第01讲 分式及其基本性质（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第01讲 分式及其基本性质 知识点1：分式的相关概念 知识点2：分式的基本性质 知识点3：分式通分 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【题型一 分式的定义】 【典例1】下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即分母中含有字母的式子是分式． 根据分式的定义，对每个选项进行分析判断． 【详解】A、的分母是常数3，不含有字母，所以它是整式，不是分式； B、的分母是字母，符合分式的定义，所以它是分式； C、的分母是常数3，不含有字母，它是整式，不是分式； D、是一个常数，分母是3，不含有字母，它是整式，不是分式． 故选：B． 【变式1】下列式子是分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式．根据分式的定义求解即可． 【详解】A、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意； B、，分子分母均为整式且分母中含有字母，是分式，符合题意； C、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意； D、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意． 故选：B． 【变式2】在式子：，，，中，分式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：在式子：，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 【变式3】下列代数式，，，中，分式有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：根据分式的定义，分式有：，， ∴有两个． 故选：C ． 【题型二 分式意义的条件】 【典例2】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 且， 解得：且， 故选：B． 【变式1】若分式有意义，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件即可得出结果． 【详解】解：分式有意义， ， 故答案为：． 【变式2】若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A．， B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：要使代数式有意义，则且， ∴且， 故选：． 【变式3】要使分式有意义，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求得答案． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得：． 故选：C． 【题型三 分式值为零的条件】 【典例3】若分式的值为0，则x的值为（　　） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 且， 解得． 故选：C． 【变式1】若分式的值是，则的值是（  ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】∵分式的值为， ∴且， 解得：， 故选：． 【变式2】若分式的值为0，则a的值为（　　） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 且， 解得：， 故选： C ． 【变式3】已知分式的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．直接利用分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，分析得出答案． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：且， ∴． 故选：B． 1.分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 2.对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 【题型四 分式的性质】 【典例4】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍B．不变C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 【变式1】若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（   ） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的0.1倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式基本性质．依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，得， 即分式的值是原来的10倍，故B正确． 故选：B． 【变式2】根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选；D． 【变式3】如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．保持不变 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍， ∴， ∴缩小为原来的， 故选：B． 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【题型五 分式的约分、最简分式】 【典例5】下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列四个分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】解：A、为最简分式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 【变式2】约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，分子分母同时约去即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3】下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的约分和分式的基本性质，根据分式基本性质进行变形，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不合题意； 故选：C 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 【题型六 分式的通分】 【典例6】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 【变式1】对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 【变式2】在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 【题型七 分式求值】 【典例7】已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】已知，则分式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，设，则，，代入即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】若分式，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，由题干条件找出之间的关系，根据已知条件，将分式整理为，再代入则分式中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 将整体代入分式得 ． 故答案为：． 【变式3】已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式的定义，分子、分母都为整式，且分母中含有字母的式子是分式．逐一检查即可． 【详解】解： A、分母为2，分母中不含字母，故是整式； B、分母为，π为常数，分母中不含字母，故是整式； C、分母为，分母中含字母x和y，故是分式； D、分母为4，分母中不含字母，故是整式． 故选： C． 2．如果分式的值为．那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为需满足分子为且分母不为，据此求解即可． 【详解】解：分式 的值为， 且 ， 解得 ，且 ， 的值为． 故选：A． 3．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 4．把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该（） A．加4 B．减4 C．乘4 D．除4 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分式的值不变．本题中分母乘4，因此分子也需乘4才能使分式的值保持不变． 【详解】解：∵原分式为，分母乘4后变为， ∴要使分式的值不变，分子也需乘4，即分子变为， ∴分子应该乘4． 故选C． 5．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，通过提取分母中的负号，将分式简化即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ 变形后为：， 故选：C． 6．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，直接利用分式的基本性质对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、=，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确； 故选：D． 7．分式、、的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母、平方差公式，首先利用平方差公式分解因式，可得：，再根据最简公分母的找法：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式，据此求解即可． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、， 三个分式的最简公分母为． 故选： C． 8．要使分式 有意义，x满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于0，是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，需满足分母， 解得：． 故答案为：． 9．代数式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解、约分等知识点，掌握分式的约分是解题的关键． 先对分子约分，然后再运用分式的基本性质约分即可． 【详解】解： ． 故答案为． 10．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 根据确定最简公分母的方法求出最简公分母即可． 【详解】解：分式，，的最简公分母是， 故答案为： 11．小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行米，回来时每分钟行米，那么小明来回平均速为 米/分（用含和的式子表达）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，熟练掌握速度路程时间，是解题的关键．设家到学校的路程为单位1，根据速度公式，列出代数式，然后再化简即可． 【详解】解：设家到学校的路程为单位1，则小明来回的平均速度为： （米/分）． 故答案为：． 12．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 13．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的基本性质，以及因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． （1 ）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （2 ）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （3 ）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以x求解即可； （4 ）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以求解即可． 【详解】（1）解：： （2）解：； （3）解：； （4）解：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 分式及其基本性质 知识点1：分式的相关概念 知识点2：分式的基本性质 知识点3：分式通分 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【题型一 分式的定义】 【典例1】下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子是分式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】在式子：，，，中，分式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】下列代数式，，，中，分式有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型二 分式意义的条件】 【典例2】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式1】若分式有意义，则x应满足的条件是 ． 【变式2】若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A．， B． C． D．且 【变式3】要使分式有意义，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型三 分式值为零的条件】 【典例3】若分式的值为0，则x的值为（　　） A． B．0 C．2 D．或2 【变式1】若分式的值是，则的值是（  ） A． B． C． D．或 【变式2】若分式的值为0，则a的值为（　　） A． B．0 C．2 D．2或 【变式3】已知分式的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 1.分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 2.对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 【题型四 分式的性质】 【典例4】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍B．不变C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【变式1】若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（   ） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的0.1倍 D．不变 【变式2】根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．保持不变 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【题型五 分式的约分、最简分式】 【典例5】下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列四个分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 【题型六 分式的通分】 【典例6】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【题型七 分式求值】 【典例7】已知，则代数式的值为 ． 【变式1】已知，则分式 ． 【变式2】若分式，则分式的值为 ． 【变式3】已知，且，则的值为 ． 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．如果分式的值为．那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该（） A．加4 B．减4 C．乘4 D．除4 5．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 6．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．分式、、的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 8．要使分式 有意义，x满足的条件是 ． 9．代数式化简的结果是 ． 10．分式，，的最简公分母是 ． 11．小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行米，回来时每分钟行米，那么小明来回平均速为 米/分（用含和的式子表达）． 12．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 13．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $