第2章 专题强化(二) 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考物理高三一轮总复习高效讲义

该高中物理讲义聚焦高考力学核心考点，系统整合动态平衡问题（图解法、解析法）及平衡中的临界、极值问题，按“类型梳理-方法提炼-真题应用”逻辑架构，通过考点解析、思维延伸、规律总结等环节，帮助学生构建平衡问题解题框架，突破高考难点。 讲义突出科学思维培养，创新采用图解动态矢量图与解析函数关系双法融合教学，如例1通过矢量三角形动态分析力的变化规律，例3对比两种方法强化模型建构能力。设置分层训练与即时反馈，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题强化(二)　动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题 【备考目标】　1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界、极值问题。 强化点一　动态平衡问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用的求解方法有图解法、解析法等。 类型(一) 图解法 (1)应用情境：常用于处理三个共点力作用下的动态平衡问题，特别是其中一个力的大小、方向均不变，而另外两个力在特定约束下变化时。 (2)基本思路：应用时应先画好受力分析图，然后根据平衡条件和力的变化特点作出相应的动态平行四边形或三角形，从边长的动态变化就可以看出力的变化规律。 【例1】 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，下列说法正确的是(　　 ) A．斜面对小球的支持力逐渐增大 B．斜面对小球的支持力逐渐减小 C．挡板对小球的弹力先减小后增大 D．挡板对小球的弹力先增大后减小 解析：选BC。对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2。当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，即FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球的矢量关系图如图所示， 图中FN1方向不变，FN2大小、方向都变，由图可以看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，故B、C正确，A、D错误。 [思维延伸]什么时候挡板对小球的弹力最小？最小值是多少？ 提示：当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，最小值为FN2min＝mg sin α。 类型(二) 解析法 (1)应用情境：常用于处理三个或多个共点力作用下的动态平衡问题，特别是物体所受各力的变化情况比较复杂，相互制约时。 (2)基本思路：应用时首先要分清哪些力是变化的，哪些力是恒定的，并正确引入参数变量(如角度、长度等)，然后利用物体的平衡条件和几何关系，写出力与参数变量之间的函数关系，即可利用数学知识讨论力的变化情况。 【例2】 (2024·浙江五校联盟期末)如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓缓变小，直到∠BCA＝30°。在此过程中，(不计一切阻力)(　　 ) A．钢丝绳上的拉力逐渐增大 B．钢丝绳对滑轮A的作用力变小 C．杆BC对B点的作用力先减小后增大 D．杆BC对B点的作用力变小 解析：选B。对结点B受力分析，由平衡条件可作出力的矢量关系图如图所示， 根据几何关系可知，力的三角形与△ABC相似，所以有＝＝，杆BC对B点的作用力大小为N＝·mg，在∠BCA变小的过程中，因为AC、BC长度不变，所以N不变，故C、D错误；钢丝绳上的拉力大小为T＝·mg，在∠BCA变小的过程中，因为AC不变，AB缩短，所以T减小，故A错误；设滑轮两边钢丝绳的夹角为θ，则钢丝绳对滑轮A的作用力为F＝2T cos ，因为θ变大，T变小，所以F变小，故B正确。 【例3】 (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　 ) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 解析：选AD。方法1：解析法 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上的拉力F2、MN上的拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，力的矢量三角形如图所示， 由几何关系知，图中θ1从0°到90°变化，θ3＝180°－α保持不变，θ2＝α－θ1，再根据正弦定理可得＝＝，推知F1＝·sin θ1，θ1变大时，F1变大，F2＝·sin θ2，当θ2＝α－θ1＝90°时，F2最大，整个过程F2先增大后减小，故A、D正确。 方法2：图解法 在F2转至水平的过程中，由于拉力F1、F2的夹角不变，所以力的矢量三角形在同一外接圆上，作出辅助圆如图所示， 由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，故A、D正确，B、C错误。 [规律方法]分析动态平衡问题的流程 受力分析，了解变化特点画几个不同状态下的受力分析图，构造矢量三角形 强化点二　平衡中的临界、极值问题　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型(一) 平衡中的临界问题 当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述，例如： 物块“刚要打滑”——摩擦力达到最大静摩擦力；轻绳“刚要松弛”——弹力变为零，“恰好断裂”——弹力达到最大值；两物体“刚要分离”——接触面的弹力变为零。 【例4】 如图所示，两根长度均为L＝0.4 m的轻绳，下端结于一点挂一质量为M＝1 kg的物体，两个质量均为m＝0.5 kg的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根轻绳上端系在小环上，整个系统静止。g＝10 m/s2。 (1)求每个小环对杆的压力大小； (2)若小环与杆之间的动摩擦因数μ＝，求两环之间的最大距离。 解析：(1)根据对称性可知，杆对两个小环的支持力大小相等，方向都竖直向上。以两个小环和物体整体为研究对象，则有 2FN＝(M＋2m)g 由牛顿第三定律可知，每个小环对杆的压力大小为 FN′＝FN 解得FN′＝10 N。 (2)小环刚好不滑动时，小环受到的静摩擦力达到最大值，设此时绳的拉力大小为T，与竖直方向的夹角为θ 对M由平衡条件得2T cos θ＝Mg 对m由平衡条件得T sin θ＝μFN 代入数据联立解得θ＝30° 由几何关系可得，两环之间的最大距离为 d＝2L sin θ＝2×0.4×m＝0.4 m。 答案：(1)10 N　(2)0.4 m 类型(二) 平衡中的极值问题 平衡中的极值问题一般是指在力的变化过程中出现的“最大值”和“ 最小值”问题，分析的关键是找出出现极值时的情境和条件。例如：利用极限法将某个变量推向极端(“极大”“极小”等)，从而把隐蔽的临界情境暴露出来；利用数学函数思想寻找极值条件，并确定相应极值等。 【例5】 (2024·福建福州检测)为了移开质量为m的石墩，小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是(　　 ) A. 无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩 B．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 C．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 D．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力 解析：选C。对石墩进行受力分析如图所示， 根据平衡条件可得F cos θ＝μFN，FN＋F sin θ＝mg，联立可得2F(cos θ＋sin θ)＝mg，即F＝，当θ＝时，F有最小值为0.5mg，所以小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力，故C正确。 学科网（北京）股份有限公司 $