13-4.3.2 对数的运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本高中数学讲义聚焦对数的运算，基于指数幂运算性质，通过指数与对数的转化关系，系统推导积、商、幂的对数运算性质及换底公式，构建“探究猜想—知识梳理—即时应用”的学习支架。 资料以“问题链”驱动探究，通过计算具体对数式引导学生猜想性质，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识。结合推导证明发展数学思维的推理能力，设置生物丰富度指数等实际问题渗透模型观念，课中助力教师引导，课后练习帮助学生巩固查漏。

4.3.2 对数的运算 新课导入 从对数定义知道，对数式与指数式是可以相互转化的，我们已经学习了指数幂的运算性质与法则，那么对数的运算是否存在类似的性质与法则呢？这节课我们就从指数与对数的关系及指数幂的运算性质，来研究相应的对数的运算性质. 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 新知学习 探究 一 对数的运算性质 思考．计算下列三组对数运算式,观察各组结果,你能猜想对数的运算性质吗? （1） ,; （2） ,; （3） ,. 【答案】（1） 提示：；，猜想. （2） 提示：；，猜想. （3） 提示：；，猜想. ［知识梳理］ 如果,且,,,那么 （1） ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; （2） ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; （3） ③_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） （3） 点拨 （1）性质的逆运算仍然成立； （2）公式成立的条件是，，而不是，比如式子 有意义，而 与 都没有意义； （3）性质（1）可以推广为：，其中,,且,,, ,均大于0. ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 积、商的对数可以化为对数的和、差.（ ） （2） .（ ） （3） .（ ） （4） 且，，.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） × （4） √ 2．若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】选.由，得，即，解得. 3．（对接教材例3）计算: （1） _ _ _ _ _ _ ； （2） _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 3 【解析】 （1） . （2） 原式. 4．（对接教材例4）已知，，且.用，及表示下列各式： （1） ； （2） ； （3） . 【答案】（1） 解：. （2） . （3） . 利用对数运算性质化简求值 （1）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式的逆用. （2）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式的正用. （3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用，进行计算或化简. 二 对数的换底公式 思考．假设，则，即，从而有，再将此式化为对数式可得到什么结论？ 提示：，从而. ［知识梳理］ 1.对数换底公式 ，且；;，且. 2．对数换底公式的重要推论 （1），且；，且. （2），且；,,. （3）_ _ _ _ _ _ _ _ ，，，，且，，. 特别地，. 【答案】 ［例1］ 化简下列各式： （1） ； （2） . 【答案】（1） 【解】. （2） 原式. 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 ［跟踪训练1］． （1） 计算的结果为（ ） A. 4 B. C. D. （2） _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.由题意可得 . （2） 原式. 三 对数与指数的综合运用 ［例2］ （1） 若，且，则（ ） A. B. C. 12 D. 24 （2） 若，，则用，表示_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 设，则 且，所以，，，所以，即，所以. （2） 因为，，则，所以. 利用对数式与指数式互化求值的方法 （1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. （2）对于指数连等式,可令其等于，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. ［跟踪训练2］． （1） 已知，，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知，且，则实数的值为. 【答案】（1） B （2） 45 【解析】 （1） 选.由题意，. （2） 由，得，，，，，所以. 四 实际问题中的对数运算 ［例3］ （对接教材例5）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得，， 则，即， 所以. 对数运算在实际问题中的应用 （1）在与对数相关的实际问题中，先厘清题目中的数量关系，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. （2）在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数式进行运算，从而简化复杂的指数运算. ［跟踪训练3］．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量（单位：）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中是残留系数，则大约经过_ _ 年后土壤中该药品的残留量是经过2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数） 【答案】7.5 【解析】当 时，， 由，得. 课堂巩固 自测 1．[（教材P126练习T1改编）] （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】选.易知. 2．（多选）设,,是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.依题意，，正确；令,,，则,，错误；令,,，则,，错误；，正确. 3．[（教材P127T5改编）]已知，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .（用，表示） 【答案】 【解析】因为，，所以. 4．化简下列各式: （1） ; （2） . 【答案】 （1） 解：原式 . （2） 原式 . 课堂小结 1.已学习：对数运算的性质、换底公式；利用对数的运算性质化简求值；对数的实际应用. 2.须贯通：对数的运算性质是相同底数的对数运算，可正用,可逆用，换底公式的作用是完成不同底数的对数式之间的转化，实现同底的目的，底数没有明确要求时，就以10为底. 3.应注意：（1）对数的运算性质的适用条件；（2）对数的换底公式的结构特点. 学科网（北京）股份有限公司 $