第01讲 变量与函数（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第01讲 变量与函数 知识点1：函数的定义 知识点2：自变量的取值范围和函数值 知识点3：函数图像 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 【题型1 自变量与常量】 【典例1】球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是， B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【变式1】小明的爸爸到单位附近的加油站加油，如图1所示的是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的自变量是（    ） A．数量 B．单价 C．金额 D．金额和数量 【变式2】在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【变式3】某居民小区电费标准为0.6元／千瓦时，收取的电费（元）和所用电量（千瓦时）之间的关系式为，则其中的常量是（    ） A． B． C． D．和 【题型2 函数的概念】 【典例2】下列各图中表示y是x的函数的是（　  　　） A．B．C． D． 【变式1】下列四个图象中，能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下图中所反映的两个量中，y是x的函数的有几个？（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】下列式子中不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0； 【题型3 求自变量的取值范围或函数值】 【典例3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式3】函数的定义域是 ． 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 【题型4 函数的三种表示方法】 【典例4】为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速v（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s（m） 0 2.0 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．s随v的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是20m D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为30m 【变式1】一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 45 40 35 30 … A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水10后，水池中的水全部放完 D．放水5后，水池中还有水20m 【变式2】梦想从学习开始，事业从实践起步，近来较多的人每天登录“学习强国”，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．当学习天数为5天时，周积分为254分 D．学习天数每增加1天，周积分的增长量相同 【变式3】某同学统计了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）：下列说法错误的是（   ） 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化过程中，声速是温度的函数 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【题型5 函数解析式】 【典例5】小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（    ） A． B． C． D． 【变式1】某公交车每天的支出费用为元，票价为元人，设每月有人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为元． (1)若一个月按天计算，求与之间的关系式； (2)当时，求值； (3)请直接写出当每月乘客量最少达到多少人时，该公交车才不会亏损？ 【变式2】通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【变式3】水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 漏水量 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： (1)结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式________（不要求写自变量的取值范围）； (2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为多少mL． 【题型6 从函数的图象获取信息】 【典例6】如图，图象（折线）描述了汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（    ） A．第3分钟时汽车的速度是40千米/时 B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时 C．从第6分钟到第9分钟，汽车行驶了180千米 D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 【变式1】人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．小米的速度为 B．小华提速后的速度为 C．小米比小华先出发 D．小华比小米提前到达客人位置 【变式2】2020年1～4月某品牌汽车的月销量情况如图所示，则下列说法错误的是（    ）． A．1月份销量为2.2千辆 B．1～4月该品牌汽车销量逐月增加 C．4月份销量比3月份增加了1千辆 D．从2月到3月的月销量增长最快 【变式3】一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了千米，设行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中与之间的函数关系，根据图像提供的信息，以下选项中错误的是（    ） A．甲乙两地的距离为千米 B．点的实际意义是轿车出发小时后到达乙地 C．轿车的速度为千米小时 D．货车的速度为千米小时 【题型7 动点问题的函数图象】 【典例7】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【变式1】如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【变式3】如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 1．下列函数图象中，能表示函数图象的是（    ） A．B．C．D． 2．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 3．一种英语本每本2元，买x本共付y元，则x和y的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 5．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 6．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 7．甲、乙两车沿相同的路线由地到地匀速前进，两地间的路程为．它们前进的路程为，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．甲车比乙车晚出发 D．甲车速度比乙车速度快 8．等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 9．如图，、分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s和t分别表示运动的路程和时间．根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 米． 10．汽车行驶时，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系为，从关系式可知这辆汽车加满油后最多可行驶 h． 11．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（里）关于行走时间t（日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发日；②良马出发日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快里/日．其中正确的是 ．（请填写序号） 12．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是 分钟． 13．弹簧挂上物体后会伸长，已知在弹性限度内，一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 10 弹簧的长度 12      13      14      … 17 根据表中信息分析，当物体的质量为时，弹簧的长度为 14．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 变量与函数 知识点1：函数的定义 知识点2：自变量的取值范围和函数值 知识点3：函数图像 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 【题型1 自变量与常量】 【典例1】球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是， B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量和变量，解题的关键是熟练掌握常量和变量的定义． 根据变量和常量的定义，变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量，在球的体积公式中，体积M和半径R是变量，而常数系数是常量． 【详解】解：∵ 公式 中，M和R的值随球的大小变化而变化， ∴M和R是变量； ∵ 和π是固定不变的数值， ∴ 它们是常量。 因此，变量是M、R，常量是， 故选：A． 【变式1】小明的爸爸到单位附近的加油站加油，如图1所示的是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的自变量是（    ） A．数量 B．单价 C．金额 D．金额和数量 【答案】A 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键，根据常量与变量的意义，即可解答． 【详解】解：小明的爸爸到单位附近的加油站加油，如图所示的是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的自变量是数量，因变量是金额，常量是单价， 故选：A． 【变式2】在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 【变式3】某居民小区电费标准为0.6元／千瓦时，收取的电费（元）和所用电量（千瓦时）之间的关系式为，则其中的常量是（    ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，0.6是常量． 故选：B． 【题型2 函数的概念】 【典例2】下列各图中表示y是x的函数的是（　  　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的概念，由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，因此D选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 故选：D． 【变式1】下列四个图象中，能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念．对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，根据函数的概念即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：C对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， 其中A，B，D选项中的图，对于自变量x的某个值，y不都有唯一的值与之相对应，不符合函数定义，不符合题意； ∴能表示y是x的函数是C选项的图象． 故选：C． 【变式2】下图中所反映的两个量中，y是x的函数的有几个？（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，解题的关键是熟练掌握函数的定义． 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，逐个进行判断即可． 【详解】解：根据函数的定义得，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 符合题意的有（1）（2）（3）（5）共4个， 故选：B． 【变式3】下列式子中不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数，由函数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、对于，给定一个的值，计算能得到唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； B、对于，任意给定一个的值，的结果唯一确定，有唯一值对应，所以是的函数，不符合题意； C、对于，在（即的范围内，给定一个的值，能得出唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； D、对于，当取一个非正数的值时（因为右边，比如，则，，即一个值对应两个值，不满足函数定义中“有唯一确定值对应”的要求，所以不是的函数，符合题意． 故选：D． 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0； 【题型3 求自变量的取值范围或函数值】 【典例3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了自变量的取值范围，分母不为0，根据分母不为0，进行列式计算得，故，即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴， 故选：B 【变式1】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 【变式2】函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和求函数自变量的范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不能为零，得，可得答案． 【详解】解：当时，有意义， ， 解得． 自变量x的取值范围是． 【变式3】函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数的定义域及其求法，由分式的分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：函数的定义域是，即， 故答案为：． 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 【题型4 函数的三种表示方法】 【典例4】为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速v（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s（m） 0 2.0 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．s随v的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是20m D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为30m 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的距离，根据表格数据逐一判断即可． 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从（对应）开始，每增加，增加，，对应个间隔，刹车距离增加，总刹车距离为，选项C为，错误，符合题意； D：同理计算：，对应个间隔，刹车距离增加，总刹车距离为，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 45 40 35 30 … A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水10后，水池中的水全部放完 D．放水5后，水池中还有水20m 【答案】D 【分析】本题考查函数的应用，提取表格数据反应的信息是求解本题的关键． 根据表格中放水时间与水量变化的关系，确定放水速度，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：放水时间影响水量变化，时间为自变量，水量为因变量，正确． 选项B：由表格数据，每分钟水量减少，故每分钟放水，正确． 选项C：总水量，每分钟放水，放完需，正确． 选项D：放水后，剩余水量为，但选项D中为，错误． 故选：D． 【变式2】梦想从学习开始，事业从实践起步，近来较多的人每天登录“学习强国”，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．当学习天数为5天时，周积分为254分 D．学习天数每增加1天，周积分的增长量相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，用关系式表示变量之间的关系，正确读懂表格是解题的关键．根据表格所给的数据，结合因变量与自变量的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，说法正确，不符合题意； B、由表格中的数据可知周积分随学习天数的增加而增加，说法正确，不符合题意； C、由表格中的数据可知当学习天数为5天时，周积分为254分，说法正确，不符合题意； D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同（增长分别为55，50，40，54，46，50），说法不正确，符合题意； 故选D． 【变式3】某同学统计了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）：下列说法错误的是（   ） 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化过程中，声速是温度的函数 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．从图表中获取相应的信息是解题的关键．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，在这个变化过程中，声速是温度的函数，原说法正确，故选项不符合题意； B、根据数据表，可得温度越高，声速越快，原说法正确，故选项不符合题意； C、，当空气温度为时，内声音可以传播，原说法错误，故选项符合题意； D、∵， ∴当温度每升高，声速增加，原说法正确，故选项不符合题意； 故选：C． 【题型5 函数解析式】 【典例5】小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合路程=速度时间列方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 【点睛】本题考查利用函数的表示解实际问题，读懂题意，准确利用表达式表示函数关系是解决问题的关键． 【变式1】某公交车每天的支出费用为元，票价为元人，设每月有人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为元． (1)若一个月按天计算，求与之间的关系式； (2)当时，求值； (3)请直接写出当每月乘客量最少达到多少人时，该公交车才不会亏损？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求函数解析式，求函数值、一元一次不等式的应用，根据题意写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据题意，每月收入与支出的差额为元，列出关系式，即可求解； （2）将代入（1）的关系式，即可求解； （3）根据题意可得得，即，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 与之间的关系式为． （2）当时， （3）根据题意，得，即， 解得． 答：每月乘客量最少达到人时，该公交车才不会亏损． 【变式2】通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【答案】(1)随着的升高，在降低 (2)3 (3)， 【分析】本题主要考查函数的表格表示法的识别能力，函数的表示法有：解析式法，图象法，表格法，都需要熟悉并熟练掌握． （1）根据表格数据，距离地面越远，温度越低，所以随着h的升高，t在降低； （2）根据表格求解即可； （3）根据规律，高度每升高1千米，温度降低求解即可． 【详解】（1）解：随着的升高，在降低． （2）解：由表格可知，当高空温度是，此时距离地面3千米． （3）解：∵根据表格可得，高度每升高1千米，温度降低， ∴， 当千米时，℃； 【变式3】水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 漏水量 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： (1)结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式________（不要求写自变量的取值范围）； (2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为多少mL． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察表格数据特点即可求解； （2）由（1）即可求解． 【详解】（1）解：观察表格可得：漏水量是时间的3倍， 故解析式为 ， 故答案为： （2）解：一天的漏水量约为． 【点睛】本题考查根据表格列函数解析式．仔细观察数据特点是解题关键． 【题型6 从函数的图象获取信息】 【典例6】如图，图象（折线）描述了汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（    ） A．第3分钟时汽车的速度是40千米/时 B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时 C．从第6分钟到第9分钟，汽车行驶了180千米 D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 【答案】C 【分析】本题考查函数图象与行程问题． 根据函数图象中的信息，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．第3分时汽车的速度是40千米/时，原说法正确，不符合题意； B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时，原说法正确，不符合题意； C．从第6分钟到第9分钟，平均速度小于60千米/时，汽车行驶的路程小于180千米，原说法错误，符合题意； D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．小米的速度为 B．小华提速后的速度为 C．小米比小华先出发 D．小华比小米提前到达客人位置 【答案】A 【分析】本题考查了函数图像的应用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：由图像可知，小米的图像从开始，小华的图像从开始， 所以小米比小华先出发，故C选项错误，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴小华提速前的速度是， ∵小华出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小华提速后的速度为，故B选项错误，不符合题意； ∴提速后小华行走所用时间为， ∴， ∴， ∴小米的速度为，故A选项正确，符合题意； ∵，， ∴小华比小米提前到达客人位置，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】2020年1～4月某品牌汽车的月销量情况如图所示，则下列说法错误的是（    ）． A．1月份销量为2.2千辆 B．1～4月该品牌汽车销量逐月增加 C．4月份销量比3月份增加了1千辆 D．从2月到3月的月销量增长最快 【答案】B 【分析】本题主要考查对统计图的观察与分析，需要根据统计图中给出的数据，对每个选项逐一进行判断． 【详解】解：由图可知，1月份销量为2.2千辆，故A项正确； 1～2月该品牌汽车销量减少，2～4月该品牌汽车销量逐月增加，故B项错误； 4月份销量比3月份增加了（千辆），故C项正确； 从2月到3月的月销量增长由图可知增长最快，故D项正确． 故选：B 【变式3】一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了千米，设行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中与之间的函数关系，根据图像提供的信息，以下选项中错误的是（    ） A．甲乙两地的距离为千米 B．点的实际意义是轿车出发小时后到达乙地 C．轿车的速度为千米小时 D．货车的速度为千米小时 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，通过图象获取信息即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、甲乙两地的距离为（千米），原选项正确，不符合题意； 、点的实际意义是轿车出发（小时）后，到达乙地，原选项正确，不符合题意； 、∵两车相遇时轿车比货车多行驶了千米， ∴轿车速度比货车速度多（千米小时）， ∵轿车速度与货车速度和（千米小时）， ∴轿车的速度为千米小时，货车的速度为千米小时，选项不正确，符合题意； 、同理可得，选项正确，不符合题意； 故选：． 【题型7 动点问题的函数图象】 【典例7】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象问题与三角形面积的求法等知识点，要求学生能够根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可分别得处的值，进而可得的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 【变式1】如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题和坐标系．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即， 解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段， ， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，，可得；当时，的值最小，可得的值；由图象可知的最大值为4，据此即可求解． 【详解】解：由图②知：当，P和A重合，则， 当时，y最小，最小值为n，此时，， ∴， 当时，P和C重合，则， 过点B作， ∴，， ∴， 故答案为：；． 【变式3】如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 【答案】(1)x，y (2)16 (3)的长为8，梯形的面积为26 (4)3或 【分析】（1）依据点P运动的路程为x，的面积为y，即可得到自变量和因变量； （2）直接观察图2，即可解答； （3）根据图象得出的长，以及此时面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可； （4）当点P在边上时，直接由三角形的面积公式列方程求解；当点P在边上时，由函数图象求得随变化的规律，进而由面积列出关于x的方程求解便可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y； 故答案为：x；y （2）解：由图2得：当时，； 故答案为：16 （3）解：由图象得：当时，点P运动到点C， ∴， ∴，即， ∴， 由图象得：当时，点P运动到点D， ∴， ∴， ∴的长为8，梯形的面积为26； （4）解：当点P在边上时，， 解得：； 当点P在边上时，由图象得：y随x增大而匀速减小，且x每增加1，y则相应减小， 当时，有， 解得：， 综上所述，当的面积为12时，点P运动的路程为3或． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键． 1．下列函数图象中，能表示函数图象的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案． 【详解】解：A选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意； C选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D符合题意， 故选D． 2．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 3．一种英语本每本2元，买x本共付y元，则x和y的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列关系式． 根据总价单价数量，每本2元，买x本，总价y元，因此． 【详解】解：∵单价为2元，数量为x本， ∴总价． 故选：C． 4．食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 【答案】D 【分析】本题考查了常量与变量，根据表格数据，时间与油温都是变量，且初始温度为；温度随时间的变化呈线性关系，每秒升高，因此加热到秒时预计温度为；但由于食用油有沸点，温度不会无限升高，因此油温不会持续升高，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由从表格数据可知，时间和油温都在变化，原选项正确，不符合题意； 、当时，，原选项正确，不符合题意； 、∵温度变化率恒定，每秒升高，即每秒升高， ∴当时，，原选项正确，不符合题意； 、由与食用油的沸点一般都在以上，温度达到沸点后不再升高，原选项错误，符合题意； 故选：． 5．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 6．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 7．甲、乙两车沿相同的路线由地到地匀速前进，两地间的路程为．它们前进的路程为，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．甲车比乙车晚出发 D．甲车速度比乙车速度快 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据速度等于路程除以时间，结合函数图象可求出甲、乙两车的速度，据此可判断A、B、D，根据函数图象可判断C． 【详解】解：A、由函数图象可知，甲车的速度是，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，乙车的速度是，原说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，甲车比乙车早出发，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴甲车速度比乙车速度慢，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一次函数关系式，弄清量之间的关系是解题的关键． 根据等腰三角形的周长公式求出底边长，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为36，腰长为x， ∴底边长为， ∵， ∴ ∴底边y与腰长x的函数关系式是． 故答案为: 9．如图，、分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s和t分别表示运动的路程和时间．根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 米． 【答案】3 【分析】本题考查了函数图像，从函数图像中正确获取信息是解题关键．根据函数图像可得学生甲用6秒跑了42米，学生乙用6秒跑了米，利用速度等于路程除以时间分别求出他们的速度，由此即可得． 【详解】解：由函数图像可知，学生甲的速度为（米/秒）， 学生乙的速度为（米/秒）， 则快者的速度比慢者的速度每秒快（米）， 故答案为：3． 10．汽车行驶时，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系为，从关系式可知这辆汽车加满油后最多可行驶 h． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据题意，得，则，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴令时，则， ∴解得， 故答案为：． 11．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（里）关于行走时间t（日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发日；②良马出发日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快里/日．其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查函数图象信息的获取，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据图象分析良马和劣马的出发时间、相遇时间和速度差异，分别判断各说法的正确性． 【详解】①由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第日出发，劣马比良马早出发日，该说法正确； ②由图象可知，当时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发日，该说法错误； ③良马行走里用了日，故良马的速度为（里/日），劣马行走里用了日，故劣马的速度为（里/日），由此可知，良马的速度比劣马的速度快里/日，该说法正确； 故答案为：①③． 12．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是 分钟． 【答案】37.2 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象求出上坡和下坡的速度是解题的关键． 根据函数图象结合速度＝路程÷时间求出小明上坡和下坡的速度，然后根据时间＝路程÷速度求出小明从学校骑车回家的时间即可． 【详解】解：由函数图象可知上坡的速度为（百米/分）， 下坡的速度为（百米/分）， ∴小明从学校骑车回家的时间为（分钟）． 故答案为：37.2 13．弹簧挂上物体后会伸长，已知在弹性限度内，一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 10 弹簧的长度 12      13      14      … 17 根据表中信息分析，当物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】 【分析】观察表格可得所挂物体的质量增加，弹簧的长度就增加，再据此列式计算即可． 本题考查表格法表示变量之间的关系，解题的关键是观察表格得到所挂物体的质量增加，弹簧的长度就增加 【详解】解：观察表格可知，所挂物体的质量增加，弹簧的长度就增加， ， 当物体的质量为时，弹簧的长度为； 故答案为： 14．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】/④① 【分析】本题考查了函数图象获取信息，从函数图象获取信息是解题的关键： 看图象中轿车初始距甲地的距离，确定①正确．用货车行驶全程的路程除以总时间，得速度，故②错误． 先算相遇时间，再减去轿车行驶的时间，得休息，所以③错误．分别算出货车、轿车（行驶用时+休息）的时间，作差得，故④正确． 【详解】①由图象知轿车初始距甲地，故甲乙两地相距，正确． ②货车行驶，速度为，错误． ③相遇时货车行驶，用时；轿车行驶用时，休息时长为，错误． ④货车行驶全程用，轿车行驶全程（含休息）：行驶需，休息，总用时，，正确． 正确结论序号为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $