15-阶段提升（九） 三角函数及诱导公式（范围：5.1～5.3）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦三角函数及诱导公式核心知识点，系统梳理任意角与弧度制（终边相同角表示、区域角描述、扇形问题）、三角函数概念（定义应用）、同角三角函数关系（公式互化与“1”的代换）、诱导公式（口诀应用）的递进脉络，搭建从角的表示到函数应用的完整学习支架。 资料以题型分层设计为特色，例题结合方法总结，如通过扇环面积问题培养用数学眼光观察现实世界的能力，诱导公式题训练逻辑推理的数学思维，规范解析助力数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

阶段提升（九） 三角函数及诱导公式（范围：5.1~5.3） 题型一 任意角与弧度制 1．已知 与 角的终边关于轴对称，则是（ ） A. 第二或第四象限角 B. 第一或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角 【答案】B 【解析】选.由 与 角的终边关于 轴对称，可得 ,，所以 ,，取,1可确定 是第一或第三象限角. 2．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是（ ） A. , B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题图得终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是． 3．与 角终边相同的最小正角是_ _ _ _ _ _ ；最大负角是_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】； 【解析】因为与 角终边相同的角是， 所以当 时，与 角终边相同的最小正角是 . 当 时，与 角终边相同的最大负角是 . 4．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面大致为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为_ _ . 【答案】192 【解析】由题意得，，如图，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为 ， 则 解得 则扇环的面积. 关于任意角与弧度制 （1）与 终边相同的角都可以用或的形式表示； （2）表示区域角时按逆时针方向找到区域的起始边界和终止边界，加上 或 的整数倍； （3）确定与 终边所在象限的方法是用不等式表示出所求角的范围，然后根据的范围分类讨论； （4）解决扇形的面积或周长等最值问题的关键是运用函数与方程或不等式思想. 题型二 三角函数的概念 1．已知角 的终边经过点，且，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由三角函数的定义可得 ，解得， 所以. 2．若是角 终边上一点，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 是角 终边上一点，则点 到原点的距离是，所以，则. 3．已知是圆心在原点，半径为2的圆上一点，点从开始，在圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为，则时点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】记点 是角 终边上的一点，则，，则；经过，记点 是角 终边上的一点，由题意，则，，即点 的坐标为. 关于三角函数概念的应用 解决与三角函数概念相关的问题，要特别注意两点，一是三角函数定义，二是诱导公式的应用. 题型三 同角三角函数的关系 1．若， 为第四象限角，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由，可得，可得，又 为第四象限角，所以，即. 2．已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为 ，则,，故原式. 3．已知 ， 是关于的方程的两根，则实数_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由方程 有两根，得，解得，依题意得，，则，解得，符合题意，所以实数. 关于同角三角函数基本关系的应用 解决与同角三角函数基本关系有关的问题，要特别注意三点，一是正弦、余弦、正切的互化，二是公式的灵活变形应用，如“1”的代换，三是利用平方关系求值时要注意角所在的象限. 题型四 诱导公式 1．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选 . 2．（多选）已知角 的终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.根据三角函数的定义得，，，故 正确；，故 错误；，故 正确；，故 错误. 3．已知，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以 且， 所以原式 . 4．若，则的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得 . 诱导公式的应用 （1）应用口诀：奇变偶不变，符号看象限； （2）基本步骤：负化正，大化小，小化锐，锐求值； （3）化角技巧：观察已知角与所求角的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $