专题2.2 切线长定理﹑三角形的内切圆和内心（高效培优讲义）数学浙教版九年级下册

本初中数学讲义聚焦切线长定理、三角形内切圆与内心核心知识点，前承圆的切线性质，后启圆与多边形综合应用，通过定义解析、定理证明、性质归纳搭建学习支架，系统梳理知识脉络。 资料以“即学即练+题型分类”设计，典例与变式结合，培养推理意识与几何直观，融入《测圆海镜》等数学文化题，发展应用意识。课中助教师分层教学，课后供学生强化练习，有效查漏补缺。

专题2.2 切线长定理﹑三角形的内切圆和内心 教学目标 1.理解切线长的定义，掌握切线长定理的内容，能准确表述定理并完成证明； 2.理解三角形内切圆、内心的定义，知道内心是三角形三条角平分线的交点，掌握内心的核心性质； 3.能运用切线长定理、内心性质解决实际问题，如计算切线长、三角形内切圆半径、角的度数等，会作简单三角形的内切圆。 教学重难点 1.重点 （1）切线长定理的内容、证明及应用； （2）三角形内切圆、内心的定义及内心的核心性质； （3）运用切线长定理和内心性质解决基础计算和简单证明问题。 2.难点 （1）切线长定理的证明思路构建； （2）内心性质的综合应用； （3）区分 “三角形内心” 与 “外心”，避免概念混淆； （4）作三角形内切圆的操作细节。 知识点01 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【即学即练】 1．如图，为的内切圆，，，，点D、E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】此题主要是考查了切线长定理．设和圆的切点分别是P，N，M，Q，根据切线长定理得到，，所以的周长即是的值，求解即可． 【详解】解：设和圆的切点分别是P，N，M，Q，设， 根据切线长定理，得，， 则有， 解得：． 所以的周长． 故选：B． 知识点02 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【即学即练】 1．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵中，步，步，， ∴步， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是240步． 故选：B． 2．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 题型01 切线长定理 【典例1】如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 【变式1】如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于 、、是⊙的切线，则，，求出的长即可求出 的长． 【详解】解：∵、为⊙的切线， ∴， ∵、为⊙的切线， ∴ ， ∴． 故选：B． 【变式3】如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据题意可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，继而得到，继而求出本题答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D， ∴， ∵的周长：，，， ∴， 故选：D． 题型02 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例2】如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， ∵与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 题型03 圆外切四边形模型 【典例3】如图，小明家有一圆形花园记作，他准备在花园的内部，内接四边形的外部进行绿化图中的阴影部分，并在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，且，． (1)求花园绿化部分的面积； (2)请用尺规作图作出圆形鱼池的圆心，并求出其半径． 【答案】(1) (2)半径为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、垂径定理的应用、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意可得，为的直径，，可求出的面积为，四边形的面积为，进而可得花园绿化部分的面积为 若在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，则圆形鱼池分别与四边形的四条边相切．作的平分线，交AC于点，则点即为所求；设分别与，，，相切于点E，F，G，H，连接，，，，，，设圆形鱼池的半径为r，则，根据，可得，求出r的值即可． 【详解】（1）解∶，，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， 为的直径． ， 的面积为 四边形的面积为， 花园绿化部分的面积为； （2）解∶由题意得，圆形鱼池分别与四边形的四条边相切． 如图，作的平分线，交于点， 则点即为所求． 设分别与，，，相切于点E，F，G，H，连接，，，，，， 设圆形鱼池的半径为r，则， ， ， ， 其半径为 【变式1】如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 【变式2】如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且 ，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ， ，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ． ， ， （） 解得： ． 即的直径为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 【变式3】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 题型04 三角形内心有关应用 【典例4】如图，是的内心，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内心概念及性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，根据是角平分线以及三角形内角和定理即可算出答案． 【详解】解：∵I为的内心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理．连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，内心的定义． 先求出，然后求出，再由内心的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴和是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，其周长为24，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形．利用切线长定理求得，，再求得；设的外接圆为，作直径，连接，解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，设与三边的切点为D，E，F， 连接， 则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵周长为24， ∴， ∴； 如图，设的外接圆为，作直径，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的外接圆的半径为． 故答案为：． 题型05 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例5】如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【变式1】如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查三角形外接圆，内切圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． （1）用尺规作边和的垂直平分线，两线相交于点O进而作出的外接圆； （2）根据勾股定理和等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】（1）解：如图所示即为的外接圆， （2）解：连接、，设交于点， ∵， ， 根据垂径定理，得，， ， 设内切圆半径为， ， 内切圆半径． 【变式2】如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 【变式3】如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    一、选择题 1．三角形的内心是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心，根据三角形的内心的定义，它是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵三角形的内心是三角形内切圆的圆心，且内切圆与三边相切， ∴内心到三边的距离相等，这要求它是三条角平分线的交点． ∴三角形的内心是三条角平分线的交点． 故选：B． 2．的周长为36，面积为36，则该三角形的内切圆半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】设这个三角形的内切圆半径是r，再根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】解：设这个三角形的内切圆半径是r， ∵三角形面积为36，周长为36， ∴， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 3．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　） A．120° B．125° C．115° D．130° 【答案】C 【分析】利用内心的性质得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝65°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数． 【详解】解：∵O是△ABC的内心， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（    ） A．6步 B．5步 C．4步 D．3步 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，可确定出内切圆半径，即可求得直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r=是解题的关键． 5．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是．所以它们的比为=． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是； ∵内切圆半径是， 外接圆半径是， ∴所以它们的比为=． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半． 6．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可． 【详解】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D， 连接AD，OB，则AD过O(因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上)， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60∘， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠OBC=∠ABC=30∘， ∵⊙O切BC于D， ∴∠ODB=90∘， ∵OD=1， ∴OB=2， 由勾股定理得：BD==， 同理求出CD=， 即BC=2. 故选D. 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质. 7．如图，，切于，两点，切于点，交，于，．若的半径为1，的周长等于，则线段的长是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线长定理得出，，结合的周长等于，得出，计算，，的值，得出，最后得出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，切于，两点，切于点， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A．    【点睛】本题主要考查切线长定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握过圆外一点可以作圆的两条切线，这点到两个切点的距离相等． 8．如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 设与的切点为点，由切线长定理可得，，，，据此可推出：的周长，于是得解． 【详解】解：如图，设与的切点为点， 是的内切圆，切点分别为点、、，且与相切于点， ，，，， 的周长 ， 故选：． 9．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【详解】解： 是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 10．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 11．如图，用如下方法测量一个圆形铁环的半径，将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法测得，则铁环的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线长定理，解直角三角形，根据切线长定理得到，然后利用计算是解题的关键． 【详解】如图所示：连接，，过点作于点， ∵为圆的切线， ∴，即， 又为圆O的切线， ∴， 在中，，， ∴， ∵及为圆O的切线， ∴为的平分线，即， 又， ∴， 在中，，，， ∴，即． 故答案为：． 12．如图，I是的内心，，则 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：， ， 点I是的内心， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 13．如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留） ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了三角形内切圆的性质，勾股定理，利用三角形内切圆的性质求出内切圆的半径是解题关键． 先用勾股定理求出斜边的长度，根据三角形内切圆的性质，结合三角形的周长和面积求出内切圆的半径，再用直角三角形的面积减去内切圆的面积即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴内切圆半径 ， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 14．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）设，则，由可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，点D是的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 15．如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      【答案】 【分析】连接，．由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得由圆周角定理可求得． 【详解】解：如图所示；连接，．   ，， ． 是圆的切线， ． 同理． ． ． ． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键． 16．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明． 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在中，，，．    (1)用海伦公式求的面积； (2)求的内切圆半径r． 【答案】(1)的面积； (2)的内切圆半径． 【分析】（1）先根据的长求出的值，再代入到公式即可求得S的值； （2）根据公式，代入可得关于r的方程，解方程得r的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； 故的面积； （2）解：∵， ∴， 解得：， 故的内切圆半径． 【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 切线长定理﹑三角形的内切圆和内心 教学目标 1.理解切线长的定义，掌握切线长定理的内容，能准确表述定理并完成证明； 2.理解三角形内切圆、内心的定义，知道内心是三角形三条角平分线的交点，掌握内心的核心性质； 3.能运用切线长定理、内心性质解决实际问题，如计算切线长、三角形内切圆半径、角的度数等，会作简单三角形的内切圆。 教学重难点 1.重点 （1）切线长定理的内容、证明及应用； （2）三角形内切圆、内心的定义及内心的核心性质； （3）运用切线长定理和内心性质解决基础计算和简单证明问题。 2.难点 （1）切线长定理的证明思路构建； （2）内心性质的综合应用； （3）区分 “三角形内心” 与 “外心”，避免概念混淆； （4）作三角形内切圆的操作细节。 知识点01 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【即学即练】 1．如图，为的内切圆，，，，点D、E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 知识点02 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【即学即练】 1．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 2．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 题型01 切线长定理 【典例1】如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【变式1】如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【变式3】如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 题型02 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例2】如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式2】如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型03 圆外切四边形模型 【典例3】如图，小明家有一圆形花园记作，他准备在花园的内部，内接四边形的外部进行绿化图中的阴影部分，并在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，且，． (1)求花园绿化部分的面积； (2)请用尺规作图作出圆形鱼池的圆心，并求出其半径． 【变式1】如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【变式2】如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【变式3】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 题型04 三角形内心有关应用 【典例4】如图，是的内心，，则 °． 【变式1】如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 【变式2】如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为 ． 【变式3】如图，在中，，其周长为24，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为 ． 题型05 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例5】如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【变式1】如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 【变式2】如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【变式3】如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 一、选择题 1．三角形的内心是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 2．的周长为36，面积为36，则该三角形的内切圆半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 3．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　） A．120° B．125° C．115° D．130° 4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（    ） A．6步 B．5步 C．4步 D．3步 5．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（    ） A．2 B．3 C． D． 7．如图，，切于，两点，切于点，交，于，．若的半径为1，的周长等于，则线段的长是（    ）    A． B．3 C． D． 8．如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 10．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 11．如图，用如下方法测量一个圆形铁环的半径，将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法测得，则铁环的半径是 ． 12．如图，I是的内心，，则 ． 13．如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留） ． 14．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 15．如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      16．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明． 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在中，，，．    (1)用海伦公式求的面积； (2)求的内切圆半径r． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $