广州市第九十七中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省广州九十七中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面的图形中不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是(    ) A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 3.下列四个图形中，线段BE是的高的是(    ) A. B. C. D. 4.在中，已知的三个内角之比为1：2：3，则这个三角形的形状为(    ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 5.如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定≌的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，点O是的重心，若的面积为16，那么阴影部分的面积之和为(    ) A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 7.如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知，点C，D分别在OA，OB上，进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，于点D，点E为AC中点，AD与BE交于点F，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，AD是的中线，点E在AD上，BE交AC于点F，若，，，则EF的长度为(    ) A. 2 B. C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则        12.如图，在中，，，D、E分别在AB、AC上，连接DE，若，则        13.如图，在中，，，若，则        . 14.如图，在中，，，把沿MN折叠，点A与AC上的点D重合，则        15.如图，直角坐标系中，的顶点A，B分别在坐标轴上，且，，若点A、B的坐标分别为、，则点C的坐标为      . 16.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知，设的面积为S，的面积为，的面积为，则的值为        . 三、解答题：本题共9小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题9分 如图，，，垂足分别为C，D，求证： 18.本小题9分 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点A，C的坐标分别为， 请根据已知条件在图中画出平面直角坐标系，并作出关于y轴对称的； 写出点的坐标. 19.本小题10分 如图，在中，CD为的高，AE为的角平分线，CD交AE于点G，，，求的度数． 20.本小题10分 如图，于E，于F，若， 求证：AD平分； 已知，，，求的面积. 21.本小题12分 如图，在中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且，连接 求证：； 若的周长为38cm，，求DC的长. 22.本小题12分 如图，在中，，D为线段CB上一点不与C，B重合，点E为射线CA上一点，，设， 若，，求与的值. 请判断与的数量关系，并说明理由. 23.本小题12分 如图，已知，，BD平分交AC于D，于E，于F，交BD于 尺规作图，在AB上求点M，使得；保留作图痕迹，不写作法 证明：； 在的条件下，求证：点M、G，C三点共线. 24.本小题14分 已知，点P在内. 如图1，点D关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接OG、OH、OD、 ①若，证明是等边三角形； ②如图2，若，请根据已知补全图形，并判断GH与OD的数量关系，请说明理由； 如图3，若，A、B分别是射线OM、ON上的点，于点B，点P、Q分别为OA、AB上的两个定点，且，，在OB上有一动点E，连接PE、QE，请求出当点E在什么位置时，的值最小. 25.本小题14分 【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，且，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系. 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长FD到点G，使，连接AG，先证明≌，再证明≌，可得出结论______. 【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由. 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达M，N处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离. 【灵活变通】如图4，已知在四边形ABCD中，，，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选： 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】B  【解析】解：由三角形三边关系定理得到：， ， 的值可能是 故选： 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 本题考查三角形三边关系，关键是掌三角形三边关系定理． 3.【答案】A  【解析】解：线段BE是的高的是选项A中的图形； 故选： 利用三角形高的定义即可求解． 此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 4.【答案】C  【解析】解：设三角形的三个内角分别是k，2k， 根据三角形的内角和定理，得， 解得 三个内角分别是，， 该三角形是直角三角形． 故选： 设三角形的三个内角分别是k，2k，根据三角形的内角和是，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形． 5.【答案】C  【解析】解：， A、，，，，故该选项不符合题意； B、，，，，故该选项不符合题意； C、添加，无法判断≌，故该选项符合题意； D、，，，，故该选项不符合题意； 故选： 分别判断选项所添加的条件，再根据三角形全等的判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS进行判断即可． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6.【答案】C  【解析】解：延长CF到H，是，连接AH，BH，如图所示： ， 点O是的重心， ，BE，CF是的中线， ，，， 在四边形AOBH中，，， 四边形AOBH是平行四边形， ， 即， 又， 是的中位线， ， 的OF边上的高与的边OC上的高相同， ， 设，则， 同理：， ， ， ， 同理：，， ， ， ， ，阴影部分的面积之和为3a， 又的面积为16， ， ， 阴影部分的面积之和为 故选： 延长CF到H，是，连接AH，BH，则，证明四边形AOBH是平行四边形得，进而得OE是的中位线，则，由此得，设，则，同理，则，再根据，，得，则，阴影部分的面积之和为3a，由此得，则，由此即可得出答案． 此题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，理解等底或同底同高或等高的两个三角形的面积相等，同高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：的垂直平分线交AB于点D，， ， ， ， ， ， 故选： 由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数，再由三角形外角的性质以及等腰三角形的性质求出，由三角形内角和定理即可得到答案． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握其相关知识点的性质是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：由题意可知：OP平分，， ， ， ， 所以的度数为， 故选： 根据作图可知，再根据即可求出结论． 本题考查了作图-基本作图及等腰三角形的判定与性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握． 9.【答案】D  【解析】解：，E是AC的中点， 平分， ， ， ， 故选： 由等腰三角形的性质推出BE平分，求出，由直角三角形的性质即可求出的度数． 本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出BE平分 10.【答案】A  【解析】解：如图，延长AD，使，连接BG， 是的中线， ， 又，， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 故选： 延长AD，使，连接BG，由“SAS”可证≌，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求EF的长． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 11.【答案】47  【解析】解：由题意得，边b、c的夹角为， 图中两个全等三角形， ； 故答案为： 根据三角形的内角和定理和全等三角形的对应角相等，进行求解即可． 本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 12.【答案】55  【解析】解：在中，， 是直角三角形， ， 故答案为： 根据直角三角形两锐角互余即可解答． 本题考查余角，关键是判断出三角形ABC的形状． 13.【答案】6  【解析】解：过A作于E， ，， ，， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， 故答案为： 根据，进而得出，利用三角形内角和得出，利用含角的直角三角形的性质解答即可． 此题考查含角的直角三角形的性质，关键是利用含角的直角三角形的性质解答． 14.【答案】70  【解析】解：，， ， 由折叠性质可知， ， ， 故答案为 由折叠性质可知，， 本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，过C作轴于点D， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 点C坐标为， 故答案为： 过C作轴于点D，由，可得，从而证明≌，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点C在第四象限即可求解． 此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 16.【答案】  【解析】解：由折叠可知≌， ， ， ①， 过E作于H，交BA的延长线于M， ，， ， ， ， ②， ①-②得，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 由折叠性质可得①，过E作于H，交BA的延长线于M，由三角形面积公式得②，①-②得，，然后由三角形的和差倍分可得答案． 此题考查翻折变换折叠问题，三角形的面积，正确添加辅助线是解决此题关键． 17.【答案】证明：，， ， ，， ≌，   【解析】证明：，， ， ，， ≌， 依据AAS判定≌即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键． 18.【答案】  点的坐标为  【解析】解：如图，平面直角坐标系和即为所求． 由图可得，点的坐标为 根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系，根据轴对称的性质作图即可． 由图可得答案． 本题考查作图-轴对称变换、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 19.【答案】解：是的高， ， 平分，， ，   【解析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用三角形内角和定理解决问题． 利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，可得结论． 20.【答案】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分    【解析】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； 解：，，， ， ， ， ， 的面积 证明，得，再由角平分线的判定即可得出结论； 由勾股定理求出，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】证明：垂直平分AC， ， ，， ，     【解析】证明：垂直平分AC， ， ，， ， ； 解：的周长为38cm， ， ， ， ，， 根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； 根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 22.【答案】，    【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 设，根据三角形内角和：， 设，根据三角形内角和：， ， ， 即， ， 先根据角的和与差求的值，根据等腰三角形的两个底角相等及顶角为，，利用外角的性质可以求出； 设，利用三角形的内角和，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出两角的关系． 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是关键，知道顶角的度数可以表示两个底角的度数，同时运用了类比的方法解决三个问题 23.【答案】如图，点M即为所求;  平分，，， ，， ，， ，， ， ，   连接CG， 平分， ， ，， ≌， ，， ， ≌， ， 又，， ， ， 又、G、F三点共线， ， ， 即点M、G，C三点共线  【解析】解：根据题意，要使，即保证，再利用尺规作图即可，如图，点M即为所求； 证明：平分，，， ，， ，， ，， ， ， ； 解：连接CG， 平分， ， ，， ≌， ，， ， ≌， ， 又，， ， ， 又、G、F三点共线， ， ， 即点M、G，C三点共线． 根据题意，要使，即保证，再利用尺规作图即可； 根据“角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，由，，结合平角与对顶角的性质，可推出，因为，所以，三角形中等角对等边； 由题可证得，，继而证得≌，再通过证明即可求解． 本题主要考查尺规作图，三角形全等的判定与性质，熟悉相关知识的运用是解题的关键． 24.【答案】①是等边三角形， 点P关于OM对称的点为G， ，， 同理，， ， ， ， 是等边三角形， ②， 当时，， 、O、H在同一直线上，， ，     【解析】解：①是等边三角形， 点P关于OM对称的点为G， ，， 同理，， ， ， ， 是等边三角形， ②， 当时，， 、O、H在同一直线上，， ， ， 过Q作ON的对称点，连接，交ON于点E，连接QE， 则的最小值为， ，， ， ，， ， ， ， 点Q与关于ON对称， ， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为 ①由轴对称的性质可得，，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形； ②由①知，因此时，，即G、O、H在同一直线上，由此可得GH与OP的数量关系； 过Q作ON的对称点，连接，交ON于点E，连接QE，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 本题主要考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 25.【答案】  【解析】解：【初步探索】如图1，延长FD到点G，使，连接AG， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 故答案为：； 【探索延伸】仍成立，理由如下： 如图2，延长FD到点G，使，连接AG， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 【结论运用】连接MN，延长AM、BN交于点C，如图3， ，， ， ，， 在四边形OACB中：，且， 四边形OACB符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【灵活变通】结论： 理由：如图4，在DC延长线上取一点G，使得，连接AG， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点F在CD的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， 【初步探索】延长FD到G，使，连接AG，先证明≌，再证明≌，则可得到结论； 【探索延伸】延长FD到G，使，连接AG，证明≌，再证明≌，则结论可求； 【结论运用】连接EF，延长AE、BF交于点C，利用已知条件得到：四边形OABC中：，且，符合【探索延伸】具备的条件，则 【问题发现】在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $