5．6 函数y=Asin(wx+φ)（思维导图+3大知识点+8大题型）（讲义） -2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦三角函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象与性质，系统梳理五点法作图、振幅周期等概念，以及从y=sinx到目标函数的图象变换规律，构建从基础作图到综合应用的学习支架。 资料含思维导图整合知识，通过八种题型（如由图象求解析式、异名变换）培养数学思维，结合声波曲线等实例发展数学眼光与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后变式题与方法总结助学生查漏补缺，提升综合能力。

5．6 函数 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：用五点法作函数的图象 4 知识点二：函数中有关概念 4 知识点三：由得图象通过变换得到的图象 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：由图象求解析式 6 题型二：同名变换 8 题型三：异名变换 9 题型四：变换的重合问题 10 题型五：求图象变换前、后的解析式 12 题型六：由图象变换研究函数的性质 12 题型七：综合问题的应用 15 题型八：用五点法 17 知识点一：用五点法作函数的图象 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 知识点二：函数中有关概念 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相． 知识点三：由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 知识点诠释：一般地，函数，的图象可以看作是用下面的方法得到的： （1）先把y=sinx的图象上所有的点向左（）或右（）平行移动个单位； （2） 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）； （3） 再把所得各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）． 题型一：由图象求解析式 【例题1】（2025·高一·北京·期中）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式为（        ） A． B． C． D． 【例题2】已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【变式1】（2025·高一·四川泸州·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·高一·广西柳州·期末）我们在用微信语音通话时，手机话筒采集到的声音信号是一段类似正弦函数图像的声波曲线（如图所示），已知该声波曲线（其中）的振幅为4，周期为，初相位为，则该声波曲线的解析式可能是（已知周期公式：）（    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 【变式4】函数在区间上的简图如图，则函数的解析式可以是（    ）．    A． B． C． D． 题型二：同名变换 【例题3】（2025·高一下·山东聊城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【例题4】（2025·高一·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【方法技巧与总结】 对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 【变式5】（2025·高一·甘肃武威·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式6】（2025·高一·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【变式7】（2025·高一·四川巴中·期末）为了得到函数的图象，可以将的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【变式8】（2025·高一·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 题型三：异名变换 【例题5】（2025·高一·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【例题6】要得到的图象，只需将的图象（    ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【方法技巧与总结】 变为同名再变换． 【变式9】（2025·高一·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 【变式10】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式11】（2025·高一·陕西渭南·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【变式12】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 题型四：变换的重合问题 【例题7】（2025·高一·上海奉贤·期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①函数的最小正周期为； ②函数的图象关于对称； ③是函数的一个零点； ④函数在上为严格减函数． A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【例题8】已知函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（   ） A．3 B． C． D． 【变式13】函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式14】已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D．8 【变式15】（2025·高二·广西·开学考试）把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式16】（2025·陕西西安·模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五：求图象变换前、后的解析式 【例题9】（2025·高一·全国·课前预习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 ． 【例题10】（2025·高一·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 【方法技巧与总结】 常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向． 【变式17】（2025·高一·全国·单元测试）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则的最小正周期为 ．若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 ． 【变式18】（2025·高一·全国·单元测试）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则的解析式为 ，若在区间上单调递增，则的最小值为 ． 【变式19】（2025·高一·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则 ． 【变式20】（2025·高一·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 . 题型六：由图象变换研究函数的性质 【例题11】（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．在上单调 D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 【例题12】（多选题）（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期中）函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．的图象的一个对称中心为 D．的图象向左平移个单位后得到一个关于y轴对称的图象 【方法技巧与总结】 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用公式求周期； ②根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值； ③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间． 【变式21】（多选题）（2025·高一·湖北宜昌·期中）函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（    ）    A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 【变式22】（多选题）（2025·高一·湖南株洲·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上恰有两个零点，则（   ） A．在上也恰有两个零点 B．的取值范围是 C．的图象在上恰有一条对称轴 D．的图象在上最多有三条对称轴 【变式23】（多选题）（2025·宁夏银川·一模）已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．的图象关于直线对称 D．的图象与的图象在内有4个交点 【变式24】（多选题）（2025·高一·江苏南通·期末）对于函数（），下列说法正确的是（   ） A．当时，函数在上有且只有一个零点 B．若函数在单调递增，则的取值范围为 C．若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 题型七：综合问题的应用 【例题13】（2025·高一·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 【例题14】（2025·高一·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 【方法技巧与总结】 研究函数性质的基本策略 （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域． 【变式25】（2025·高一·全国·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【变式26】（2025·高一·全国·单元测试）如图，已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及的值； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【变式27】（2025·高一·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 【变式28】（2025·高一·全国·单元测试）已知函数（其中）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 题型八：用五点法 【例题15】（2025·高一·福建泉州·期中）已知函数. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图像，并写出图像的对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，若函数经过点，求的值. 【例题16】（2025·高一·江苏镇江·期末）已知函数（其中，）的最小正周期为，且___________. ①点在函数的图象上； ②函数的一个零点为； ③的一个增区间为. 请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题： (1)求的解析式； (2)用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象. 【方法技巧与总结】 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 【变式29】（2025·高一·辽宁鞍山·期中）已知函数，，现有如下两种图象变换方案： （方案1）：将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度； （方案2）：将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变. 请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数的解析式，并解决如下问题： （1）用“五点作图法”画出函数在的闭区间上的图象（列表并画图）； （2）请你在答题纸相应位置逐一写出函数的①周期性②奇偶性③单调递增区间④单调递减区间. 【变式30】已知函数． （1）请用“五点作图法”列表作出函数在一个周期内的图象； （2）的图象经过怎样的图象变换，可以得到的图象．（请写出具体的变换过程） 【变式31】（2025·高一·四川成都·期末）某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是还是.翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）. 0 0 3 0 0 （1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式，并写出该函数的最小正周期； （2）若利用的图象用图象变化法作的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法） 第一步：的图象向右平移_____得到_____的图象； 第二步：的图象（纵坐标不变）______得到_____的图象； 第三步：的图象（横坐标不变）_____得到的图象. 【变式32】已知函数，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标扩大到原来的倍，所得图象为函数的图象. （1）写出g(x)的解析式； （2）用“五点描点法”画出的图象（）. （3）求函数图象的对称轴，对称中心. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．6 函数 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：用五点法作函数的图象 4 知识点二：函数中有关概念 4 知识点三：由得图象通过变换得到的图象 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：由图象求解析式 6 题型二：同名变换 10 题型三：异名变换 12 题型四：变换的重合问题 14 题型五：求图象变换前、后的解析式 17 题型六：由图象变换研究函数的性质 20 题型七：综合问题的应用 26 题型八：用五点法 32 知识点一：用五点法作函数的图象 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 知识点二：函数中有关概念 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相． 知识点三：由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 知识点诠释：一般地，函数，的图象可以看作是用下面的方法得到的： （1）先把y=sinx的图象上所有的点向左（）或右（）平行移动个单位； （2） 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）； （3） 再把所得各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）． 题型一：由图象求解析式 【例题1】（2025·高一·北京·期中）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象可知，，所以， 故，所以， 由图象过点，所以，即， 所以， 由于，所以， 所以. 故选：A 【例题2】已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若， 则，， ，， 由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项B，C； 对于选项A，，当时函数值为，从而排除选项A. 故选：D． 【方法技巧与总结】 确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【变式1】（2025·高一·四川泸州·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象知函数周期，所以，所以， 又函数图象过点，，所以， 解得，又，所以，所以. 故选：A 【变式2】（2025·高一·广西柳州·期末）我们在用微信语音通话时，手机话筒采集到的声音信号是一段类似正弦函数图像的声波曲线（如图所示），已知该声波曲线（其中）的振幅为4，周期为，初相位为，则该声波曲线的解析式可能是（已知周期公式：）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，，即，， 所以函数的解析式为. 故选：B 【变式3】若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象知，，最小正周期为4，故，解得， 故，所以，，，，， ，又， 所以 ． 故选：B． 【变式4】函数在区间上的简图如图，则函数的解析式可以是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取正弦型函数，由图象知， 因为，所以，则，所以函数的解析式是． 因为函数的图象过点， 所以，则，． 当时，，所以函数的解析式可以是， 故选：B． 题型二：同名变换 【例题3】（2025·高一下·山东聊城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解析】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. 【例题4】（2025·高一·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象； 故选：A. 【方法技巧与总结】 对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 【变式5】（2025·高一·甘肃武威·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】因为，所以要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 【变式6】（2025·高一·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【答案】A 【解析】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：A. 【变式7】（2025·高一·四川巴中·期末）为了得到函数的图象，可以将的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【解析】将向右移动个单位得. 故选：C 【变式8】（2025·高一·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解析】， 则只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：B. 题型三：异名变换 【例题5】（2025·高一·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【解析】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A 【例题6】要得到的图象，只需将的图象（    ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】由于， 所以将的图象向左平移个单位长度即得. 故选：B． 【方法技巧与总结】 变为同名再变换． 【变式9】（2025·高一·江西萍乡·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有点（   ） A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位 【答案】C 【解析】因为向左平移个单位可得， 向左平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 向右平移个单位可得， 故C正确，ABD错误. 故选：C 【变式10】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】因为 故将函数的图象向右平移个单位长度可得， 故选：D. 【变式11】（2025·高一·陕西渭南·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】因为， 所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 【变式12】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】， ， 所以只需把函数的图象，向左平移个单位，得到的图象. 故选：A. 题型四：变换的重合问题 【例题7】（2025·高一·上海奉贤·期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①函数的最小正周期为； ②函数的图象关于对称； ③是函数的一个零点； ④函数在上为严格减函数． A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【解析】由题可知，， ，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 当时，， 因为在单调递增，所以④错误； 故选：C． 【例题8】已知函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意知，，∴，∴，∴ω的最小值为． 故选：B. 【变式13】函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象向左平移单位后得出，则的解析式是. 故选：B. 【变式14】已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【解析】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即， 解得，又，故其最小值为． 故选： B. 【变式15】（2025·高二·广西·开学考试）把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，与函数对称轴相同， 则， 得，所以的值可能为. 故选：C. 【变式16】（2025·陕西西安·模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将的图象向左平移个单位长度后， 得到， 则，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：C. 题型五：求图象变换前、后的解析式 【例题9】（2025·高一·全国·课前预习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 ． 【答案】 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象． 故答案为： 【例题10】（2025·高一·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】依题意可得， 当时，， 因为在上恰有两个零点， 所以，解得． 令，得， 令，得在上单调递减， 所以，所以又，所以． 综上所述，，即的取值范围是． 故答案为： 【方法技巧与总结】 常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向． 【变式17】（2025·高一·全国·单元测试）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则的最小正周期为 ．若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由， 又函数的图象向左平移个单位长度， 即得到的图象． 又的图象关于轴对称， 则为偶函数， 所以，，解得，， 又，则， 所以的最小正周期为． 则， 当时，， 若在区间上存在最大值，则，解得， 即实数的取值范围为． 故答案为：；． 【变式18】（2025·高一·全国·单元测试）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则的解析式为 ，若在区间上单调递增，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象，再把的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，即．由于在上单调递增， 所以时，， 因此， 即且，则且， 可得，由于，故当时，取到最小值． 故答案为：，. 【变式19】（2025·高一·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则 ． 【答案】 【解析】因为最小正周期为， 所以，解得，所以． 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 根据所得图象关于轴对称，可得，解得， 又，所以． 故答案为：． 【变式20】（2025·高一·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 . 【答案】1 【解析】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 题型六：由图象变换研究函数的性质 【例题11】（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．在上单调 D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】根据辅助角公式对进行化简： ， 对于，，则其最小正周期，所以选项A正确. 若是函数图象的一条对称轴，则. 当时，，所以不是图象的一条对称轴，选项B错误. 令，解不等式可得： 当时，单调递减区间为，，所以在上单调递减，选项C正确. 将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到的图象. 因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，不关于原点对称，选项D错误. 故选：AC. 【例题12】（多选题）（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期中）函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．的图象的一个对称中心为 D．的图象向左平移个单位后得到一个关于y轴对称的图象 【答案】ABD 【解析】由图象可知，， 所以，即， 又因为，所以，故A正确； 所以的解析式为， ，， 所以，解得，故B正确； 所以，此为函数的最小值， 故点不是的图象的一个对称中心，故C错误； 的图象向左平移个单位后得到， 显然为偶函数，其图象关于y轴对称，故D正确. 故选：ABD. 【方法技巧与总结】 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用公式求周期； ②根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值； ③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间． 【变式21】（多选题）（2025·高一·湖北宜昌·期中）函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（    ）    A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 【答案】BC 【解析】对于A选项，因为点与点关于点对称，则点， 结合图形可知，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，，且函数在附近单调递增， 故，所以， 又因为，故，所以，， 因为，所以函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，当时，， 所以函数在上单调递增，C对； 对于D选项，函数的图象向右平移后，得到的图象， 则函数为奇函数，D错. 故选：BC. 【变式22】（多选题）（2025·高一·湖南株洲·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上恰有两个零点，则（   ） A．在上也恰有两个零点 B．的取值范围是 C．的图象在上恰有一条对称轴 D．的图象在上最多有三条对称轴 【答案】ACD 【解析】的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，在上恰有两个零点，故函数在 上恰有两个零点，故A正确； 由题意知 且 ，则 ，，． 由“五点法”知 或 ， 得 或，故B错误； 若，则， 而或， 因为，故的图象恰有一条对称轴，故C正确； ，若，则， 若 ，则，， 若 ，则，， 所以的图象在上最多有三条对称轴，故D正确． 故选：ACD. 【变式23】（多选题）（2025·宁夏银川·一模）已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．的图象关于直线对称 D．的图象与的图象在内有4个交点 【答案】BD 【解析】对于A，将的图象向右平移个单位后可得， 进而可得，故A错误； 对于B，由，得，又，则， ，故B正确； 对于C，由，所以不是的对称轴，故C错误； 对于D，分别作出与在内的图象，可知有4个交点，故D正确. 故选：BD. 【变式24】（多选题）（2025·高一·江苏南通·期末）对于函数（），下列说法正确的是（   ） A．当时，函数在上有且只有一个零点 B．若函数在单调递增，则的取值范围为 C．若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，， 令，则， 当，为正弦函数的递减区间，此时， 所以有解，且只有一个零点，故A正确； 对于B，， 因为单调递增，所以，解得， 又，所以，故B正确； 对于C，由题可得，所以，故，此时， 令，则， 故，所以，故C错误； 对于D，， 若为偶函数，则，解得， 所以当时，的最小值为2，故D正确； 故选：ABD 题型七：综合问题的应用 【例题13】（2025·高一·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 【解析】（1） ， 因函数图象的一个对称中心为，则， 则，即， 因，则当时，. （2）由（1）可知，， 令，得， 故的单调递增区间为； （3），则， 因，结合函数图象可知， 欲使在区间上的值域是， 则，即， 故的取值范围为. 【例题14】（2025·高一·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 【解析】（1）根据图象可得，，则， 因为，所以， 将代入的解析式，得， 结合图象知，解得， 因为，所以， 所以． （2）由（1）知， 将的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍得的图象， 因为，所以，则， 所以， 故在上的值域为， 对任意的，，则只需即可， 所以，即实数的最小值为12． 【方法技巧与总结】 研究函数性质的基本策略 （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域． 【变式25】（2025·高一·全国·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【解析】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得． 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，，，， 即，，，， 解得：，，，， 所以． 【变式26】（2025·高一·全国·单元测试）如图，已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及的值； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【解析】（1）设函数的最小正周期为T，由题意可得，，故． 因为，，所以，． 由，解得． （2）由题意得，． 当时，，所以， 所以，即的值域为． 【变式27】（2025·高一·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因， 令，解得， 函数的单调递增区间为； （2）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象， 若函数在上有两个零点， 则与在上有两个交点， 由，得，由，得， 所以结合正弦函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以要使与在上有两个交点，只要， 故m的范围为． 【变式28】（2025·高一·全国·单元测试）已知函数（其中）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）设的最小正周期为，由图象可得，， 所以，所以， 又， 所以，即， 又，所以，所以． （2）由题意有：． 由任意的，都有成立， 即时，， 由可得，此时， 由可得，此时． 所以，解得， 即实数的取值范围为. 题型八：用五点法 【例题15】（2025·高一·福建泉州·期中）已知函数. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图像，并写出图像的对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，若函数经过点，求的值. 【解析】（1） 因为，所以 0 1 1 3 函数的图象如图所示 令,则, 所以的对称中心为 （2）将函数的图象向左平移个单位， 得到函数 再向下平移1个单位，得到函数 然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数 因为函数经过点 所以 即 因为，所以 因为所以 所以 所以 . 【例题16】（2025·高一·江苏镇江·期末）已知函数（其中，）的最小正周期为，且___________. ①点在函数的图象上； ②函数的一个零点为； ③的一个增区间为. 请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题： (1)求的解析式； (2)用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象. 【解析】（1）由题意最小正周期为，解得，所以， 若选①，则，所以， 又，所以， 所以函数的解析式为； 若选②，则，所以， 又，所以， 所以函数的解析式为； 若选③，即的一个增区间为， 当时，， 又， 由复合函数单调性可知，只能， ，所以函数的解析式为； 综上所述，无论选哪个条件，函数的解析式均为. （2）列表如下： 0 0 1 0 0 描点、连线（光滑曲线）画出函数一个周期内的图象如图所示： 【方法技巧与总结】 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 【变式29】（2025·高一·辽宁鞍山·期中）已知函数，，现有如下两种图象变换方案： （方案1）：将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度； （方案2）：将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变. 请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数的解析式，并解决如下问题： （1）用“五点作图法”画出函数在的闭区间上的图象（列表并画图）； （2）请你在答题纸相应位置逐一写出函数的①周期性②奇偶性③单调递增区间④单调递减区间. 【解析】（方案1）：将函数的图象上所有点的横标变为原来的一半，纵坐标不变， 得到函数的图象，再将函数图象向左平移个单位长度得到的图象； （方案2）：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，即. 所以，无论在何种方案下所得的函数都是. （1）当时，，列表如下： 所以，函数在区间上图象如下图所示： （2）函数， 最小正周期：；奇偶性：非奇非偶函数； 增区间：令，解得， 所以，函数的单调递增区间为； 减区间：令，解得， 所以，函数的单调递减区间为. 【变式30】已知函数． （1）请用“五点作图法”列表作出函数在一个周期内的图象； （2）的图象经过怎样的图象变换，可以得到的图象．（请写出具体的变换过程） 【解析】（1）①列表 ②描点，连线 （2）将函数图象上各点横坐标不变纵坐标变为原来的三倍，得到函数的图象； 的图象上各点纵坐标不变横坐标变为原来二分之一，得到函数的图象；的图象上各点向右平移个单位，得到的图象. 【变式31】（2025·高一·四川成都·期末）某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是还是.翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）. 0 0 3 0 0 （1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式，并写出该函数的最小正周期； （2）若利用的图象用图象变化法作的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法） 第一步：的图象向右平移_____得到_____的图象； 第二步：的图象（纵坐标不变）______得到_____的图象； 第三步：的图象（横坐标不变）_____得到的图象. 【解析】1） 0 0 3 0 0 由对应关系可知，函数最小正周期为，故，，将代入可得，又，故，故函数表达式为 ，最小正周期 （2）第一步：的图象向右平移（个单位长度）得到的图象. 第二步：的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的倍得到的图象. 第三步：的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到的图象 【变式32】已知函数，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标扩大到原来的倍，所得图象为函数的图象. （1）写出g(x)的解析式； （2）用“五点描点法”画出的图象（）. （3）求函数图象的对称轴，对称中心. 【解析】（1）∵函数，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标扩大到原来的倍， ∴ (2)绘制表格如下： x 0 0 0 (3)根据图象易得：对称轴，对称中心， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $