02-1.1 第1课时 集合的含义-课后达标 检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦高中数学集合的基本概念及应用，系统梳理集合的定义、元素特性（确定性、互异性、无序性）、集合相等判断等核心知识点，通过基础认知、能力应用到素养拓展的递进式题目设计，构建从具体实例到抽象推理的学习支架，为后续函数、不等式等知识学习奠定基础。 该资料亮点在于分层设计与核心素养深度融合，基础题如“2025年高考数学难题能否构成集合”引导学生用数学眼光辨析现实问题的确定性，培养抽象能力；能力题通过三角形边长构成集合的互异性应用，训练逻辑推理的数学思维；素养题探究代数式取值集合、单元素集合可能性，强化数学语言表达与创新意识。课中助力教师实施分层教学，课后帮助学生自查薄弱点，兼顾基础巩固与思维提升。

课后达标 检测 A 基础达标 1．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 所有无理数 C. 2025年高考数学难题 D. 小于 的正整数 【答案】C 【解析】选.对于，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即 能构成集合； 对于，所有无理数定义明确，即 能构成集合; 对于，2025年高考数学难题定义不明确，不具有确定性，不符合集合的定义，即 不能构成集合； 对于，小于 的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即 能构成集合. 2．下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.对于，由 是无理数，得 也是无理数，则，错误； 对于，自然数集 包含元素0，即，错误； 对于，表示整数集，即，错误； 对于，是实数，即，正确. 3．[（2025·潍坊期中）]若的三边长，，可构成集合，则不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】选.由题意，根据集合元素的互异性，可得，，互不相等，故 一定不是等腰三角形，所以 不可能是等腰直角三角形. 4．下列各组中集合与表示同一个集合的是 （ ） A. 是由元素1，, 构成的集合，是由元素 ，1，构成的集合 B. 是由 构成的集合，是由构成的集合 C. 是由2，3构成的集合，是由有序数对构成的集合 D. 是满足不等式的自然数构成的集合，是方程的解集 【答案】A 【解析】选.由于 中集合，的元素完全相同，所以 与 表示同一个集合，而，，中集合，的元素不相同，所以 与 不能表示同一个集合. 5．集合由3个元素，，4组成，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】选.对于，当 时，，，不满足题意； 对于，当 时，，不满足题意； 对于，当 时，，，满足题意； 对于，当 时，，不满足题意. 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 中最小的数是1 B. 若，则 C. 若，，则的最小值是2 D. 的实数解组成的集合中含有两个元素 【答案】AC 【解析】选.因为 表示正整数集，容易判断，正确；对于，若，则满足，但，错误；对于，的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，错误. 7．已知满足且的元素构成集合，则1_ _ ，_ _ .（填“ ”或“ ”） 【答案】； 【解析】由题意，集合 中的元素有1，2，3，4，5，所以，. 8．若是集合中的元素，且集合中只含有一个元素2，则的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，解得. 9．已知集合中含有2个元素，，则一个满足条件的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】1（答案不唯一） 【解析】由集合中元素的互异性可知 ， 解得 且， 故 时，，满足题意. 10．（13分）记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素. 解：因为，所以， 解得. 解方程， 即， 得 或. 故 含有两个元素,2. B 能力提升 11．已知，，为非零实数，记代数式的所有可能取值所组成的集合为，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.令， 若,,全为正数，则；若,,全为负数，则；若,,中有2个正数和1个负数，则；若,,中有2个负数和1个正数，则，所以集合 含有三个元素：，0，4. 12．（多选）下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】选.对于，，，当，其平方数仍为整数；当，其绝对值仍为有理数；当，其立方仍为实数，故，，正确. 在 中，当 时，，则，故 不正确. 13．若集合的元素满足且，，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，, 所以 解得. 14．（13分）已知集合中有三个元素，分别为2，，. （1） 求实数应该满足哪些条件？（6分） （2） 若，求的取值.（7分） 【答案】 （1） 解：根据集合元素的互异性可知 解得 且 且 且. （2） 由于，结合（1）的结论可知， 所以，解得 舍去. 经验证，满足题意.所以. C 素养拓展 15．（15分）设是至少含有一个元素的实数集，满足若，则，且. （1） 若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素.（7分） （2） 集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 解：由于， 则， 因此， . 所以 中至少还有，两个元素. （2） 若，则， 且 中只有一个元素， 所以， 即，， 该方程在实数范围内无解， 所以 中不能只含有一个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $