13-1.4.1 充分条件与必要条件-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本高中数学讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，以命题的概念、结构及真假判断为学习支架，通过梳理典型数学命题引入，后续衔接判定定理与性质定理的关系及简单问题解决，构建完整知识脉络。 该资料以“有之则必然”古文导入激发兴趣，结合电路图情境化探究培养数学眼光，用表格梳理命题真假与条件关系发展推理意识，例题融合定义法与集合法强化逻辑思维，题型多样且含母题变式，课中助力教师引导学生构建逻辑关系，课后帮助学生巩固查漏，体现数学语言的精准表达与应用意识。

1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 新课导入 “有之则必然,无之则未必不然”,“无之则必不然，有之则未必然”,这两句话蕴含什么逻辑关系呢?这就是本节我们所要探讨的内容. 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的含义． 2.理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系． 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题． 新知学习 探究 一 命题的概念及结构 阅读下列语句：（1）个位数是5的自然数能被5整除；（2）直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）你是高一学生吗？（5）. 思考1．哪些语句不能判断真假？哪些语句能判断真假？ 思考2．能判断真假的语句有什么结构特点？ 【答案】思考1 提示： 不能判断真假；能判断真假且（1）真（2）假. 思考2 提示：一般都可改写成“若 ，则……”的形式. ［知识梳理］ 1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断①_ _ 的②_ _ _ _ _ _ 叫做命题. 【答案】真假； 陈述句 2．分类：判断为③的语句是真命题；判断为④的语句是假命题. 【答案】真； 假 3．结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中，其中⑤_ _ _ _ 称为命题的条件，⑥_ _ _ _ 称为命题的结论. 【答案】； ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． （1） “”是命题．（ ） （2） “所有的素数都是奇数”为真命题．（ ） （3） “三条边都相等的三角形是等边三角形”为假命题．（ ） （4） “若两个角互为补角，则这两个角不相等”是真命题.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） × （4） × 2．（多选）下列命题是真命题的是（ ） A. B. 若，都是无理数，则是无理数 C. 若集合，则 D. 【答案】CD 【解析】选.对于，，故 是假命题;对于，设，，则,都是无理数，而 不是无理数，故 是假命题；对于，若，即 是 的子集，故，故 是真命题；易知 是真命题.故选. 3．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． （1） 奇数不能被2整除； （2） 当时，； （3） 已知，为正整数，当时，且． 【答案】（1） 解：若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2） 若，则，是真命题． （3） 已知，为正整数，若，则 且，是假命题． 要判断一个命题是否为真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是否为假命题，只需举出一个反例即可. 二 充分条件与必要条件 有如图所示的电路图. 思考1．哪一个电路图可以说明，当开关闭合，灯一定亮呢？ 思考2．对于电路图1，当灯亮，开关一定闭合吗？ 【答案】思考1 提示：图1. 思考2 提示：不一定，也可能是 开关闭合. ［知识梳理］ 命题真假 “若,则”为真命题 “若,则”为假命题 推出关系 _ _ _ _ _ _ _ _ 条件关系 是的③_ _ 条件； 是的④_ _ 条件 _ _ 的充分条件； 不是的必要条件 【答案】； ； 充分； 必要； 不是 角度1 充分条件的判断 ［例1］ （对接教材例1）判断下列各组，中，是否是的充分条件？ （1） 在中，，； （2） 已知，，； （3） 已知，，． 【答案】（1） 【解】在 中，，所以 是 的充分条件． （2） 由，所以 是 的充分条件． （3） 方法一：由，所以 不是 的充分条件． 方法二：设集合，，则，所以 不是 的充分条件． 充分条件的两种判断方法 （1）定义法 （2）集合法 已知条件甲“”，条件乙“”，若，则甲是乙的充分条件. 角度2 必要条件的判断 ［例2］ （对接教材例2）判断下列各组，中，是否为的必要条件？ （1） ，； （2） ，； （3） 是无理数，是无理数． 【答案】（1） 【解】由，则 成立，所以 是 的必要条件. （2） 由，不能推出，则，所以 不是 的必要条件. （3） 由 是无理数 是无理数，则 成立，所以 是 的必要条件． 必要条件的两种判断方法 （1）定义法 （2）集合法 已知条件甲“”，条件乙“”，若，则甲是乙的必要条件. ［跟踪训练1］． （1） （多选）如果命题“若，则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 是的必要条件 C. 是的必要条件 D. 是的充分条件 （2） 能使成立的充分条件是_ _ _ _ _ _ 或_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（填写两个不同条件） 【答案】（1） AC （2） ；（答案不唯一） 【解析】 （1） 选.命题“若，则”是真命题，则，则 是 的充分条件，是 的必要条件，故，正确.又 不一定可以推出，故，不一定正确. （2） 设，其充分条件为，则应该有，而 或 等均满足题意. 三 充分条件与必要条件的应用 ［例3］ 已知实数满足，其中；实数满足.若是的充分条件，求实数的取值范围. 【解】 由，，，可令集合，，集合. 因为，所以， 所以 解得， 所以实数 的取值范围是. 母题探究．将本例中条件改为“实数满足，其中”，若是的必要条件，求实数的取值范围. 解：由,，， 可令集合,， 集合. 因为，所以， 所以 所以实数 的取值范围是. 充分条件与必要条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. （2）求解技巧：先把，等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. ［跟踪训练2］． （1） 若“”是“”的必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 若“”是“”的充分条件，则实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 1或 【解析】 （1） 选.由“”是“”的必要条件知，即 是 的子集，可得. （2） 依题意，可得，解得 或. 学科网（北京）股份有限公司 $