5.7 三角函数的应用-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

5.7 三角函数的应用 1 三角函数模型 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．比如农业中筒车中盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系，物理中的简谐运动等. 2 简谐运动 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为 “简谐运动”． 可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数，表示，其中，．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关： 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往 复运动的次数； 称为相位；时的相位称为初相. 【题型1】 函数解析式的应用 【典题1】 水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是秒，半径为米，水车中心(即圆心)距水面米若．以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为(　　) A． B． C． D． 【典题2】设是某港口水的深度关于时间(时)的函数，其中，下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系： ] 经长期观察，函数的图象可近似地看成函数的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据的对应关系的函数是(　　) A． B． C． D． 【典题3】已知电流与时间的关系为． (1)如图所示的是在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式； (2)如果在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？ 【巩固练习】 1.某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度(米)随时间(秒)变化的关系式为(　　) A． ． C． D． 2.如图，半径为的水轮绕着圆心逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动圈，水轮圆心距离水面，如果当水轮上点从离开水面的时刻开始计算时间． (1)将点距离水面的高度与时间满足的函数关系； (2)求点第一次到达最高点需要的时间． 3.已知某海滨浴场水浪的高度(米)是时间(，单位：小时)的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据： (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 (米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，的曲线可近似地所成是函数的图象． (1)根据以上数据，求函数的函数表达式； (2)依据规定，当水浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8.00时至晚上20：00的之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【题型3】综合应用 【典题1】 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒．经过t秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足．则下列叙述错误的是(　　) A． B．当时，点到轴的距离的最大值为 C．当时，函数单调递减 D．当时， 【典题2】如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形PQRS的面积的最大？并求出这个最大值． 【典题3】如图，是块边长为的正方形地皮，其中扇形是一半径为的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点在弧上，相邻两边落在正方形的边、上． (1)设，把矩形停车场的面积表示为的函数 (2)求矩形面积的最大值和最小值． 【巩固练习】 1.如图是半径为的半圆，且是半圆的内接矩形，设，则其值为　　时，矩形的面积最大，最大面积为　 　． 2.如图，某正方形公园，在区域内准备修建三角形花园，满足与平行(点在上)，且(单位：百米)．设，的面积为(单位：百米平方)． (1)求关于的函数解析式 (2)求的最大值，并求出取到最大值时的值． 3.如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为