2.2 切线长定理（6大题型提分练）（题型专练）数学浙教版九年级下册

（浙教版）九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》 2.2 切线长定理 知识点 切线长及切线长定理 ◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】 ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 题型一 利用切线长定理求角度 1．（2023•武安市一模）如图是个一不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，则∠APB的度数为（　　） A．50° B．60° C．25° D．90° 2．（2024•平房区二模）如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（　　） A．55° B．110° C．70° D．140° 3．（2023秋•双台子区期中）如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（　　） A．36° B．63° C．126° D．46° 4．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（　　） A．50° B．62° C．66° D．70° 5．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　 　． 6．（2023秋•江汉区期末）四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是 　 　． 题型二 利用切线长定理求线段长度 1．（2023秋•铁东区校级期中）如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 　 　． 2．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝　 　． 3．（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024•十堰一模）如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD＝BD＝3，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•黄冈月考）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（　　） A．5 B．5.5 C． D．6 6．（2023秋•天宁区校级期中）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB、AC相切，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．2 D．4 7．（2023春•萧山区期中）如图，点P是半径为r的⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B点，若△PAB是边长为a的等边三角形，则（　　） A．a＝2r B．ar C．ar D．ar 8．（2023•潮阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 利用切线长定理求周长 1．（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 3．（2023秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 4．（2023秋•大余县月考）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别切⊙A于点M，N，⊙A的另一条切线EF切⊙A于点G，分别交DM，DN于点E，F．若D是BC的中点，则△DEF的周长是（　　） A． B．6 C． D． 题型四 利用切线长定理求面积 1．（2023•金湾区一模）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（　　） A．18﹣3π B． C． D． 2．（2024春•吉安县校级月考）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∠P＝60°，⊙O的半径为3．则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 3．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E． （1）求△PDE的周长； （2）若DEcm，求图中阴影部分的面积． 4．如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积． 5．如图，直线PCD过圆心O，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝4，AB与PD相交于E． （1）求弦AB的长； （2）求阴影部分的面积． 题型五 利用切线长定理进行证明 1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA． （1）求证：∠POA＝2∠PCB； （2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值． 2．（2023春·全国·九年级统考期末）如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 3．（2023春·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 4．如图CA，CD是⊙O的两条切线，切点分别为A，D；AB是⊙O的直径，AB＝AC，过点A作AF⊥CD于F，交⊙O于点E． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝2，求AE长． 5．（2023春·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. （1）证明：是的切线. （2）如图2，连接，，求证：. 题型六 切线长定理的综合应用 1．（2023春·天津河西·九年级统考期末）如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙O的半径． 2．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40° ①求△PEF的周长； ②求∠EOF的度数． 3．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 4．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 5．（2023•惠水县模拟）如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6． （1）求CD的长度． （2）求EG的长度． （3）求FB的长度． 6．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q． （1）求证：OQ＝PQ； （2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》 2.2 切线长定理 知识点 切线长及切线长定理 ◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】 ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 题型一 利用切线长定理求角度 1．（2023•武安市一模）如图是个一不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，则∠APB的度数为（　　） A．50° B．60° C．25° D．90° 【分析】连接OB，由AO＝OB得，∠OAB＝∠OBA＝25°，∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝130°；因为PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和即可求出∠APB． 【解答】解：连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝25°， ∴∠AOB＝130°， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴OA⊥PA，OP⊥AB， ∴∠OAP+∠OBP＝180°， ∴∠APB+∠AOB＝180°； ∴∠APB＝50°． 故选：A． 【点评】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题． 2．（2024•平房区二模）如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（　　） A．55° B．110° C．70° D．140° 【分析】连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP＝∠OCP＝90°，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝110°，则∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、OC， ∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C， ∴PB⊥OB，PC⊥OC， ∴∠OBP＝∠OCP＝90°， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°， ∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°， 故选：C． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（2023秋•双台子区期中）如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（　　） A．36° B．63° C．126° D．46° 【分析】连接OA，OB，OE，根据切线长定理，得∠AOC＝∠COE，∠BOD＝∠DOE，从而得∠COD∠AOB，再由∠APB＝54°，求得∠COD． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OE， ∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E， ∴∠AOC＝∠EOC， 同理∠BOD＝∠DOE， ∴∠COD＝∠COE+∠DOE∠AOB， ∵∠APB＝54°， ∴∠AOB＝126°， ∴∠COD＝63°． 故选：B． 【点评】本题考查了切线长定理和三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握． 4．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（　　） A．50° B．62° C．66° D．70° 【分析】由PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CE＝CA，DE＝DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠PAE∠PCD，∠PBE∠PDC，继而求得∠PAE+∠PBE的度数． 【解答】解：∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点， ∴CE＝CA，DE＝DB， ∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE， ∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE， ∴∠CAE∠PCD，∠DBE∠PDC， 即∠PAE∠PCD，∠PBE∠PDC， ∵∠P＝40°， ∴∠PAE+∠PBE∠PCD∠PDC（∠PCD+∠PDC）（180°﹣∠P）＝70°． 故选：D． 【点评】此题考查了切线长定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 5．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　 　． 【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论． 【解答】解：连接AB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∵∠P＝102°， ∴∠PAB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°， ∵∠DAB+∠C＝180°， ∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°， 故答案为：219°． 【点评】本题考查了切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（2023秋•江汉区期末）四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是 　 　． 【分析】由切线长定理推出∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC），∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD），得到∠AOB+∠COD＝180°，而∠AOB＝78°，即可求出∠COD＝102°． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AO平分∠BAD，OB平分∠ABC， ∴∠1∠BAD，∠2∠ABC， ∴∠1+∠2（∠BAD+∠ABC）， ∴∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC）， 同理：∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD）， ∴∠AOB+∠COD＝360°（∠BAD+∠ABC+∠ADC+∠BCD）＝360°360°＝180°， ∵∠AOB＝78°， ∴∠COD＝102°． 故答案为：102°． 【点评】本题考查切线长定理，关键是由切线长定理推出∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC），∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD），得到∠AOB+∠COD＝180°． 题型二 利用切线长定理求线段长度 1．（2023秋•铁东区校级期中）如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 　 　． 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AE，BE＝BD，求出BE的长即可求出BD的长． 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AE， ∵BE、BD为⊙O的切线， ∴BE＝BD， ∴BD＝EB＝AB﹣AE＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 2．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝　 　． 【分析】有条件可得AD＝CD，再有切线长定理可得：CD＝CE，所以AD＝CE，问题得解． 【解答】解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E， ∴CD＝CE， ∵∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE， ∵AD＝2， ∴CE＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角和等腰三角形的判定定理和性质定理． 3．（2023•怀化三模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长． 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 4．（2024•十堰一模）如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD＝BD＝3，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】由AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，得BC＝BD，BC⊥AC，则∠C＝90°，而AD＝BD＝3，所以BC＝3，AB＝6，则AC3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O， ∴BC＝BD，BC⊥AC， ∴∠C＝90°， ∵AD＝BD＝3， ∴BC＝3，AB＝AD+BD＝3+3＝6， ∴AC3， 故选：B． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理等知识，证明∠C＝90°并且求得BC＝3是解题的关键． 5．（2023秋•黄冈月考）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（　　） A．5 B．5.5 C． D．6 【分析】设⊙O与正方形ABCD的边AD、AB切于点F、H，证明四边形AHOF是正方形，求出DF＝6，然后根据切线长定理可得答案． 【解答】解：如图，设⊙O与正方形ABCD的边AD、AB切于点F、H， 则∠OFD＝∠OFA＝∠OHA＝90°， ∵∠A＝90°，OH＝OF， ∴四边形AHOF是正方形， ∵⊙O的半径为4，且AB＝10， ∴OF＝AF＝OH＝4，AD＝AB＝10， ∴DF＝10﹣4＝6， ∵DE与⊙O相切于点E， ∴DE＝DF＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了切线的性质、切线长定理，正方形的判定和性质，证明四边形AHOF是正方形，求出DF是解题的关键． 6．（2023秋•天宁区校级期中）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB、AC相切，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．2 D．4 【分析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO∠BAC＝30°，求得∠AOC＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：设⊙O与AC的切点为E， 连接AO，OE， ∵等边三角形ABC的边长为8， ∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°， ∵圆分别与边AB，AC相切， ∴∠BAO＝∠CAOBAC＝30°， ∴∠AOC＝90°， ∴OCAC＝4， ∵OE⊥AC， ∴OEOC＝2， ∴⊙O的半径为2， 故选：C． 【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．（2023春•萧山区期中）如图，点P是半径为r的⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B点，若△PAB是边长为a的等边三角形，则（　　） A．a＝2r B．ar C．ar D．ar 【分析】连结OP、OA，由PA，PB分别切⊙O于A，B点，得PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB∠APB＝30°，则∠OAP＝90°，所以OP＝2OA，即可根据勾股定理求得PAOA，所以ar，于是得到问题的答案． 【解答】解：连结OP、OA，则OA＝r， ∵△PAB是边长为a的等边三角形， ∴PA＝a，∠APB＝60°， ∵PA，PB分别切⊙O于A，B点， ∴PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB∠APB＝30°， ∴∠OAP＝90°， ∴OP＝2OA， ∴PAOA， ∴ar， 故选：B． 【点评】此题重点考查等边三角形的性质、切线的性质定理、切线长定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 8．（2023•潮阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD＝PB＝2，则BE长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】作CH⊥PB于H，由垂径定理得到CE的长，从而求出PH的长，由勾股定理求出CH的长，即可求出BE的长． 【解答】解：作CH⊥PB于H， ∵直径AB⊥CD于H， ∴CE＝DECD， ∵PC，PB分别切⊙O于C，B， ∴PB＝PC＝CD＝2，直径AB⊥PB， ∴四边形ECHB是矩形， ∴BH＝CE，BE＝CH， ∴PH＝PB﹣BH＝2， ∴CH3， ∴BE＝CH＝3． 故选：C． 【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出CH的长． 题型三 利用切线长定理求周长 1．（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案． 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键． 2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可． 【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得 CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x． 则有9﹣x+10﹣x＝8， 解得：x＝5.5． 所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11． 故选：C． 【点评】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题． 3．（2023秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长． 【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a， ∵CE与半圆O相切于点F， ∴AE＝EF，BC＝CF， ∵EF+FC+CD+ED＝12， ∴AE+ED+CD+BC＝12， ∵AD＝CD＝BC＝AB， ∴正方形ABCD的边长为4； 在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1， ∵AE+EF+FC+BC+AB＝14， ∴直角梯形ABCE周长为14． 故选：C． 【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 4．（2023秋•大余县月考）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别切⊙A于点M，N，⊙A的另一条切线EF切⊙A于点G，分别交DM，DN于点E，F．若D是BC的中点，则△DEF的周长是（　　） A． B．6 C． D． 【分析】根据切线长定理可知△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+EM+DF+FN＝DM+DN，连接AD，AN，在Rt△AND中，由勾股定理求出AN的长即可得出结论． 【解答】解：连接AD，AN，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝CD＝3， ∵D是BC的中点， ∴， ∴， ∵DM，DN分别切⊙A于点M，N， ∴DM＝DN，AN⊥DN， 同理：EM＝EG，FN＝FG， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+ME+DF+FN＝DM+DN＝2DN， 在Rt△AND中，， ∴△DEF的周长为， 故选：C． 【点评】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，掌握切线的性质和切线长定理是关键． 题型四 利用切线长定理求面积 1．（2023•金湾区一模）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（　　） A．18﹣3π B． C． D． 【分析】连接OA，OB，OP，由切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，可以证明Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），得到△AOP的面积＝△BOP的面积，∠APO＝∠BPO＝30°，求出∠AOB＝120°，求出AP的长，求出扇形OAB的面积，△AOP的面积，即可求出阴影的面积． 【解答】解：连接OA，OB，OP， ∵PA，PB切⊙O于A，B两点， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）， ∴△AOP的面积＝△BOP的面积，∠APO＝∠BPO∠APB60°＝30°， ∴∠AOP＝∠BOP＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝3， ∴APOA＝3， ∴△AOP的面积OA•PA， ∴四边形AOBP的面积＝△AOP的面积×2＝9， ∵扇形OAB的面积3π， ∴阴影的面积＝四边形AOBP的面积﹣扇形OAB的面积＝93π． 故选：B． 【点评】本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是求出扇形OAB的面积，△AOP的面积． 2．（2024春•吉安县校级月考）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∠P＝60°，⊙O的半径为3．则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 【分析】连接OP，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，根据已知条件得到∠POA＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∵∠P＝60°， ∴∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ∴阴影部分的面积6π， 故选：D． 【点评】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 3．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E． （1）求△PDE的周长； （2）若DEcm，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据切线长定理得PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，由三角形周长定义得△PDE的周长＝PE+DE+PD，然后利用等线段可得△PDE的周长＝PA+PB＝6cm； （2）连接OB、OA、OE，OD，如图，根据切线的性质得∠OBP＝∠OPA＝90°，再根据四边形内角和计算出∠BOA＝120°，利用切线长定理得BE＝CE，DC＝DA，则根据三角形面积公式得到S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA，所以S五边AOBED＝2S△ODE＝4，然后根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB进行计算． 【解答】解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线， ∴PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC， ∴△PDE的周长＝PE+DE+PD＝PE+CE+CD+PD ＝PE+BE+AD+PD ＝PA+PB ＝3cm+3cm ＝6cm； （2）连接OB、OA、OE，OD，如图， ∵PA、PB、OC是⊙O的切线， ∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE， ∴∠OBP＝∠OPA＝90°， ∵∠APB＝60°， ∴∠BOA＝120°， ∵BE＝CE，DC＝DA， ∴S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA， ∴S五边AOBED＝2S△ODE＝24， ∴图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB＝4（4﹣π）cm2． 【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了扇形面积的计算． 4．如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积． 【分析】首先根据切线长定理，可求得∠AOP的度数与OA⊥PA，又由直角三角形的性质，可求得PA的长，然后求得△PAO与扇形AOC的面积，由S阴影＝2×（S△PAO﹣S扇形AOC）则可求得结果． 【解答】解：连接PO与AO， ∵PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°， ∴OA⊥PA，∠APO∠APB＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵⊙O半径为3， ∴OA＝3，PO＝6， ∴PA3， ∴S△PAOAO•PA3×3， S扇形AOCπ， ∴S阴影＝2×（S△PAO﹣S扇形AOC）＝2×（π）＝93π． ∴阴影部分面积为：93π． 【点评】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 5．如图，直线PCD过圆心O，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝4，AB与PD相交于E． （1）求弦AB的长； （2）求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据切线长定理可以得出∠APB＝60°，△PAB为等边三角形，即可求出； （2）由S阴影＝S半圆O﹣S△ADE，分别求出各部分的面积即可得出答案． 【解答】解：（1）∵PA．PB与⊙O相切于A，B两点 ∴PA＝PB， ∵∠APB＝60°， ∴△PAB为等边三角形， ∴AB＝PA＝4； （2）连接AD，OB， ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴OP平分∠APB，OP垂直平分AB， ∴∠APO∠APB＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵∠PAO＝90°， ∴OA， ∵AEAP＝2， ∴AD＝2AE＝4， ∴S阴影＝S半圆O﹣S△ADE π×（）22×2， π﹣2． 【点评】此题主要考查了切线长定理与扇形的面积公式等知识，求阴影部分面积不容易求出时，由特殊面积的差得出是常用方法． 题型五 利用切线长定理进行证明 1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA． （1）求证：∠POA＝2∠PCB； （2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值． 【分析】（1）根据切线长定理证明Rt△POA≌Rt△POB，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可得结论； （2）利用面积法求高线BE的长，利用勾股定理求OE，得CE的长，最后在Rt△OBE中，利用三角函数定义代入可得结果． 【解答】证明：（1）连接OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°， 在Rt△POA和Rt△POB中， ∵， ∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）， ∴∠POA＝∠POB， ∵∠POB＝2∠PCB， ∴∠POA＝2∠PCB； （2）过B作BE⊥PC于E， ∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3， ∴PO＝5， ∴PO•BEOB•PB， ∴BE， 由勾股定理得：OE， ∴CE＝OC+OE＝3， 在Rt△OBE中，tan∠PCB． 【点评】本题考查了切线长定理、圆周角定理、三角形全等的性质和判定和勾股定理、三角函数，作辅助线构建直角三角形是第二问的关键，本题难度适中． 2．（2023春·全国·九年级统考期末）如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 【分析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC； （2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数． 【解答】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM， ∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM， ∴AB+DC=AD+BC （2）连OE、ON、OM、OF， ∵OE=ON，AE=AN，OA=OA， ∴△OAE≌△OAN， ∴∠OAE=∠OAN． 同理，∠ODN=∠ODF． ∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE． 又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°， ∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°， ∴∠AOD=180°﹣90°=90°． 【点评】本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补，解题的关键是构造全等三角形． 3．（2023春·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径； （2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G， ∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠DCB， 又∵AB∥CD， ∴∠GCF+∠EBF=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°；， 连接OF，则OF⊥BC， 由（1）知，△BOC是直角三角形， ∴BC==10， ∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF， ∴6×8=10×OF， ∴OF=4.8， ∴⊙O的半径为4.8； （2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G， ∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°， ∵MN∥OB， ∴∠NMC=∠BOC=90°， 即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径， ∴MN是⊙O的切线， ∴MN=NG． 【点评】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角． 4．如图CA，CD是⊙O的两条切线，切点分别为A，D；AB是⊙O的直径，AB＝AC，过点A作AF⊥CD于F，交⊙O于点E． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝2，求AE长． 【分析】（1）连接BE，如图，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°，则利用等角的余角相等证明∠CAF＝∠ABE，然后证明△ABE≌△CAF，从而得到结论； （2）连接OD交BE于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥CD，则可判断OD⊥BE，所以BH＝EH，四边形DHEF为矩形，则BE＝2DF，设AE＝x，则CF＝x，DF＝2﹣x，BE＝4﹣2x，在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+（4﹣2x）2＝22，然后解方程得到AE的长． 【解答】（1）证明：连接BE，如图， ∵CA是⊙O的切线 ∴CA⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∵∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AE＝CF； （2）连接OD交BE于H，如图， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∵∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴BE∥DF， ∴OD⊥BE， ∴BH＝EH，四边形DHEF为矩形， ∴DF＝EH， ∴BE＝2DF， 设AE＝x，则CF＝x， ∵CA，CD是⊙O的两条切线， ∴CA＝CD， 而CA＝AB， ∴AB＝CD＝2， ∴DF＝2﹣x， ∴BE＝4﹣2x， 在Rt△ABE中，x2+（4﹣2x）2＝22，解得x1＝2（舍去），x2， ∴AE的长为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理． 5．（2023春·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. （1）证明：是的切线. （2）如图2，连接，，求证：. 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证； （2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证． 【解答】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴.     在中，B为中点， ∴， ∴，     ∵， ∴，   又∵为切线， ∴， ∴      ∴.     即， ∴是的切线. （2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，   ∴，     ∴； 【点评】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键． 题型六 切线长定理的综合应用 1．（2023春·天津河西·九年级统考期末）如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙O的半径． 【分析】（1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； (2)连接，根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）∵是⊙O的切线， ∴，即． ∴． ∵，是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴，． ∵为直径， ∴， 在中， 由勾股定理：，可得， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 2．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40° ①求△PEF的周长； ②求∠EOF的度数． 【分析】①根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，由PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF即可求出答案． ②连接OE，OF，求出∠OEF+∠OFE的度数，即可得出∠EOF的度数． 【解答】解：①∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， 又∵直线EF是⊙O的切线， ∴EB＝EQ，FQ＝FA， ∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm； ②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE， 则∠OEF+∠OFE（∠P+∠PFE）∠（P+∠PEF）（180°+40°）＝110°， ∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°． 【点评】本题考查了切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 3．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD＝180°，则有∠OBE+∠OCF＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长； （3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长． 【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°； （2）由（1）知，∠BOC＝90°． ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴由勾股定理得到：BC10cm， ∴BE+CG＝BC＝10cm． （3）∵BC与⊙O相切于点F， ∴OF⊥BC， ∴S△OBCOF×BCOB×OC，即OF×106×8． ∴OF＝4.8cm． 【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． 4．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 【分析】（1）根据切线长定理和三角形的周长可解答； （2）①先根据三角形内角和定理可得∠PCD+∠PDC＝140°，由平角的定义得∠ACD+∠BDE＝220°，由切线长定理：圆外一点与圆心的连线平分切线所成的夹角可得∠ACO＝∠DCO∠ACD，∠BDO＝∠EDO∠BDE，从而可以解答； ②根据平角的定义和三角形的内角和定理可解答． 【解答】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点， ∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD， ∵△PCD的周长为10， ∴PC+CD+PD＝10， ∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10， ∴PA＝5； （2）①∵∠P＝40°， ∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°， ∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°， ∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点， ∴∠ACO＝∠DCO∠ACD，∠BDO＝∠EDO∠BDE， ∴∠OCD+∠ODC220°＝110°， ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°； ②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED ＝180° ＝180°﹣90°∠ACD﹣90°∠BDE 220° ＝110°． 【点评】本题考查的是切线长定理，三角形内角和定理，掌握切线长定理是解题的关键． 5．（2023•惠水县模拟）如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6． （1）求CD的长度． （2）求EG的长度． （3）求FB的长度． 【分析】（1）根据切线的判定定理得到DA、CB都是圆O的切线，根据求写出定理分别求出DE、CE，进而求出CD； （2）证明△DEG∽△DCB，根据相似三角形的性质求出EG； （3）证明AD∥EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：（1）∵AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴DA、CB都是圆O的切线， ∵CD与圆O相切于点E， ∴DE＝DA＝2，CE＝CB＝6， ∴CD＝DE+CE＝8； （2）∵∠ABC＝90°，EF⊥AB， ∴EG∥BC， ∴△DEG∽△DCB， ∴，即， 解得：EG； （3）过点D作DH⊥BC于H， 则四边形DABH为矩形， ∴BH＝AD＝2， ∴CH＝BC﹣BH＝4， ∴DH4， ∴AB＝DH＝4， ∵∠DAB＝∠ABC＝90°，EF⊥AB， ∴AD∥EG∥BC， ∴，即， 解得：BF＝3． 【点评】本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用切线长定理是解题的关键． 6．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q． （1）求证：OQ＝PQ； （2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长． 【分析】（1）欲证明OQ＝PQ，只要证明∠QOP＝∠QPO即可； （2）设OA＝r．在Rt△PCQ中，利用勾股定理构建方程求出r，再证明四边形OPDB是平行四边形，求出OP即可解决问题； 【解答】（1）证明：连接OP． ∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C， ∴PA＝PC，OA⊥PA， ∵OA＝OC，OP＝OP， ∴△OPA≌△OPC（SSS）， ∴∠AOP＝∠POC， ∵QP⊥PA， ∴QP∥BA， ∴∠QPO＝∠AOP， ∴∠QOP＝∠QPO， ∴OQ＝PQ． （2）设OA＝r． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵OB∥QD， ∴∠QDC＝∠B， ∵∠OCB＝∠QCD， ∴∠QCD＝∠QDC， ∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP， ∴OC＝DP＝r， ∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠OCP＝∠PCQ＝90°， 在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2， ∴（6+r）2＝62+（2r）2， r＝4或0（舍弃）， ∴OP4， ∵OB＝PD，OB∥PD， ∴四边形OBDP是平行四边形， ∴BD＝OP＝4． 【点评】本题考查切线长定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$