ，，且， A、， ， ， ， ， ． 故选项A正确； B、， ， ， ， 整理得，， 因式分解得，， 或， 解得，，， ， ． 故选项B正确； C、， ， 当时，． 故选项C正确； D、， ， 由A选项可知，， 二次函数的二次项系数，二次函数图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 把代入中得，， 当时，的最大值为． 故选项D错误． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，轴于点.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入y=（x＜0）即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵AC=3BC，∴B的横坐标为-a， ∵AB⊥y轴于点C，∴AB∥x轴，∴B（-a，）， ∵点B在函数y=（x＜0）的图象上，∴k=-a×=-1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键． 11. 如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，首先证明出两个三角形相似，由相似三角形的性质可以得到两个三角形的面积比，进而得到答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积是16， ∴， 故选：B 12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系并数形结合是解题的关键． 由图象可知，，对称轴为直线，即，当时，最小，当时，随的增大而减小，当时，，则，可判断①的正误；当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由，可得（为任意实数），可判断④的正误；关于对称轴对称的点坐标为，由，可得，可判断⑤的正误；由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；可判断⑥的正误． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线，即， 当时，最小， 当时，随的增大而减小， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③错误，故不符合要求； ∵， ∴（为任意实数），④正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴，⑤正确，故符合要求； 由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 15. 双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据k的几何意义得出的面积为2，进而得出面积为5，即可得出的解析式． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为：． 故答案为：． 16. 已知抛物线（n为常数），当时，其对应的函数值最大为，则n的值为_________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当时，则时，函数值有最大值， 故， 解得：（舍去）； 当时，的最大值为，不符合题意； 当时，则时，函数值有最大值， 故， 解得：（舍去），． 综上所述：值为7或． 故答案为：7或． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤） 17. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围． 【小问1详解】 解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：观察函数图象可知，随V增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 18. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）判断点是否在该抛物线上并说明理由． 【答案】（1） （2）点不在该抛物线上，见解析 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把点的坐标代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 解得 ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 当时，． ∵， ∴点不在该抛物线上． 19. 如图，中，点在线段上，，且． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）17 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形的性质得到，再证明，即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，进一步求出，即可求出的周长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 的周长为17． 20. 如图，在四边形中，，，，E为垂足，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的性质． （1）证明，，即，即可证明； （2）利用30度角的直角三角形的性质求得，即，再由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 即， ∴． 21. 如图，已知直线l：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线分别交于C、D两点．若点B的坐标为，点Ｄ的坐标为． （1）求直线l与双曲线的解析式； （2）若将直线l向下平移个单位，当直线l与双曲线有且只有一个交点时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求解一次函数与反比例函数的解析式即可； （2）先设平移后的直线为： 再利用平移后直线l与双曲线有且只有一个交点，建立一元二次方程，利用一元二次方程有两个相等的实数根解决问题即可． 【小问1详解】 解： 点B的坐标为，点C的坐标为， 解得： ∴一次函数解析式为： 点C的坐标为在的图象上， ∴反比例函数为： 【小问2详解】 设平移后的直线为： 整理可得： 直线l与双曲线有且只有一个交点， ∴有两个相等的实数根， 解得：或 ， ∴ 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数图象的平移，一元二次方程根的判别式，理解两个函数有唯一交点对应的是方程组只有一组实数解是解本题的关键． 22. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】（1） （2）销售产品所获利润是万元； （3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【解析】 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 【小问1详解】 解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； 【小问3详解】 解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数，二次函数与特殊三角形的综合运用， （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据根据两点之间距离的计算方法可得的值，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下， 由（1）可得，， ∴，抛物线对称轴为， 当时，， ∴，且， ∴ ∴， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 同理可得，或； 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $