11-阶段提升（一） 集合（范围：1.1～1.3）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦高中数学集合核心知识点，系统梳理集合的基本概念（元素互异性、确定性）、基本关系（子集、真子集、空集）、基本运算（交集、并集、补集）及新定义问题，构建从基础理解到综合应用的学习支架。 资料题型设计覆盖全面，通过“元素构成四边形判断”等实例培养数学眼光，结合“空集陷阱分类讨论”强化数学思维，以“伙伴关系集合”等新定义问题提升数学语言表达能力。课中辅助教师清晰讲解逻辑，课后关键点总结助力学生查漏补缺，有效巩固知识。

阶段提升（一） 集合（范围：1.1～1.3） 题型一 集合的基本概念 1．若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（ ） A. 菱形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 正方形 【答案】C 【解析】选.由，，，为集合 中的4个元素，得，，，两两不相等，而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等，则以，，，为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形，，，不符合题意；又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以，，，为边长构成的四边形可能是梯形，符合题意. 2．已知集合,，若且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由 且，得 解得. 3．设，若集合,,中的最大元素为3，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】因为集合,，中的最大元素为3， 所以,,, 所以 或. 当 时，不合题意，舍去； 当 时，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当 时，集合,1,中的最大元素为3，符合题意， 所以. 4．已知集合，,,，则集合的元素个数为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】当 时，，2，4，分别为0,,,均不能满足； 当 时，可满足， ，,,均不满足； 当 时，可满足，,，,均不满足，所以,，故集合 的元素个数为2. 处理集合概念问题的关注点 （1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集. （2）看这些元素满足什么限制条件. （3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验是否满足集合中元素的互异性. 题型二 集合的基本关系 1．已知集合,，,，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为,，,,，所以. 2．若集合有且仅有1个子集，则的值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由集合 有且仅有1个子集可知，是 ， 当 时，，不符合题意； 当 时，由 可得，结合选项可知，符合题意. 3．已知非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是_ _ _ _ . 【答案】7 【解析】由题意，令，则原问题等价于：如果，，则. 根据集合元素的互异性与无序性，集合 可以是：或 或 或 或 或 或.故适合条件的集合 有7个. 4．已知集合，，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 解得， 所以，且， 当 时，符合， 则，解得； 当 时，要使， 则 解得， 综上所述，实数 的取值范围为. 处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏. 题型三 集合的基本运算 1．[（2024· 新课标Ⅰ卷）]已知集合，,,0,2,,则（ ） A. , B. C. ,, D. ,0, 【答案】A 【解析】选.因为,,,0,2,，且注意到，从而,. 2．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题得，，，或，或，所以，故 错误；或，故 错误； 或，故 错误；，故 正确. 3．已知集合，集合，若 ，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为集合， 所以， 由于 ，所以. 4．若集合，，，，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得，则，解得， ，又，则，结合,得， 因此方程 有等根2，则,，即,， 所以. 集合运算问题的关注点 （1）运算口诀:交集元素仔细找，属于且属于;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集是大范围，去掉中元素,剩余元素成补集. （2）数形结合法:利用图或数轴解决集合的运算问题，能将复杂问题直观化. 提醒 要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解. 题型四 集合的新定义 ［典例］ （1） 若，则，就称是“伙伴关系”集合，集合,,0,1,2,的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是（ ） A. 31 B. 7 C. 3 D. 1 （2） [（2025·成都期中）]对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作，若,，,,,2,3,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） , 【解析】 （1） 若，则； 若，则； 若，则， 则,,,,,,2,,,1,,,2,,,,2,0,,为“伙伴关系”集合，共7个. （2） 因为,，,,,2,3,,所以，即，所以， 所以，,, 所以,. 解决集合新定义问题的策略 （1）紧扣“新”定义,首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在. （2）按照新定义、新运算规则和要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算,从而达到解决问题的目的. ［跟踪训练］． （1） （多选）当一个非空数集满足“如果，,则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题，正确的是（ ） A. 0是任何数域的元素 B. 若数域有非零元素，则 C. 集合,}是一个数域 D. 有理数集是一个数域 （2） 设集合,，集合，若中恰有2个元素，且定义,，则的子集个数是_ _ _ _ . 【答案】（1） ABD （2） 8 【解析】 （1） 选.对于，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故 正确； 对于，根据当 时，，则，即，进而，， ，，故 正确； 对于，对，，但，不满足题意，所以集合,}不是一个数域，故 不正确； 对于，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以 正确. （2） 因为集合 且 中恰有2个元素， 则，所以， 又,， 所以，,0,， 又,， 所以,,， 所以 的子集有 个. 学科网（北京）股份有限公司 $