精品解析：甘肃省天水市秦安县第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

秦安一中2025—2026学年度上学期高二期中考试 数学试题 命题：张少峰 杨宝亚 校对：张少峰 审题：王利民 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 2. 直线与的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程组可解得答案. 【详解】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 3. 点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3－5 D. 3＋5 【答案】C 【解析】 【分析】化圆的方程为标准方程，确定两圆的位置关系，可得|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和． 【详解】圆化为标准方程为， 圆心为C1(4,2)，半径为3； 圆化为标准方程为, 圆心为C2(−2,−1)，半径为2， ∴两圆的圆心距为， ∴两圆外离， ∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和，即35. 故选：C. 4. 已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 5. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 6. 设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图，的周长为 又椭圆，得到，所以的周长为， 故选：B. 7. 在四面体中，已知，，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，并以这三个向量为基底向量，然后设平面的法向量为，由空间向量垂直求得其中一个法向量，然后由空间向量求出线面角的正弦值，从而得到线面角的余弦值. 【详解】 设，，，则， ，，， 所以，，， 故可作为一个基底. 设平面的法向量为，， 由，， 得，则，令，则， 所以其中一个法向量， 设与平面所成的角为， 所以. 故选：B. 8. 已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，联立与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程得，结合椭圆参数关系求离心率. 【详解】设，，，则直线， 联立方程，消去y得， 则可得，，， 则，整理得， 又，则，则. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共面向量定理可判断A；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD. 【详解】因为，所以共面，又均过点， 所以共面，所以平面，故A正确； 以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 当时，，所以， 所以，又，所以不平行于平面，故B错误； 所以，所以，所以平面，故C正确； 当时，， 所以点G到平面的距离为，故D错误. 故选：AC. 10. 若两条直线，互相垂直，则的值是（ ） A. 3 B. -1 C. 1 D. 0 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判定可得求解，即可得的值. 【详解】由题意，，解得或. 故选：AB． 11. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】将方程化为标准方程可得， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，设，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，整理可得，解得，AB都对； 对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示： 由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即， 故的最大值为，C错； 对于D选项，设，则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 所以，的最大值为，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两条平行直线间的距离公式，即可得解. 【详解】将直线化为， 所以这两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 13. 已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可求弦长. 【详解】设圆心为，则，圆的半径为，则， 设的中点为，则， 而，故， 故答案为：. 14. 正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程为圆，再求出的取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 设点，则由， 得， 整理得， 即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 圆心M到点D的距离为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线的方程为：． （1）求直线关于点对称的直线的方程； （2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到，代入即可求解； （2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程. 【小问1详解】 解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则， 因为，所以， 整理得，即直线的方程． 【小问2详解】 解：设圆心， 由，则，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． 16. 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即求； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，结合条件利用圆的弦长公式即求. 【小问1详解】 设圆的方程为，则 ，解得， ∴方程为即. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程得， ∴弦长为，适合题意， 当直线斜率存在时，可设直线方程为即， 圆心M到直线的距离为， ∴，解得， ∴直线方程为， 综上可得直线的方程为或. 17. 如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以，又因为，所以， 且，平面，所以平面. （2）存在，点为的中点，理由如下： 由（1）知，平面，且. 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则，令，得. ，令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得平面，即，又由即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知直线与圆交于A，B两点，. （1）求实数a的值； （2）若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得圆心到直线的距离，再列式求解即可. （2）设，，由可得，结合点在圆上，即可得动点的轨迹方程． 【小问1详解】 圆，即，， 则圆心，半径，记为圆心到直线的距离， 由，得，而，因此， 所以. 【小问2详解】 设，，由，得，解得， 由点在圆上，得，于是， 所以动点的轨迹方程为. 19. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【小问1详解】 由题，，． 所以离心率． 【小问2详解】 由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． 【小问3详解】 如图： 设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦安一中2025—2026学年度上学期高二期中考试 数学试题 命题：张少峰 杨宝亚 校对：张少峰 审题：王利民 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线与的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3－5 D. 3＋5 4. 已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，已知，，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 10. 若两条直线，互相垂直，则的值是（ ） A. 3 B. -1 C. 1 D. 0 11. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为______. 13. 已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则______． 14. 正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线的方程为：． （1）求直线关于点对称的直线的方程； （2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 16. 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 17. 如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知直线与圆交于A，B两点，. （1）求实数a的值； （2）若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程. 19. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $