01-1.1 第1课时 集合的含义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本高中数学讲义聚焦集合的含义这一核心知识点，从生活实例导入，通过探究活动构建集合与元素的概念，梳理元素与集合的属于关系，明确集合中元素的确定性、互异性、无序性，以及常用数集的符号表示，形成“实例-概念-关系-特性-应用”的学习支架。 该资料以生活分类实例引导学生用数学眼光观察现实世界，通过判断对象能否构成集合等思考问题培养抽象能力和推理意识，借助符号表示和例题解析规范数学语言表达。课中助力教师引导主动探究，课后通过巩固自测与跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的含义 新课导入 在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类.例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更清晰的认识. 学习目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.会利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题. 3.识记常用数集的表示符号. 新知学习 探究 一 元素与集合的概念 研究下面的例子，回答问题： （1）2025级聪明的学生； （2）的近似值； （3）直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点； （4）所有奇数. 思考1．以上各例的研究对象是什么？ 思考2．哪个例子中的对象划分标准不确定？ 思考3．（3）、（4）例子中的对象有什么共同特征？ 【答案】思考1 提示：分别研究学生、近似值、点、奇数. 思考2 提示：（1）、（2）所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰. 思考3 提示：两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对象的全体. ［知识梳理］ 1．元素 一般地，我们把研究①_ _ 统称为元素，元素通常用小写拉丁字母,,, 表示. 【答案】对象 2．集合 【答案】总体 3．集合相等 只要构成两个集合的元素是③_ _ _ _ _ _ ，我们就称这两个集合相等. 【答案】一样的 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 集合中的元素一定是数.（ ） （2） 参加2025年哈尔滨亚洲冬季运动会闭幕式的全体人员是一个集合.（ ） （3） 由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合.（ ） （4） 一个集合中可以找到两个相同的元素.（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） √ （4） × 2．（多选）下列对象能构成集合的有（ ） A. 接近于2 025的所有正整数 B. 小于的实数 C. 未来10年内的房价趋势 D. 点与点 【答案】BD 【解析】选.对于，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合； 对于，小于 的实数是确定的，能构成集合； 对于，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合； 对于，点 与点 是两个不同的点，是确定的，能构成集合. 3．英文单词的所有字母组成的集合共有_ _ _ _ 个元素. 【答案】6 【解析】英文单词 中不同的字母有，，，，，，共6个，故所有字母组成的集合共有6个元素. 一组对象能构成集合的两个条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素. （2）该组中各个对象是不同的. 二 元素与集合之间的关系 思考1．如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 提示：是男生就去，不是男生就不去. 思考2．非负整数集与正整数集有何区别？ 提示：非负整数集包括元素0，而正整数集不包括元素0. ［知识梳理］ 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 是集合中的元素 ①_ _ _ _ 属于集合 不属于 不是集合中的元素 ②_ _ _ _ 不属于集合 【答案】； 2．常用的数集及其记法 常用数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ③_ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ ⑥_ _ _ _ ⑦_ _ _ _ 【答案】； 或； ； ； ［例1］ （1） 已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 （2） 用符号“ ”或“ ”填空： _ _ _ _ _ _ ；_ _ _ _ ；_ _ _ _ ； _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） ；；； 【解析】 （1） 由，解得，因为，，故，且. （2） 因为 为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，所以；；；. 判断元素和集合之间关系的方法 （1）直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法:首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. ［跟踪训练1］． （1） （多选）下列元素与集合的关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 若是16和24的公约数组成的集合，用符号“ ”或“ ”判断下列元素与集合的关系： 8_ _ ；3_ _ ；2_ _ . 【答案】（1） BD （2） ；； 【解析】 （1） 选.因为 为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以，错误；，正确；，错误；，正确. （2） 根据题意，集合 中的元素有1，2，4，8，所以;;. 三 集合中元素特征的应用 ［例2］ 已知集合中含有两个元素和，若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】若，则 或， 当 时，，不符合集合中元素的互异性，所以； 当 时，，因为，所以，此时集合 中含有两个元素1，，符合集合中元素的互异性. 综上所述，. 母题探究．若本例条件变为“已知集合中含有两个元素1和，若”，求实数的值. 解：由 可知，或. 当 时，此时，与集合中元素的互异性矛盾，所以；当 时，或（舍去），当 时，经检验，符合题意.综上可知，. 根据集合中元素的特征求值的步骤 ［跟踪训练2］． （1） 若一个集合含有两个元素和，则实数需满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． （2） 已知集合的所有元素为2，4，6，若，且有，求的值. 【答案】（1） 且 （2） 解：若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 所以 的值是2或4. 【解析】 （1） 由集合中元素的互异性可得，解得 且. 课堂巩固 自测 1．（教材P5练习T1改编）下列各组对象可以构成集合的是（ ） A. 数学必修第一册课本中所有的难题 B. 小于8的所有素数 C. 直角坐标平面内第一象限的一些点 D. 所有小的正数 【答案】B 【解析】选.对于，“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于，小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于，“小”没有明确的标准，所以不能构成集合. 2．（多选）（教材P5练习T2改编）下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.对于，是实数， 即，正确； 对于，，错误； 对于，是无理数，所以，正确； 对于，不是 的元素，错误. 3．已知集合中有两个元素和，集合中有两个元素0和，若，则_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】由于，且, 所以 解得，经检验，符合题意. 4．已知集合中含有三个元素1，0，，若，求实数的值. 解：依题意，且，于是 且，由，得，解得 或（舍去），所以实数 的值为. 课堂小结 1.已学习：集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合之间的关系. 2.须贯通：（1）集合与元素的关系,或这两种情况必有一种且只有一种成立; （2）求集合中的参数时常用到分类讨论思想. 3.应注意：（1）自然数集中容易遗忘0这个元素; （2）集合中易忽略元素的互异性. 学科网（北京）股份有限公司 $