精品解析：广东省深圳市福田区部分学校2026-2027学年九年级上学期限时训练质量监测 数学试卷

初三限时训练质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； C选项是中心对称图形而不是轴对称图形； D选项既是轴对称图形也是中心对称图形． 2. 点、在坐标系中的坐标分别为、，将线段平移得到线段，点的对应点坐标是时，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴平移规律为向右平移3个单位，向下平移4个单位， ∴的对应点的坐标为． 故选：C． 3. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意； B．时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C．时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D．时，，分式无意义，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下两个方面理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零，（2）分式有意义⇔分母不为零，是解题的关键. 4. 下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不是乘积形式，该项不符合题意． B．将多项式化为三个整式的乘积，符合因式分解的定义，该项符合题意． C． 的结果是和的形式，不是整式乘积，该项不符合题意． D． 中，是分式，不是整式，不符合要求，该项不符合题意． 5. 小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“惠”，“爱”，“我”，“州”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 相信我爱 B. 我爱惠州 C. 相爱惠州 D. 相信惠州 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先对原式进行因式分解，再结合给定的汉字对应关系，匹配出对应的密码信息即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“惠”，对应“州”， ∴结果呈现的密码信息可能是“我爱惠州”． 故选：B． 6. 已知，则下列判断正确的是（ ） A. 的计算结果为 B. 当时， C. 当时，的值为正数 D. 若是整数，则或 【答案】A 【解析】 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 7. 如图，下列图形都是由边长相等的等边三角形和菱形按照一定的规律拼接而成的，其中第①个图形由10个等边三角形和1个菱形组成，第②个图形由14个等边三角形和2个菱形组成，第③个图形由18个等边三角形和3个菱形组成，以此类推，第100个图形里等边三角形的个数是（ ） A. 400 B. 402 C. 404 D. 406 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索； 根据图形得出规律：第n个图形有个等边三角形，然后代入计算即可． 【详解】解：由图可知： 第①个图形有个等边三角形， 第②个图形有个等边三角形， 第③个图形有个等边三角形， ∴第n个图形有个等边三角形， ∴第100个图形里等边三角形的个数是， 故选：D． 8. 如图，点P是平行四边形内任意一点，过点P作交于E、于F，作交于G、于H，已知平行四边形的面积分别为和，则平行四边形与的面积和为时，的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题中条件可得平行四边形的面积为，再利用平行四边形的对角线平分平行四边形的面积和平行线间的垂线段相等，面积之比等于底边之比，求出四边形的面积，进一步求出答案． 【详解】解：∵的面积分别为，的面积和为， ∴， ∵分别是的对角线， ∴， ∵， ∴， 即，代入得， 解得， 又∵， ∴， 解得， 又∵， 解得， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 化简：________． 【答案】（或） 【解析】 【详解】解：． 10. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键．由数轴易得，则，，，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， 则，，， 原式 ， 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，，在和上分别有点，连接．点关于的对称点为，点关于的对称点为，若刚好落在对角线上，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质，利用勾股定理得到，根据图形对称的性质得到，，设，根据勾股定理解得，得到，设，同理得到，继而根据勾股定理得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴，，，， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∵在中，， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分，即对角线中点坐标相同，设出点坐标列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即中点坐标与中点坐标相同， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线（为整数）与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的值为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质求出，然后分别将和代入求出b的值，然后根据题意求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点，，且轴， ∴， 当线段上有3个整点（包含线段端点）时，3个整点为，，， ∴当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵为整数， ∴的值为或或． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找出两个解集的公共部分，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，对分式进行化简，再把代入计算，即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时， 原式． 16. 如图，在中， ，，其中是边上的高，点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．同时点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点E的直线，交于点F，连接，设运动时间为． （1）线段_______， ______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）t，3t （2） （3）当时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段；点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； （2）过点A作于点H，再利用勾股定理结合等面积法求解； （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意，，列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段； ∵点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴cm， ∴，解得或6， ∵， ∴， ∴当时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形． 17. 网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． （1）设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） （2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 【答案】（1） （2）售价应该定为65元或61元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：降价x元，则每天可以售出箱； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设降价x元， 由题意，得：， 解得：， ∴元或元， 答：售价应该定为65元或61元． 18. 新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） （1）如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． （2）如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 【答案】（1）证明：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”； （2）如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，， 【解析】 【分析】（1）设，则，由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例定理可得，即可得解； （2）在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，同（1）证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”． 19. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 所以二次项的系数为1的“再生韦达方程”为， 即； 【小问2详解】 解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为； 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 20. 数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用相似三角形的性质，求解即可； （2）设，可得，由（1）可得得到，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）取的中点，连接，，得到是的中位线，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，从而得到，再根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）设， ∵点为的中点， ∴，， 由（1）得，， 解得或（不符合题意，舍去） 由（1）得， ∴，即，可得， ∵， ∴， ∴的长是； （3）如图，取的中点，连接，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长是12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三限时训练质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点、在坐标系中的坐标分别为、，将线段平移得到线段，点的对应点坐标是时，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“惠”，“爱”，“我”，“州”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 相信我爱 B. 我爱惠州 C. 相爱惠州 D. 相信惠州 6. 已知，则下列判断正确的是（ ） A. 的计算结果为 B. 当时， C. 当时，的值为正数 D. 若是整数，则或 7. 如图，下列图形都是由边长相等的等边三角形和菱形按照一定的规律拼接而成的，其中第①个图形由10个等边三角形和1个菱形组成，第②个图形由14个等边三角形和2个菱形组成，第③个图形由18个等边三角形和3个菱形组成，以此类推，第100个图形里等边三角形的个数是（ ） A. 400 B. 402 C. 404 D. 406 8. 如图，点P是平行四边形内任意一点，过点P作交于E、于F，作交于G、于H，已知平行四边形的面积分别为和，则平行四边形与的面积和为时，的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 化简：________． 10. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______． 11. 如图，在矩形中，，在和上分别有点，连接．点关于的对称点为，点关于的对称点为，若刚好落在对角线上，则的长为___________． 12. 在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线（为整数）与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的值为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在中， ，，其中是边上的高，点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．同时点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点E的直线，交于点F，连接，设运动时间为． （1）线段_______， ______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形？ 17. 网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． （1）设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） （2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 18. 新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） （1）如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． （2）如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 19. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 20. 数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $