第五章提分练习（练习1～练习12）-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级下册数学同步练习课时基础强化版（苏科版）

九年级下册 练习1根据实际问题求二次函数表达式 【方法提示】根据实际问题列二次函数表达式，本质是用含一个未知数的代数式表示另一 个未知数， 1.退休的李老师借助自家15m的院墙和总长度为30m的围栏，在院墙 外设计一个矩形花圃种植花草.为方便进出，他在如图所示的位置安 装了一个1m宽的门.若设和墙相邻的一边长为xm,花圃的面积为ym,则y与x之 间的函数表达式为 2.消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销.已知该消毒洗手液 的进价为每瓶20元，经市场调查，该消毒洗手液每天的销售量y(瓶)与销售单价 x(元/瓶)满足一次函数关系，部分数据记录如下表所示. x/(元/瓶) 22 24 26 27 y/瓶 90 80 70 65 (1)直接写出y与x之间的函数表达式.（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该药店每天想从该消毒洗手液的销售中获利375元，又想尽量给顾客实惠，应将 消毒洗手液每瓶的售价定为多少元？ 3.如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB=2,点P、Q分别从A、C两点同时出发，以 相同的速度做匀速直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动， 连接PQ、PC. (1)设AP的长为x,△PCQ的面积为S,求S关于x的函数表达式. (2)当AP的长为何值时，S△PcQ=S△ABC? 1 提分练习 练习2二次函数图像与图形交点问题 【方法提示】抛物线与图形交点问题处理方法：画出草图，从动态中找出抛物线与图形交点 的变化情况，根据“|α越大，抛物线开口越小”确定取值范围. 1.已知点A(1,1)、B(3,1)、C(4,2)、D(2,2),若抛物线y=ax2(a>0)与四边形ABCD的 边没有交点，则a的取值范围为 () A名u<1 &号a< C.a>1或0<a< 8 D.a>1或0<a<日 2.如图，正方形ABCD位于第一象限，其顶点A、C的坐标分别为(1,1)、(3,3).已知抛物 线y=ax2与该正方形位于同一平面直角坐标系xOy中. B 013x (1)若抛物线y=ax2与该正方形只有一个交点，则a的值为 (2)若抛物线y=ax2与该正方形没有交点，则a的取值范围为 3.在平面直角坐标系xOy中，有四条直线x=1、x=2、y=1、y=2围成的正方形ABCD (如图所示). (1)若一条抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点，求该抛物线的二次项系数a的 取值范围 (2)若抛物线y=ax2与正方形ABCD没有公共点，求a的取值范围. 2》 九年级下册 练习3二次函数的几何意义的理解 【方法提示】验证抛物线上一点到某定点的距离等于该点到x轴距离相等的方法：通过勾 股定理计算斜线段的距离，再计算垂线段的距离，看二者是否相等】 1.将抛物线C:y=(红一4)十3先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到抛物线C2. (1)直接写出抛物线C2的函数表达式， (2)如图1，y轴上是否存在定点F,使得抛物线C2上任意一点P到x轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F的坐标 (3)如图2，D为抛物线C1的顶点，P为抛物线C2上任意一点，过点P作PH⊥x轴于 点H,连接DP,求PH+PD的最小值及此时点P的坐标. 0 0 图1 图2 2.如图1，抛物线y=x2十2经过点(4,0)，A(a,b)是抛物线上的任意一点，直线1经过点 (0,4)且与x轴平行，过点A作AB⊥1于点B. (1)直接写出k的值：k= (2)当a=0时，AO= ,AB= ;当a=8时，AO= ,AB= (3)由(2)的结论，请你猜想：对于抛物线上的任意一点A,AO与AB有怎样的大小关 系，并证明你的猜想. (4)如图2，已知线段CD=12,线段的两端点C、D在抛物线上滑动，求C、D两点到直 线1的距离之和的最小值 图 《3 提分练习 练习4根据二次函数图像解决问题 【方法提示】根据给出的条件求出函数表达式，再根据图像上点的坐标作答， 如图，直线y1=一x一2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y2=a(x一h)2的顶点为A, 且经过点B. (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 (2)求该抛物线对应的函数表达式. (3)根据图像直接写出当y1<y2时，自变量x的取值范围是 (4)请在抛物线的对称轴上找一点P,使PO+PB的值最小，求出点P的坐标. (5)点Q在直线AB下方的抛物线上，在(4)的条件下，若S△ABQ=S△ABP,求点Q的坐标. (直接写出结果) (6)已知C是抛物线上的点，△ABC是以AB为直角边的直角三角形，求点C的坐标. 4》 九年级下册 练习5二次函数顶点轨迹问题 【方法提示】确定抛物线顶点在直线上的方法：根据二次函数顶点式确定点的坐标，以顶点 横坐标为x,纵坐标为y,用含x的代数式表示出y. 1.已知二次函数y=(x-3a)2-(3a十2)(a为常数)，当a取不同的值时，其图像构成一 个“抛物线系”.图中分别是当a=一1、a=一号a=1时二次函数的图像.则它们的顶 点所满足的函数表达式为 2.间题一：已知二次函数：y= 3(x-m)2-2m- (m为常数)，当m取不同的值时，其图 像构成一个“抛物线系”.我们发现：当取不同数值时，对应的二次函数的图像的顶点 都在同一条直线上，那么这条直线的函数表达式是 问题二已知直线1：y一号x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线L:y=号(2- m)-2m一号(m为常数)图像的顶点为C. (1)如图1，若点C在Rt△AOB的内部（不包括边界），求m的取值范围. (2)如图2，当抛物线L的图像经过点A、B时，在抛物线上(AB的下方)是否存在点 P,使∠ABO=∠ABP?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由 A B 图1 图2 《5 提分练习 练习6二次函数顶点在x轴上问题 【方法提示】抛物线顶点在x轴上三种理解：(1)函数表达式符合y=a(x一h)2的特征； (2)顶点纵坐标为0，即4ac二=0；(3)抛物线与x轴只有一个交点，即一4ac=0. 4a 1.若抛物线y=2x2一6x十m的顶点在x轴上，则m= 2.已知抛物线y=x2十4x十m的顶点在x轴上，且开口向下，则m的值为 3.已知二次函数的表达式为y=x2-2tx+3(t>0). (1)若该函数图像的顶点在x轴上，求t的值. (2)若点，)在该函数的图像上，令g=t十，求证：g≤日 (3)若A(m一2，a)、B(4,b)、C(m,a)三个点都在这个二次函数的图像上，且a<b<3, 求m的取值范围. 4.已知抛物线y=x2十bx+1的顶点在x轴上，且位于y轴的左侧.现将该抛物线向下平 移，设抛物线在平移过程中，与x轴的两交点分别为A、B (1)试求抛物线y=x2+bx+1的对称轴. (2)在最初的状态下，至少向下平移多少个单位长度，A、B两点之间的距离不小于6个 单位长度？ (3)在最初的状态下，若向下平移m2(m>0)个单位长度，对应的线段AB的长度为n. 设w=m2一n,当m为何值时，®最小？最小值是多少？ 6》 九年级下册 《 练习7用待定系数法确定二次函数表达式 【方法提示】用待定系数法确定二次函数表达式三种基本方法：(1)已知三点用一般式；(2)已知 顶点、对称轴、最值等用顶点式；(3)已知与x轴两交点用交点式（只适用于填空题、选择题） 1.在平面直角坐标系xOy中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转 180°得到抛物线y=x2+5.x十+6，则原抛物线的函数表达式是 () A.y=-(x-)- B.y=-(+)》- Cy=(z-)- D.y=-(+)'+ 2.已知二次函数y=(m2一2)x2一4mx十n的图像的对称轴是直线x=2,且最高点在直 线y=2x十1上，求这个二次函数的表达式. 3.已知关于x的二次函数y=ax2+2ax一3a(a≠0). (1)若该二次函数的图像经过(1,3)、（一1,4）、（一3，一10）三点中的一点，求a的值 (2)当一3<x<0时，y有最小值一4，若将该二次函数的图像向右平移m(m>1)个单 位长度，平移后的图像所对应的函数值y在一3≤x≤0的范围内有最小值一3，求 a、m的值. 《7 提分练习 练习8二次函数与x轴交点问题 【方法提示】判定二次函数与x轴交点个数主要看b2一4ac的正负：当b2一4ac>0时，有两 个交点；当b2一4ac=0时，有一个交点；当b2一4ac<0时，没有交点. 1.若三个方程一2(x+3)(x-2)=8、-3(x+3)(x-2)=8、一4(x+3)(x-2)=8的正 根分别记为x1、x2、x3,则下列判断正确的是 () A.x1<x2<x3 B.x3<x2<x1 C.x2<x3<x1 D.x3<x1<x2 2.已知二次函数的表达式为y=x2一mx+m一1(m为常数). (1)求证：这个二次函数图像与x轴必有公共点， (2)设这个二次函数图像与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交 于点C.当BC=3√2时，求m的值， 3.已知二次函数y=x2一2mx十m2十3(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点， (2)把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的图像与x轴只有一个 公共点？ (3)将函数y=x2一2mx十m2+3(m是常数)的图像在对称轴左侧的部分沿直线y=3 翻折，与对称轴右侧的部分组成新图像，记为G,若新图像G与直线y=x+2有三 个交点，请直接写出m的取值范围. 8》 九年级下册 练习9根据二次函数图像解方程 【方法提示】图像法解特殊方程的方法：(1)将原方程拆分为两个函数（一次函数、二次函数 或反比例函数)的交点问题；(2)画草图；(3)观察草图的特征确定方程的解. 1.关于x的方程x2+|x|一a2=0的所有实数根之和等于 () A.-1 B.1 C.0 D.-a2 2.函数y=x3一2x2和y=一x十2的图像如图所示，方程x3一2x2=1的解是x=m,方程 一x十2=1的解是x=n,由函数图像可知，m n.(填“>”“=”或“<”) 2-1 -1 1-2 (第2题) (第3题) 3,如图，已知函数y=二多与y=a.x2+bx(a>0,6>0)的图像交于点P,点P的纵坐标为 1,则关于x的方程ax2十bx+三=0的解是 4.利用图像解一元二次方程x2+x一3=0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标 系xOy中画出抛物线y=x2和直线y=一x十3，两图像交点的横坐标就是该方程的解. (1)利用图像解一元二次方程x2十x一3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系xOy 中画出抛物线y= 和直线y=一x,其交点的横坐标就是该方程的解 (2)已知函数y=一6的图像（如图所示），利用图像求方程一x十3=0的近似解.（结 果保留两个有效数字) 6 《9 提分练习 练习10用二次函数解决问题(1) 【方法提示】根据利润求最值的方法：(1)根据题意确定函数表达式；(2)确定自变量取值范 围；(3)计算最值. 1.某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现，该商品销售量 y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）.当售 价为60元/件时，商家改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费 用150元. (1)请写出y与x之间的函数表达式. (2)当售价为多少元/件时，商家所获利润最大？最大利润是多少？ ↑/件 300 150 100 040 6070x/(元/件) 2.某款旅游纪念品很受游客喜爱，进价为40元/个，规定销售单价不低于44元/个，且不 高于52元/个.某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元/个时，每天可售出 300个，销售单价每上涨1元/个，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销 售量为y个，销售单价为x元/个 (1)请写出y与x之间的函数关系式并注明自变量x的取值范围 (2)将纪念品的销售单价定为多少元/个时，商家每天销售纪念品获得的利润（元）最 大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 2200元，求销售单价x的取值范围. 10》参考答案与详解 练习1根据实际问题求二次函数表达式 形可知，当|a|越大时，抛物线开口越小，离y轴越 1.y=一2x2+31x(8≤x<15.5)解析：若和墙相 近，当|a|越小时，抛物线开口越大，离y轴越远， 邻的一边长为xm,则平行于墙的一边长为(30+ ∴.若抛物线y=a.x2(a>0)与四边形ABCD的边没 1-2x)m.根据题意，得y=x(30+1-2x)=-2x2十 有交点，则a的取值范围为a>1或0<a<行， 30+1-2x>0, 31x.又 1v 130+1-2x≤15， 8≤x<15.5,y与x 之间的函数表达式为y=-2x2+31x(8≤x<15.5). 2.(1)设y与x之间的函数表达式为y=x十b.将 B(3.1) 90=22k+b, (22,90)、(24,80)代人，得 解得 80=24k+b, 解析：由题意可知，正方形另外两个 k=一5， 2.(1)3或) .y与x之间的函数表达式为y=一5x十 b=200, 顶点的坐标分别为B(3,1)、D(1,3).若该抛物线与 200.(2)由题意得，375=(x-20)(-5x十200)，解 正方形ABCD只有一个交点，则该抛物线经过点 得x=35或x=25.考虑到尽量给顾客实惠，则售价 B(3,1)或点D(1,3).将点B(3,1)代人y=ax2,解得 应尽量低，故x=25.答：应将消毒洗手液每瓶的售价 a- 9将点D(1,3)代入y=ax2,解得a=3.综上所 定为25元.3.(1)△ABC是等腰直角三角形， .AB=BC=2.P、Q两点的速度相同，∴.AP= 述a的值为3或号.(2)a<0或0<a<g或a>3 CQ=x.当0≤x≤2时，BP=AB-AP=2-x, 解析：结合(1)的结论，再由抛物线的性质即可直接得 S=2CQ·Bp=222=-2x+x当x>2 2 到a的取值范围，注意考虑抛物线的开口方向 时，BP=AP-AB=x-2,S=CQ·BP= 3.(1),a越大，抛物线开口越小，∴.当抛物线y= ax2经过点A时，a的值最大，即2=a×12,解得 。2》-2-x综上所述，S关于x的函数表达式 a=2;当抛物线y=a.x2经过点C时，a的值最小，即 2 -2r+x0≤x≤2， =a×2,解得a=子.综上所述，当号≤a<2时，抛 为S= (2)SAABC= AB. 物线y=a.x2与正方形ABCD有公共点.(2)由(1) 7-x>20. 得，当a>2或0<a<1时，开口向上的抛物线与正 BC-=号×2X2=2.当-司2十x=2时，此方程无实 方形ABCD没有公共点；当a<0时，抛物线开口向 数解；当分x2-x=2时，解得=1十5，x=1-5 下，抛物线与正方形ABCD没有公共点.综上所述， 若抛物线与正方形ABCD没有公共点，则a的取值 (舍去)..当AP的长为1十√5时，S△rcQ=S△ABC. 练习2二次函数图像与图形交点问题 范围是a<0或0<a<}或a>2. 1.D解析：分别画出当抛物线y=ax2(a>0)过四 练习3二次函数的几何意义的理解 边形ABCD的四个顶点时的图像，如图所示.结合图1，(1)由平移的性质得，抛物线C2的函数表达式为 《41 y=2+1.(2)存在.理由如下：设点F的坐标为 一日a2+2,OE=a.在Rt△AE0中，由勾股定理 (0,点P的坐标为(m,m2+1小：点P到x轴得A0=AE+0E=(-ga2+2)十a2=a+ 的距离与PF的长总相等，.（m一0)2十 合c+4,而AB=(+gc-2到°-a+2a+, (m+1-=(是m+1),整理得(2-)· ∴.AO3=AB2,∴.AO=AB.(4)如图2，连接CO、 2m2-=0.当1=2时上式恒成立，故点F的坐 DO,过点C作CM⊥直线l于点M,过点D作DNI 直线L于点N,此时CM即为点C到直线l的距离， 标为(0,2).(3)如图，由抛物线C的函数表达式可 DN即为点D到直线l的距离，则有CO=CM,DO= 知，顶点D的坐标为(4,3).由(2)可知，PH=PF,故 DN.在△COD中，.CO+DO>CD,∴.CM+DN> PH+PD=PD十PF,故当点D、P、F三点共线时， 、 CD;当线段CD过点O时，CO+DO=CD,∴.CM+ PH十PD=PD十PF=DF,此时DF的长即为 、 DN=CD.综上所述，CM+DN≥CD,即CM+DN≥ PH十PD的最小值.DF=√(0-4)+(2-3)= 12..C、D两点到直线l的距离之和的最小值是12. √I7.设直线DF的函数表达式为y=kx十b,将 3=4k+b, 点D(4,3)、F(0,2)代人，得 解得 =子， b=2, b=2, ∴直线DF的函数表达式为y=子x十2.：P是抛物 图1 图2 线C,与直线DF的交点子r+1=}x+2,解得 练习4根据二次函数图像解决问题 (1)(一2,0)(0，一2)解析：当y1=0时，一x一2= =1一应（舍去），0=1+)亚，点P的坐标为 2 0,解得x=一2，点A的坐标为(-2,0)；当x=0 (1+亚，17牛g严)综上所述，PH+PD的最小值 时，y1=一x一2=一2，点B的坐标为(0，一2). 8 (2)由(1)得顶点A(一2,0)，∴.得该抛物线对应的函 为√7，此时点P的坐标为(1+7,17+√7 数表达式为y2=a(x十2)2，把点B(0,-2)代入，得 a(0十2)2=-2，解得a=一2∴该抛物线对应的函 数表达式为%=-2(x十2.(3)-2<x<0解 析：观察函数图像，当y1<y2时，自变量x的取值范 围是一2<x<0.(4)设点B关于该抛物线的对称轴 2.()一号解析：“抛物线y=k2+2经过(4,0)， 的对称点为B,连接OB,与该抛物线的对称轴的交点 16k+2=0,解得及=一日 即为点P.,点B的坐标为(0，一2)，该抛物线的对称 (2)221010 轴是直线x=一2，∴.B(一4，一2).设直线OB的函 解析：当a=0时，b=2,∴.AO=2,AB=4-2=2;当 数表达式为y=x,把B(一4，一2)代入，得一2= a=8时，b=-6,∴.A0=√62+82=10，AB=4- -4,解得k=∴直线0B的函数表达式为y7 (-6)=10.(3)猜想：AO=AB.证明如下：如图1， 延长BA交x轴于点E.A(a,b)是抛物线y= 当x=一2时，y=-1,.点P的坐标为(-2，一1). (5)若SAAB=SAABP,则点Q在过点P且与直线M= 82+2上的点，A(a,-日a2+2）AE 一x一2平行的直线上，设直线PQ的函数表达式为 42》 y=-x+m,将点P(-2,-1)代入，得-1=-(-2)+ y=-2x-号 解析：由抛物线的表达式知，顶点的 m,解得m=一3，∴.直线PQ的函数表达式为y= 一x一3.又：点Q是抛物线与直线AB的交点， 坐标为(m,-2m-号)设x=m,y=-2m-号，则 -2(x+22=-x-3,解得1=5-1，，= 2x+y=2m+(-2m-）=-号y=-2-号， 一√3-1，∴.点Q的坐标为(3-1，-√3-2)或 即这条直线的函数表达式为y=一2红一号，问题 (-3-1,√3-2).(6)由(1)知，A(-2,0), x一2交x轴于点A,交y轴于点B,则点 2 B(0,-2),∴.OA=OB=2.,△ABC是以AB为直 二：y= 角边的直角三角形，∠BAC=90°或∠ABC=90°. A、B的坐标分别为(3,0)、(0，-2).（1)由问题一知， 设c(m,-2m2-2m-2）.①当∠BAC=90时，如 顶点在y=一2x一名上，则当顶点在直线AB的上方 3 图1，由勾股定理得AC2+AB2=BC,即(m十2)2+ 且在y轴右侧时，点C在Rt△AOB的内部（不包括 (-2m2-2m-2+2+2=m2+(-2m2-2m- 边界)，令-2x一号-号x-2,解得x=司m的取 2十2），整理得m2+6m十8=0，解得m=-2(舍去) 值范围为0<m<7: (2)设平移后抛物线的函数表 或m=-4,当m=-4时，-2m-2m-2=-合× 达式为y=号r+bz+c,将A3,0),B(0,-2)代入， （-4)2-2×(-4)-2=-2,∴.点C的坐标为 (-4,一2)；②当∠ABC=90°时，如图2，由勾股定理 2×32+3b+c=0, 得 解得 3’抛物线的函 c=-2, C= -2, 得AB+BC=AC,即2+2+m+(-2m2 数表达式为y一号-青红一2如图，过点P作PH山 2m-2+2)=(m+2)2+(-2m2-2m-2)°，整理 x轴于点H,交AB于点Q,则PH∥y轴，.∠BQP= 得m2+6m=0,解得m=0(舍去)或m=一6，当m= ∠ABO=∠ABP,∴.PB=PQ.设点P的坐标为 -6时，-7m2-2m-2=-2×(-62-2×(-6)- (,号-等-2，则点Q的坐标为，号-2则 2=一8，点C的坐标为（一6，一8）.综上所述，点C +(号-4-2+2)-（号-音-2-号+2）， 的坐标为(-4，一2)或(-6，一8). 整理得8-11t=0,解得t=0(舍去)或t= 8 ∴点P的横坐标为号 图1 图2 练习5二次函数顶点轨迹问题 1,y=一x一2解析：由题意得，抛物线顶点的坐标 练习6二次函数顶点在x轴上问题 为(3a,-3a-2).设x=3a①，y=-3a-2②，①+ ②，消去a得，x十y=-2,即y=一x一2，∴.各图像顶 1.9 解析：，抛物线y=2x2一6x十m的顶点在 点所满足的函数表达式为y=一x一2.2.问题一：x轴上，∴.b2一4ac=0,即（一6）2一4×2×m=0,解得 《43 m三号、2.-2解析：抛物线y=m2十4z+m 的抛物线的函数表达式为y=(x十1)2一t.:当y=0 时，(x+1)2-t=0,解得x1=-1十E,x2=-1-√E, 的顶点在x轴上，∴.方程mx2+4x十m=0有两个相 等的实数根，∴.b一4ac=0,即42一4m2=0,解得m= ∴.点A、B的坐标分别为（一1一√E,0)、(一1+√E,0), 士2.又.抛物线y=mx2+4x十m开口向下，∴.m< ∴.AB=-1+E(-1-t)=2E.2t≥6，.t≥ 0,.m=一2.3.(1)将二次函数的表达式化为顶 9,至少向下平移9个单位长度，点A、B之间的距 点式为y=(x一t)2+3一t,则顶点为(t,3一t).顶 离不小于6个单位长度.(3)由题意得，平移后的抛 点在x轴上，∴.3-t2=0,解得t=士√3.又.t>0, 物线的函数表达式为y=(x+1)2一m(m>0).:当 t=√3.(2)证明：，点(t,s)在抛物线y=x2 y=0时，(x+1)2-m2=0,解得x1=-1+m,x2= -1-m,∴.点A、B的坐标分别为(-1-m,0)、 2tx+3(t>0)上，∴.s=t-2t2+3=-t2+3,∴.g= (-1+m,0),∴.AB=-1+m-(-1-m)=2m,即 +:=+(-+3)=-++3=-(2-2)+8 n=2m,.w=m2-2m=（m-1)2-1,∴.当m=1时， :-1<0,当=号时，g有最大值，最大值为品， 心最小，最小值是一1. 练习7用待定系数法确定二次函数表达式 ∴g≤是(3)：A(m-2a).C(m,a)都在这个二次 1.A解析：设原抛物线上有一点(xo,yo).将抛物 函数的图像上，又，二次函数y=x2一2tx十3的对称线向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°后， 轴为直线x=,x==m-?十m=m-1.:>0, 点(x0,y)的对应点为（一x0,一y一3）.将点（一xo, 2 -yg-3)代入y=x2+5x+6,得-y0-3=x6 ∴.m一1>0，解得m>1;.m-2<m,∴.点A在对称 5x0十6，.yo=一x8十5x-9,∴.原抛物线的函数表 轴左侧，点C在对称轴右侧.在y=x2一2tx+3中， 令x=0得y=3,∴.抛物线y=x2-2tx十3与y轴交 达式为y=-2+5x-9=-（x-)°-2.当 点为(0,3)，∴.(0,3)关于对称轴x=m一1的对称点 x=2时y=+1=号×2+1=2y=(m-20 为(2m-2,3).b<3,∴.4<2m-2,解得m>3.①当 A(m一2，a)、B(4,b)都在对称轴的左侧时，，y随x 4x十n的图像的顶点坐标为(2,2)，一= 2a 的增大而减小，且a<b,∴.4<m-2,解得m>6,此时 m满足的条件为m>6;②当A(m一2，a)在对称轴的 2(m2=2)=2,解得m=-1,m2=2.:二次函数 -4m 左侧，B(4,b)在对称轴右侧时，a<b,∴.B(4,b)到图像有最高点，a<0,即m2-2<0,.一√2<m< 对称轴x=m一1距离大于A(m一2，a)到对称轴x= √2，.m=-1,y=-x2+4x十n.将点(2,2)代人， m-1的距离，.4-(m-1)>m-1-（m-2),解得 得2=一4十8十n,解得n=一2，.这个二次函数的表 m<4,此时m满足的条件是3<m<4.综上所述，m 达式为y=-x2+4x-2.3.(1)y=ax2+2ax 的取值范围是3<m<4或m>6.4.(1),抛物线 3a=a(x-1)(x+3),.抛物线过点(1,0)、（-3,0)， y=x2十bx十1顶点最初在x轴上，∴.b2-4ac=0,即 .抛物线不过点(1,3)、（一3，一10），∴.抛物线过点 6-4X1×1=0,解得6=士2.又：对称轴x=一号6 （-1,4).把点(-1,4)代入y=a(x-1)(x+3),得 -4a=4,解得a=-1.（2).抛物线过点(1,0)、 位于y轴的左侧，即-名<0，∴6>0,6=2，该抛 (-3,0),.抛物线的对称轴为直线x=一1..当 物线的对称轴为直线x=一1.(2)由(1)知，原抛物 一3<x<0时，y有最小值-4，∴.当x=一1时，y= 线的函数表达式为y=x2+2x+1=(x+1)2.设在最 -4,.a-2a-3a=-4,解得a=1,y=x2+2x- 初的状态下，至少向下平移t个单位长度(t>0),3,抛物线经过点(0，一3)..抛物线向右平移m(m> 点A、B之间的距离不小于6个单位长度，则平移后1)个单位长度，而一1十m>0,.平移后抛物线的对 44>》 称轴在y轴右侧，又平移后图像对应的函数值y在 4(m+1)=0,解得m=子，@当直线y=x+2与抛 一3≤x≤0的范围内有最小值一3，∴.平移后的图像 也经过点(0，一3)，∴.由对称性可得平移前该点的对 物线y=一（x一m)2十3只有一个交点时，一(x 应点为(-2，-3)，.m=2. m)+3=x十2，整理得x2-(2m-1)x十m2-1=0, 练习8二次函数与x轴交点问题 则b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-1)=0,解 1.A解析：函数表达式为y=(x十3)(x一2)，该函 得m=∴当子<m<时，新图像G与直线y= 数为开口向上的抛物线，当y=一4y=一号y=一2 x十2有三个交点. 时，分别对应方程一2(x十3)(x一2)=8、一3(x十 练习9根据二次函数图像解方程 3)(x-2)=8、-4(x十3)(x-2)=8.-4、-3 8 1.C解析：方程x2十x|一a=0的解可以看成函 数y=|x|与函数y=一x2+a2的图像的交点的横坐 一2这三个y值依次增大，函数为开口向上的抛物 标，根据对称性可知，所有实数根之和等于0. 线，其对应的正根x1、x2、x也依次增大，即x1< V x2<x3.2.(1)证明：b2-4ac=(-m)2-4×1× (m-1)=m2-4m+4=(m一2)2≥0，∴.这个二次函 数图像与x轴必有公共点.(2)，当y=0时，x2 -2-1 mx+m-1=0,即(x-m+1)(x-1)=0,.x1=m y=-x2+a2 -21 1,x2=1.由二次函数的表达式知C(0,m一1).当 (第1题) (第2题) m-1>1,即m>2时，A(1,0),B(m-1,0),.BC2= 2.>解析：方程x3一2x2=1的解x=m和方程 (m-1)2+(m-1)2=(3√2)2，解得m=-2(不符合 一x十2=1的解x=n如图所示，由图中m、n在x轴 题意，舍去)或m=4;当m一1<1，即m<2时， 上的位置可知，m>n.3.x=一3解析：点P在 A(m-1,0),B(1,0),.BC2=12+(m-1)2= 两数y=一上，点P的纵坐标为11=-解 x (3√2)2，解得m=1+√17（不符合题意，舍去）或 得x=一3，∴点P的坐标为(-3,1).又函数y= m=1一√17.综上所述，m的值为4或1-√17. -3与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图像交于点P, 3.(1)证明：.b2-4ac=(-2m)2-4×1X(m2+3)= 4m2一4m2-12=-12<0,.不论m为何值，该函数 ax2+bz+3=0的解是x=-3.4.(1)x2-3 工 的图像与x轴没有公共点.(2)y=x2一2mx十 m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图 (2)分别画出双曲线y=一9与直线)=一x十3的图 像沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y= 像，由图像可得，方程6一x十3=0的近似解为x= (x一m)2的图像，它的顶点坐标是(m,0),这个函数 的图像与x轴只有一个公共点，∴.把函数y=x2 -1.4,x2=4.4. 2mx十m2+3的图像沿y轴向下平移3个单位长度后， 得到的图像与x轴只有一个公共点.(3)翻折后所得 图像的函数表达式为y=厂红一m+3(<m, 当 (x-m)2+3(x≥m). 直线y=x十2与抛物线y=x2-2m.x十m2十3只有 一个交点时，x2一2mx十m2十3=x+2,整理得x2 (2m+1)x+m2+1=0,则b2-4ac=(2m+1)2- 《45 练习10用二次函数解决问题(1) 线的函数表达式为y=a(x一1)2十4.又：抛物线过 1.(1)设线段AB的函数表达式为y=kx+b(40≤ 点A(0,3),.3=a十4，解得a=-1,∴.在第一象限 x≤60)，将点(40,300)、(60,100)代入，得 部分的抛物线的函数表达式为y=一(x一1)2十4. 6解得=-10，】 300=40k+b,, (2)当x=2.5时，y=-(2.5-1)2+4=-2.25+ .y=-10x+700(40≤ 100=60k+b,(b=700, 4=1.75<1.8,∴.身高1.8m的张师傅会被淋湿. x≤60)；设线段BC的函数表达式为y=mx十n(60< (3)令y=0,.0=-（x-1)2+4,解得x1=3,x2= 一1（不符合题意，舍去），∴.水池的半径至少为3m, x≤70)，将点(60,100)、(70,150)代人，得 即水池的直径至少为6m时，才能使喷出的水流都 60m十n=100 解得m二5， .∴.y=5x-200(60< 落在水池内.2.（1)由题意，得 6 70m+n=150, (n=-200, =4， x≤70).综上所述，y与x之间的函数表达式为y= 2x(-2) 一10x+700(40≤x60), (2)设商家所获利润为 6=4,…抛物线的函数表达式为y=一2x2十4x, 5x-200(60<x≤70). w元.①当40≤x≤60时，w=(x-30)(-10x+ .当x=4时，y=一 C7×42+4X4=8,即m=8. 700)=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+ y=- 7x2+4x, 4000,-10<0,.当x=50时，w有最大值，最大 (x=0, (2)由题意，得 解得 或 值为4000；②当60<x≤70时，w=(x-30)(5x y=0 y 2℃， 200)-150(x-60)=5x2-500x+15000=5(x-50)2+ x=7, 2500,,当60<x≤70时，w随x的增大而增大， “点A的坐标为(1,2)： (3)由题意，当 .当x=70时，w有最大值，最大值为5×(70-50)2+ y 2 2500=4500.,4500>4000,∴.当售价为70元/件 。1 x=6时，代入y=2x,得y=3;当x=6时，代入y= 时，该商家所获利润最大，最大利润为4500元. 2.(1)根据题意，得y=300一10(x一44)=-10x+ 7+4x,得y=6.3+2=5,且5<6，小 740且44≤x≤52，∴.y与x之间的函数关系式为y= 飞过这棵树 -10x十740(44≤x≤52).(2)根据题意，得w= 练习12二次函数中的面积问题 (-10x+740)(x-40)=-10x2+1140x-29600= 1.(1)将点B(3,0)、C(0,3)代入y=-x2+bx+c, -10(x-57)2+2890,-10<0,.当x<57时， -9+3b+c=0, w随x的增大而增大，又44≤x≤52，∴.当x=52 少=2：这个二次函数的表 解得 (c=3, (c=3, 时，w有最大值，最大值为一10×(52-57)2+2890= 达式为y=一x2+2x十3.(2)如图1，过点P作 2640,∴.将纪念品的销售单价定为52元/件时，商家 y轴的平行线与BC交于点Q.设点P的坐标为 每天销售纪念品获得的利润（元）最大，最大利润是 (x,-x2+2x+3),直线BC的函数表达式为y= 2640元.(3)由题意得每天剩余利润为（一200）元， mx十n.将点B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n得 ,捐款后每天剩余利润不低于2200元，∴.w一200≥ 3m+n=0, 2200,即-10(x-57)2+2890-200≥2200，由 解得m一1， 直线BC的函数表达 1n=3, (n=3, -10(x-57)2+2890-200=2200得x=50或x= 式为y=一x十3，点Q的坐标为(x,一x十3)， 64,:一10<0,44≤x≤52，捐款后每天剩余利润不 低于2200元，.50≤x≤52.答：销售单价x的取值 ∴Sa=Same十Saw=号PQ·OB=2[(-r2+ 范围是50≤x≤52. 2x+3)-(-x+3]×3=-(x-)+留 练习11用二次函数解决问题(2) 1.(1)由题意得，抛物线的顶点为(1,4)，，∴.可设抛物 :-<0,当x=号时，△BPC的面积最大，最大 46》 值为贸，此时，点P的坐标为（号，） 2MN.0B-2×(-+3刘×4=-2a-2r+ 6.:满足S△McB=k(k为常数)的点M有且只有一 个，t=2,∴点M的坐标为(2,4). B 图1 图2 (3)存在.如图2，连接PP'交CO于点E.若四边形 练习13黄金分割 POP'C是菱形，则OP=PC,∴.PE⊥OC,OE=CE= 1C解折：周俊与%阁像交于点卫瓷-器， 多.设点P的坐标为，-2+2x+3),则-2+2x+ ∴.BC=AC·AB,∴.对图1来讲，C刚好是黄金分割 3-号解得西-2+-2（不特合题高 2 点，BC=52AB.:AB=2,5BC=52×2 2 含去点P的坐标为(2叶，》：2.1)令 √5-1，∴x=√5-1，∴.点P所对应的x值为√5-1. 2.12-4√5解析：△ABC是黄金三角形，AB= x=0,则y=2,.C(0,2),.OC=2;OB=4, 8,BC=5,1AB=5,1×8=45-4. 2 2 ∴B4,0),将B(4,0)代入y=ar2+8x十2，解得 :△BDC是黄金三角形，DC=5,lBC=-5-1× 。=一抛物线的函数表达式为y=一子2十 2 2 (4√5-4)=12-4√5.：△DEC是黄金三角形， 号x十2。(2)令y=0,即-子+号x+2=0,解得 .DE=DC=12-45.3.(1)(105-10)解析： x=4或x=-弓“A(-号0小将原抛物线的函数 A-5,1,AC=20cm,∴.AB=(105-10)cm. AC2 (2)证明：如图，延长CG交DA的延长线于点J.由 表达式改为顶点式为y=一 (x-+是向 折叠可知，∠BCG=∠ECG.:AD∥BC,.∠J= 左移动m个单位长度，使抛物线与△ABC的边有且 ∠BCG=∠ECG,∴.JE=CE.由折叠可知，E、F分别 只有一个交点，∴.平移后的抛物线经过点A, 为边AD、BC的中点，∴.DE=AE=10cm.由正方形 的性质得，∠D=90°.在Rt△EDC中，由勾股定理得 ：-引-号-号+m)+铝-0，解得m=0(含去)或 CE=√D+CD=√102+20=10W5(cm),∴.JE ,(3)设直线BC的函数表达式为 105 cm,.'.AJ=JE-AE=(105-10)cm..'AJ// 3 y=nx+b,将B(4,0),C0,2)代入，得+6=0， 解得 BC△AGJ△BcC,∴2C-=1D5.10- 20 b=2, 1 常。學能器6是 2AB5-1十2 n=一2'直线BC的函数表达式为y=一x十2. 线段AB的黄金分割点. b=2, D 如图，过点M作MN⊥x轴，交直线BC于点N,设 M,-+受+2则N4,-2+2)…MN= 4+号4+2+4-2=-+3,Sem= 《47