2.3 三角形的内切圆（7大题型提分练）（题型专练）数学浙教版九年级下册

（浙教版）九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》 2.3 三角形的内切圆 知识点 三角形的内切圆 ◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. ◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别： 题型一 三角形内切圆中求角度 1．（2023•莱州市一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（　　） A．50° B．52° C．54° D．56° 【分析】根据三角形内角和定理得到∠IBC+∠ICB＝64°，根据内心的概念得到∠ABC+∠ACB＝128°，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵∠I＝116°， ∴∠IBC+∠ICB＝64°， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB＝128°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键． 2．如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．99° B．102° C．104° D．152° 【分析】先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝152°，再利用点I是△ABC的内心可得BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，从而可求出∠IBC+∠ICB，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠A＝28°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°， ∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB， ∴∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB∠ABC∠ACB （∠ABC+∠ACB） ＝76°， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB） ＝180°﹣76° ＝104°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键． 3．（2023秋•兴隆县期末）已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　） A．50° B．55° C．62.5° D．65° 【分析】连接OB、OC，如图，利用内心的性质和三角形内角和得到∠BOC＝90°∠BAC＝125°，利用点O是△BCP的外心，然后根据圆周角定理得到∠BPC∠BOC． 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵O是△ABC的内心， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠BOC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝90°∠BAC＝90°70°＝125°， ∵点O是△BCP的外心， ∴∠BPC∠BOC125°＝62.5°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆与外心和圆周角定理． 4．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【分析】先利用切线的性质得∠IDA＝∠IFA＝90°，则根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF＝180°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：∵圆I是△ABC的内切圆， ∴ID⊥AB，IF⊥AC， ∴∠IDA＝∠IFA＝90°， ∴∠A+∠DIF＝180°， ∵∠DIF＝140°， ∴∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵∠C＝60°， ∴∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义． 5．（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　） A．15° B．17.5° C．20° D．25° 【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝70°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝140°， ∵OB＝OC， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（2024•南岗区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】由⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC分别相切于点D，E，得BE＝BD，AO平分∠BAC，则∠BDE（180°﹣∠B），∠DAO∠BAC，所以∠AFD＝∠BDE﹣∠DAO（180°﹣∠B﹣∠BAC）∠ACB＝35°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC分别相切于点D，E， ∴BE＝BD，AO平分∠BAC， ∴∠BDE＝∠BED（180°﹣∠B），∠DAO∠BAC， ∴∠AFD＝∠BDE﹣∠DAO（180°﹣∠B）∠BAC（180°﹣∠B﹣∠BAC）， ∵180°﹣∠B﹣∠BAC＝∠ACB＝70°， ∴∠AFD70°＝35°， 故选：A． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠AFD＝∠BDE﹣∠DAO（180°﹣∠B﹣∠BAC）是解题的关键． 7．（2024•峰峰矿区校级模拟）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°，则∠CDE的度数为（　　） A．52° B．64° C．76° D．78° 【分析】由点M是△ABC的内心，得∠OAC∠BAC，∠OCA∠BCA，则∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA），而∠OAC+∠OCA＝180°﹣∠AMC＝52°，所以（∠BAC+∠BCA）＝52°，求得∠BAC+∠BCA＝104°，则∠B＝76°，由∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，得∠CDE＝∠B＝76°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°， ∴AM平分∠BAC，CM平分∠BCA， ∴∠OAC∠BAC，∠OCA∠BCA， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）， ∵∠OAC+∠OCA＝180°﹣∠AMC＝180°﹣128°＝52°， ∴（∠BAC+∠BCA）＝52°， ∴∠BAC+∠BCA＝104°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣104°＝76°， ∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°， ∴∠CDE＝∠B＝76°， 故选：C． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义与性质、圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、三角形内角和定理等知识，求得∠BAC+∠BCA＝104°是解题的关键． 8．（2023秋•潮南区期末）如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小． 【分析】连接ID、IF，如图，先根据圆周角定理得到∠DIF＝2∠DEF＝100°，再根据切线的性质得ID⊥AB，IF⊥AC，则∠ADI＝∠AFI＝90°，然后根据四边形内角和计算∠A的度数． 【解答】解：连接ID、IF，如图， ∵∠DEF＝50°， ∵∠DIF＝2∠DEF＝100°， ∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F， ∴ID⊥AB，IF⊥AC， ∴∠ADI＝∠AFI＝90°， ∴∠A+∠DIF＝180°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°． 答：∠A的大小为80°． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 题型二 三角形内切圆中求线段长 1．（2024秋•大连期中）如图，△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D、E、F．若△ABC周长为20，BC＝6，则AD长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．5 【分析】设AD＝a，根据切线长定理得出AD＝AF＝a，CE＝CF，BE＝BD，则BC＝BE+CE＝BD+CF＝6，由△ABC周长为20，代入求出a即可． 【解答】解：设AD＝a， ∵△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D、E、F， ∴AD＝AF＝a，CE＝CF，BE＝BD， 则BC＝BE+CE＝BD+CF＝6， ∵△ABC周长为20， ∴AD+AF+CF+BC+BD＝20，即：a+a+6+6＝20， 解得：a＝4，即AD＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AD＝AF，CE＝CF，BE＝BD，用了方程思想． 2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】根据勾股定理可得AB的长，然后根据三角形面积可以求出⊙O的半径，再根据切线的性质可得AD的长． 【解答】解：如图，连接OD、OE、OF， ∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， 设OE＝OF＝OD＝r， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴13r+12r+5r＝12×5， 解得r＝2， ∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F， ∴OE⊥AC，OF⊥BC， ∴四边形OECF为正方形， ∵⊙O的半径为2，BC＝5， ∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3， ∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 3．（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　． 【分析】由切线长定理得AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求出CE＝4，即CF的长，求和即可． 【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线， ∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF， ∵AB＝4，AC＝5，AD＝1， ∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4， ∴BC＝BF+CF＝3+4＝7． 【点评】本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 4．（2024秋•建湖县期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，△ABC的周长为24，则BC的长为 　 ． 【分析】由△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，得AF＝AD＝3，CF＝CE，BD＝BE，所以CF+BD＝BC，由AF+CF+BC+BD+AD＝24，得3+2BC+3＝24，则BC＝9，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3， ∴AF＝AD＝3，CF＝CE，BD＝BE， ∴CF+BD＝CE+BE＝BC， ∵△ABC的周长为24， ∴AF+CF+BC+BD+AD＝24， ∴3+2BC+3＝24， ∴BC＝9， 故答案为：9． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出AF＝AD＝3及CF+BD＝BC是解题的关键． 5．（2023秋•腾冲市校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D．E，F为切点，且AB＝9cm，BC＝14cm．CA＝13cm，求AF，BD，CE的长． 【分析】根据切线长定理，可设AE＝AF＝xcm，BF＝BD＝ycm，CE＝CD＝zcm．再根据题意列方程组，即可求解． 【解答】解：根据切线长定理，设AE＝AF＝xcm，BF＝BD＝ycm，CE＝CD＝zcm． 根据题意，得 解得，x＝4，y＝5，z＝9， 即AF＝4cm、BD＝5cm、CE＝9cm． 【点评】本题考查了切线长定理．注意解方程组的简便方法：三个方程相加，得到x+y+z的值，再进一步用减法求得x，y，z的值． 6．（2023秋•津南区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数； （2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长． 【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论； （2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可． 【解答】解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， ∴∠DBO∠ABC，∠DCO∠ACB， ∴∠DBO+∠DCO∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝62.5° ∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠DBO+∠DCO）＝180°﹣62.5°＝117.5°； （2）∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE， 设AE＝x，BD＝y，CD＝z， 又∵AB＝13，BC＝11，AC＝10， ∴， 解得， ∴AF＝6； 【点评】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型三 三角形内切圆中求半径 1．（2023秋•东阳市期末）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】设这个三角形的内切圆半径是rcm，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r， ∵三角形周长为12，面积为6， ∴12r＝6， 解得r＝1． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 2．（2023•天心区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（　　） A．1 B． C．1.5 D．2 【分析】作辅助线如解析图，根据S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，代入数据求解即可． 【解答】解：如图，设⊙O与△ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接OE，OF，OG，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r， 则OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，OE＝OF＝OG＝r， ∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC， AB•rAC•rBC•r， （AB+AC+BC）•r， 又△ABC的周长为18，面积为9， ∴918•r， ∴r＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键． 3．已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，根据切线长定理和勾股定理可得CE＝3，进而可求内切圆的半径． 【解答】解：如图， 根据题意，得 AB＝AC＝5，BC＝6， 设圆O是等腰三角形ABC的内切圆，BC切圆于点D，AC切圆于点E， 连接AD，OE， ∴AD⊥BC，OE⊥AC， ∴BD＝CDBC＝3， ∴AD4， 根据切线长定理可知： CE＝CD＝3， ∴AE＝AC﹣CE＝2， 设OD＝OE＝x，则AO＝4﹣x， 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 （4﹣x）2＝x2+22， 解得x． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 4．（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】由切线的性质得到OM⊥BC，ON⊥AB，又OM＝ON，推出OB平分∠ABC，同理：OC平分∠ACB，由等边三角形的性质推出△OBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质求出BM的长，由锐角的正切即可求出OM的长． 【解答】解：如图，⊙O分别与AB、BC相切于N、M， 连接OB，OC，OM，ON， ∴OM⊥BC，ON⊥AB， ∵OM＝ON， ∴OB平分∠ABC， 同理：OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OB＝OC， ∵OM⊥BC， ∴BMBC＝2， ∵tan∠OBM， ∴OM， ∴⊙O的半径是． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形，关键是由切线的性质，角平分线性质定理的逆定理推出OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，得到△OBC是等腰三角形． 5．（2023秋•齐河县期末）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB的内切圆半径是（　　） A． B．5（1） C．5（1） D． 【分析】首先根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∠ACD＝∠BCD再利用勾股定理计算出BC，AD的长，可得△ABD等腰直角三角形，设△ABD内切圆的半径为rcm，根据切线长定理列出5r+5r＝10，进而可以解决问题． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC8（cm）， ∵∠ACB的平分线交⊙O于D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∵∠ADB＝90°， ∴AD2+BD2＝AD2， ∴AD2+AD2＝102， ∴AD＝5cm， ∴AD＝BD＝5cm； ∴△ABD等腰直角三角形， 设△ABD内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm， 得正方形DGIE， ∴AE＝AF＝BG＝BF＝AD﹣DE＝（5r）cm， ∴5r+5r＝10， 解得r＝5（1）cm， ∴△ADB的内切圆半径是5（1）cm． 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，三角形内切圆与内心，勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理． 题型四 三角形内切圆中求面积 1．等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A．4π B． C． D． 【分析】根据题意画出等边三角形ABC与内切圆O．首先根据三角形面积计算公式求出S△ABC，再观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算半径，根据面积公式计算即可． 【解答】解：设⊙O与△ABC相切于D，E，F，连接CD， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴CD过点O，CD⊥AB， ∴CDAB＝2， ∴S△ABCAB•CD＝4， 设内切圆半径为r， ∴S△ABC（AB+BC+AC）r＝4， ∴r， ∴内切圆面积＝π×（）2π． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 2．（2024•石家庄模拟）已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【分析】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案． 【解答】解：∵一个三角形的内心与外心重合， ∴该三角形是等边三角形， 根据题意，如图，△ABC是等边三角形，其内心外心均为点O，连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则OD＝2， ∵∠ABC＝60°，OB平分∠ABC， ∴， 在Rt△OBD中， OB＝2OD＝4， ∴△ABC的外接圆半径为4， ∴它的外接圆的面积为π×42＝16π， 故选：D． 【点评】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 3．（2024•桥西区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　） A．20 B．15 C．18 D．12 【分析】由O为△ABC的内心可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比． 【解答】解：∵O为△ABC的内心， ∴点O到AB，AC的距离相等， ∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3． ∵△ABO的面积为20， ∴△ACO的面积为15． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，熟练掌握角的三角形的内心到三边的距离相等是解答本题的关键． 4．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（　　） A．π B．2π C．4π D．0.5π 【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝2，于是得到结论． 【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F， 连接OE，OF， 则四边形OECF是正方形， ∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠EOM＝∠FON， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴EM＝NF， ∴CM+CN＝CE+CF＝4， ∴OE＝2， ∴⊙O的面积为4π， 故选：C． 【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，则花圃的面积为 　 　． 【分析】根据AB＝13，AC＝5，BC＝12，得出AB2＝BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径，问题随之得解． 【解答】解：∵AB＝13，AC＝5，BC＝12， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC为直角三角形， ∴△ABC的内切圆半径为：， 则花圃的面积为：22×π＝4π． 故答案为：4π． 【点评】本题考查了直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．解题的关键是根据勾股定理的逆定理作答． 6．（2023秋•河西区校级期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F， 若AF＝10，BE＝3，则△ABC的面积为　 　． 【分析】根据切线长定理，得出BD＝BE，AF＝AD，设CE＝x，根据勾股定理得出x，再求得△ABC的面积即可． 【解答】解：∵⊙I是直角△ABC的内切圆， ∴BD＝BE，AF＝AD， ∵AF＝10，BE＝3， ∴BD＝3，AD＝10， 设CE＝x，则CF＝x， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴（x+10）2+（x+3）2＝132， 解得x1＝﹣15，x2＝2， ∴CE＝2， ∴BC＝5，AC＝12， ∴S△ABCAC•BC5×12＝30， 故答案为30． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，以及切线长定理，勾股定理，熟记切线长定理的内容是解题的关键． 7．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 （结果保留π）． 【分析】根据AB＝CB，AD＝CD，得出BD为AC的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得∠ABC＝60°，进而得出△ABC为等边三角形；利用∠ACD＝30°，得出△BCD为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形ABC的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求． 【解答】解：如图，设AC与BD交于点F，△ABC的内心为O，连接OA． ∵AB＝CB，AD＝CD， ∴BD是线段AC的垂直平分线． ∴AC⊥BD，AF＝FC． ∵AB＝BC，BF⊥AC， ∴∠ABF＝∠CBF＝30°． ∴∠ABC＝60°． ∴△ABC为等边三角形． ∴∠BAC＝∠ACB＝60°． ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+60°＝90°． ∵CD＝AD＝1， ∴BC． ∴AB＝BC＝AC． ∵AB＝BC，BF⊥AC， ∴AFAC． ∵O为，△ABC的内心， ∴∠OAF∠BAC＝30°． ∴OF＝． ∴△ABC的内切圆面积为π•． 故答案为． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆及内心的性质，利用内心为三个内角平分线的交点得出角平分线是解题的关键． 题型五 直角三角形周长、面积与内切圆的关系 1．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（　　） A．2 B．3 C．4 D．无法判断 【分析】⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，根据切线的性质得到OE⊥AC，OF⊥BC，则四边形CEOF为正方形，得到CE＝CF＝r，根据切线长定理得AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，利用6﹣r+8﹣r＝10可求出r． 【解答】解：如图，⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF， ∴OE⊥AC，OF⊥BC， ∴四边形CEOF为正方形， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10， 设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r， ∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r， ∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10， ∴r＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等． 2．（2024秋•崇川区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案． 【解答】解：连接DO，EO， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝4，AF＝AE＝6， ∴AB＝AF+BF＝6+4＝10， 又∵∠C＝90°， ∴四边形OECD是矩形， 又∵EO＝DO， ∴矩形OECD是正方形， 设EO＝x， 则EC＝CD＝x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： BC2+AC2＝AB2， 故（x+4）2+（x+6）2＝102， 解得：x＝2， ∴BC＝6，AC＝8， ∴S△ABC6×8＝24， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的面积，勾股定理，切线长定理，得出四边形OECF是正方形是解题关键． 3．（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为　 　． 【分析】连接OD、OE、OF、OA、OC、OB，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式得出关于R的方程，求出即可． 【解答】 解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB5， 连接OD、OE、OF、OA、OC、OB， 设⊙O的半径是R，则OE＝OD＝OF＝R，OD⊥BC，OF⊥AB，OE⊥AC， 由三角形面积公式得：3×45×R3×R4×R， R＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角形面积公式，三角形的内切圆，勾股定理的应用，关键是能得出关于R的方程． 4．（2023秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC，CA＝2，则⊙O的半径是 　 　． 【分析】设OD＝OF＝AF＝AD＝x，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠A＝90°，BC，CA＝2， ∴AB， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE， 如图，连接OD，OF， ∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF， ∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°， ∴四边形ADOF是正方形， 设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则CE＝CF＝2﹣x，BD＝BEx， ∵BE+CE， ∴2﹣xx， ∴x， 则圆O的半径为． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2024•浙江一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】延长AD，BE交于点F，延长AD，BE交于点F，首先推导出△ABF∽△CEB，然后利用相似三角形的性质得到3，进而得解． 【解答】解：延长AD，BE交于点F， ∵⊙O与AF，BF，AB均相切， ∴⊙O是△ABF内切圆， 又∵AF∥BC， ∴△ABF∽△CEB， ∴3， ∴3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，矩形的性质，切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 6．（2024•滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 【分析】这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用形式有两个，分别是r和r，所以很快定位出选项A和选项B正确，而对于我们不熟悉的选项C和选项D可直接用特殊值法定位答案． 【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案． ∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5． 选项A：d＝a+b﹣c＝2， 选项B：d2， 选项C：d2， 选项D：d＝|（a﹣b）（c﹣b）|＝1， 很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项． 故答案选：D． 方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F． 易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r， 则EC＝CD＝r， ∴AE＝AF＝b﹣r，BD＝BF＝a﹣r， ∵AF+BF＝AB， ∴b﹣r+a﹣r＝c， ∴r， ∴d＝a+b﹣c．故选项A正确． ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴abarbr+cr， ∴ab＝r（a+b+c）， ∴r，即d．故选项B正确． ∵由前面可知d＝a+b﹣c， ∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2， ∵a2+b2＝c2， ∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b）， ∴d，故选项C正确． 排除法可知选项D错误． 故答案选：D． 【点评】本题考查三角形内切圆直径公式，结合中国古代数学成就来考是未来数学的一种趋势，掌握直角三角形内切圆的性质是解题的关键． 7．（2023秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12． （1）求BF的长； （2）求⊙O的半径r． 【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可． （2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12， ∴AC5， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE， 设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CF＝CE＝12﹣x， ∵AE+EC＝5， ∴13﹣x+12﹣x＝5， ∴x＝10， ∴BF＝10． （2）连接OE，OF， ∵OE⊥AC，OF⊥BC， ∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2． 即r＝2． 【点评】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型六 三角形内切圆中求最值 1．如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积． 【解答】解：如图1所示， S△ABC•r•（AB+BC+AC）r×42＝21r， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2， 设CD＝x， 由勾股定理得：在Rt△ABD中， AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2， ∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2， 解得：x＝9， ∴AD＝12， ∴S△ABCBC×AD7×12＝42， ∴21r＝42， ∴r＝2， 该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2）， 故答案为：4πcm2． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识及勾股定理的运用，运用三角形内切圆的半径表示三角形的面积是解答此题的关键． 2．（2023秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 　 　． 【分析】圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，先根据圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，求出正方形CEOF的边长为x，根据勾股定理可得OC＝2，连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG， ∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB10， ∴四边形CEOF是正方形， 设正方形CEOF的边长为x， 则BE＝BG＝6﹣x，AF＝AG＝8﹣x， 根据题意，得 6﹣x+8﹣x＝10， 解得x＝2， ∴OCx＝2， ∵CD⊥l， ∴∠CDO＝90°， ∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图， 连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P， 当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值， ∴CP＝QP＝1， ∴AP＝AC﹣CP＝8﹣1＝7，圆Q的半径QD， ∴QA5， ∴AD的最小值为AQ﹣QD＝54． 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心． 3．（2024•东兴区一模）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 　 　． 【分析】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算． 【解答】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P， 过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ， ∵点B与点B′关于x轴对称， ∴PB+PN＝PB′+PN， 当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值． 在Rt△ABC中，AC5， 由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r， ∴S△AOC（3r+4r+5r）3×4， 解得r＝1， ∴ME＝MN＝1， ∴QB′＝4﹣1＝3，QM＝3+1＝4， ∴MB′＝5， ∴PB′+PN＝5﹣1＝4， 即PB+PN最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键． 4．已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm． （1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径． （2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ （3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离． 【分析】（1）最大圆的半径是三角形内切圆的半径，用等面积法求解即可； （2）圆的最小半径是三角形的外接圆的半径，可以借助等腰三角形的性质和外心的定义，用勾股定理即可求解； （3）等腰三角形的内心与外心的距离可以结合（1）（2）的结论解答即可． 【解答】解：如图，△ABC中，AB＝AC＝50cm，BC＝60cm， 由题意可知： △ABC是锐角三角形， 则外心在三角形的内部． 作AD⊥BC于点D， ∴BD＝DCBC＝30cm， ∴AD40（cm）． 设△ABC的内心为I，半径为r， 外心为O，半径为R， 则点I、O都在AD上， 作IE⊥AB于点E， 则IE＝ID＝r， 连接IB、OB， 则OB＝OA＝R． （1）∵S△ABD＝S△ABI+S△BDI ∴BD•ADAB•IEBD•ID 即30×4050×r30×r 解得r＝15cm． 答：能从这块钢板上截得的最大圆的半径为15cm； （2）在Rt△OBD中，OB＝R，BD＝30 OD＝AD﹣AO＝40﹣R， 根据勾股定理，得 R2＝（40﹣R）2+302 解得R（cm）． 答：用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是cm； （3）∵ID＝r＝15cm， OD＝40﹣R＝40（cm）， ∴IO＝ID﹣OD（cm）． 答：这个等腰三角形的内心与外心的距离为cm． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是区分内心和外心． 题型七 三角形内切圆的综合应用问题 1．（2023•平原县模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）求证：BD＝DE； （2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径． 【分析】（1）根据内心的性质得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根据圆周角定理解答即可； （2）连接OD，结合（1）根据垂径定理可得OD垂直平分BC，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：连接BE， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠DBC， ∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC， ∵∠DEB＝∠ABE+∠BAD， ∴BD＝BE； （2）解：连接OD， 由（1）可知，∠BAD＝∠DAC， ∴， ∴OD垂直平分BC， ∴BGBC10＝5， 设OD＝OB＝x， 则OG＝x﹣DG＝x﹣2， 在Rt△OBG中，由勾股定理可得： OG2+BG2＝OB2， ∴（x﹣2）2+52＝x2， 解得． ∴圆的半径为． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心的概念和性质，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键． 2．（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC． （1）求证：l是⊙O的切线； （2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长． 【分析】（1）连接OE，利用角平分线的性质和等腰三角形可得AB∥OE，再利用平行线的性质说明OE⊥l，即可证明结论； （2）利用垂径定理和勾股定理可得CGAC＝2，OGAB，在Rt△CEG中，利用勾股定理可得CE的长． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵点D是Rt△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵OB＝OE， ∴∠EBC＝∠OEB， ∴∠ABE＝∠OEB， ∴AB∥OE， ∴∠BAC＝∠OGC＝90°， ∵l∥AC， ∴OE⊥l， ∴OE为半径， ∴l是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， BC5， ∴OC， ∵OG⊥AC， ∴CGAC＝2，OGAB， ∴EG1， 在Rt△CEG中，由勾股定理得， CE． 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，圆的切线的证明等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 3．（2023秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D． （1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE； （2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+ACAD． 【分析】（1）连接BE，由三角形的内心得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB＝∠DBE，即可得出结论； （2）延长AC至F，使CF＝AB，连接DF，证明△ABD≌△FCD（SAS），由全等三角形的性质得出∠F＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：如图，连接BE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠2＝∠6， ∴∠1＝∠6， ∵∠5＝∠1+∠3， ∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3， ∴∠5＝∠DBE， ∴DB＝DE； （2）证明：延长AC至F，使CF＝AB，连接DF， ∵E为△ABC的内心，∠BAC＝60°， ∴∠DBC＝∠DCB＝∠DAC＝30°，DB＝DC， ∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°， ∴∠ABD＝∠DCF， 在△ABD和△FCD中， ， ∴△ABD≌△FCD（SAS）， ∴∠F＝∠BAD＝30°， 在△ADF中，∠F＝∠DAF＝30°， 过点D作DG⊥AF于G，则GFDG，AD＝2GD， ∴AFAD， ∵AF＝AC+CF＝AC+AB， ∴AB+ACAD． 【点评】本题考查了三角形的外心与内心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定等知识；根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键． 4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC． （1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝　 　；∠AEB＝　 ． （2）求证：DE＝CD； （3）求证：DG是⊙O的切线． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝130°； （2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD； （3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论． 【解答】（1）解：如图，连接OD， ∵， ∴∠ACB＝∠ADB＝80°， ∴∠ABC+∠BAC＝100°， ∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE， ∴∠BAE+∠ABE＝50°， ∴∠AEB＝130°， 故答案为：80°，130°； （2）证明：∵∠BAE＝∠CAE， ∴，∴BD＝CD， ∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE， ∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE， ∴BD＝DE， ∴DE＝CD； （3）证明：∵， ∴OD⊥BC， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， 又∵OD是半径， ∴DG是⊙O的切线． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 5．（2024•烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明； （3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长． 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，进而可求解． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， 又∵∠ABC＝25°， ∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°， ∵四边形ABEC是⊙O内接四边形， ∴∠CEB+∠CAB＝180°， ∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°； （2）DI＝AD＝BD， 连接AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI，， ∴， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD， ∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA， ∴DI＝AD＝BD； （3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心， ∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， ∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP， ∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°， ∴CF＝CI•cos45°＝2＝CP， ∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°， ∴， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC ＝AB+AF+CF+CP+BP ＝AB+AQ+BQ+2CF ＝2AB+2CF ＝2×13+2×2＝30． 【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 6．（2024秋•玄武区校级月考）如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点I是△ABC内一点，若且BI平分∠ABC． （1）求证：点I是△ABC的内心； （2）如图2：直接写出答案： △ABC外接圆的半径r＝ ；△ABC的内心I与外心O的距离l＝ 　 ． 【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB＝90°∠BAC，再根据BI平分∠ABC得∠IBC＝45°∠BAC，进而可求出∠ICB＝45°∠BAC，则∠ICA＝45°∠BAC，由此得CI平分∠ACB，然后根据三角形内心的定义可得出结论； （2）解：连接OB，ID，IF，IB，IC，依题意得A，I，O在同一条直线上，且AE⊥BC，OA＝OB＝r，BE＝6，由此得AE＝8，则OE＝8﹣r，在Rt△OBE中由勾股定理可求出r，则OE；根据三角形内心性质得ID＝IE＝IF＝a，再根据S△IAB+S△IBC+S△ICA＝S△ABC可求出a＝3，由此可得△ABC的内心I与外心O的距离． 【解答】（1）证明：△ABC中，AB＝AC＝10， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC， ∴BI平分∠ABC， ∴∠IBC∠ABC＝45°∠BAC， ∵∠BIC＝90°∠BAC， ∴∠ICB＝180°﹣（45°∠BAC+90°∠BAC）＝45°∠BAC， ∴∠ICA＝∠ACB﹣∠ICB＝90°∠BAC﹣（45°∠BAC）＝45°∠BAC， ∴∠ICB＝∠ICA， ∴CI平分∠ACB， ∴点I是△ABC的内心； （2）解：连接OB，ID，IF，IB，IC，如图所示： ∵△ABC是等腰三角形，点I是内心，点O是外心 ∴A，I，O在同一条直线上，且AE⊥BC，OA＝OB＝r， ∴BE＝CEBC＝6， 在Rt△ABE中，AB＝10，BE＝6， 由勾股定理得：AE8， 在Rt△OBE中，OB＝r，OE＝AE﹣OA＝8﹣r，BE＝6， 由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2， ∴r2＝（8﹣r）2+62， 解得：r， ∴OA＝OB＝r， ∴OE＝AE﹣OA， ∵点I为△ABC的内心，D，E，F为且点， ∴ID＝IE＝IF＝a， ∵S△IAB+S△IBC+S△ICA＝S△ABC， ∴AB•IFBC•IEAC•IDBC•AD， ∴10a12a10a12×8， 解得：a＝3， ∴IE＝a＝3， ∴I＝IE﹣OE， ∴△ABC外接圆的半径r；△ABC的内心I与外心O的距离l． 故答案为：；． 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》 2.3 三角形的内切圆 知识点 三角形的内切圆 ◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. ◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别： 题型一 三角形内切圆中求角度 1．（2023•莱州市一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（　　） A．50° B．52° C．54° D．56° 2．如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．99° B．102° C．104° D．152° 3．（2023秋•兴隆县期末）已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　） A．50° B．55° C．62.5° D．65° 4．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 5．（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　） A．15° B．17.5° C．20° D．25° 6．（2024•南岗区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 7．（2024•峰峰矿区校级模拟）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°，则∠CDE的度数为（　　） A．52° B．64° C．76° D．78° 8．（2023秋•潮南区期末）如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小． 题型二 三角形内切圆中求线段长 1．（2024秋•大连期中）如图，△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D、E、F．若△ABC周长为20，BC＝6，则AD长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．5 2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　． 4．（2024秋•建湖县期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，△ABC的周长为24，则BC的长为 　 ． 5．（2023秋•腾冲市校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D．E，F为切点，且AB＝9cm，BC＝14cm．CA＝13cm，求AF，BD，CE的长． 6．（2023秋•津南区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数； （2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长． 题型三 三角形内切圆中求半径 1．（2023秋•东阳市期末）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023•天心区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（　　） A．1 B． C．1.5 D．2 3．已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 4．（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．1 C． D．2 5．（2023秋•齐河县期末）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB的内切圆半径是（　　） A． B．5（1） C．5（1） D． 题型四 三角形内切圆中求面积 1．等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A．4π B． C． D． 2．（2024•石家庄模拟）已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 3．（2024•桥西区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　） A．20 B．15 C．18 D．12 4．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（　　） A．π B．2π C．4π D．0.5π 5．（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，则花圃的面积为 　 　． 6．（2023秋•河西区校级期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F， 若AF＝10，BE＝3，则△ABC的面积为　 　． 7．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 （结果保留π）． 题型五 直角三角形周长、面积与内切圆的关系 1．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（　　） A．2 B．3 C．4 D．无法判断 2．（2024秋•崇川区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 3．（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为　 　． 4．（2023秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC，CA＝2，则⊙O的半径是 　 　． 5．（2024•浙江一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 6．（2024•滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 7．（2023秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12． （1）求BF的长； （2）求⊙O的半径r． 题型六 三角形内切圆中求最值 1．如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 2．（2023秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 　 　． 3．（2024•东兴区一模）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 　 　． 4．已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm． （1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径． （2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ （3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离． 题型七 三角形内切圆的综合应用问题 1．（2023•平原县模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）求证：BD＝DE； （2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径． 2．（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC． （1）求证：l是⊙O的切线； （2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长． 3．（2023秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D． （1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE； （2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+ACAD． 4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC． （1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝　 　；∠AEB＝　 ． （2）求证：DE＝CD； （3）求证：DG是⊙O的切线． 5．（2024•烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明； （3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长． 6．（2024秋•玄武区校级月考）如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点I是△ABC内一点，若且BI平分∠ABC． （1）求证：点I是△ABC的内心； （2）如图2：直接写出答案： △ABC外接圆的半径r＝ ；△ABC的内心I与外心O的距离l＝ 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$