精品解析：湖北省黄石市大冶市2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

大冶市2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A. 3x+1=0 B. x2+3=0 C. 3x2﹣1=0 D. 3x2+6x+1=0 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0下列变形正确的是（　　） A. （x﹣2）2＝0 B. （x﹣2）2＝7 C. （x﹣4）2＝9 D. （x﹣2）2＝1 5. 把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图,在中,,,将绕点顺时针旋转至,使点恰好落在上,则旋转角度为( ) A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），则线段的长为_____． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 14. 对于任意实数，若规定，若，是两个根，则______． 15. 在正方形中，是其内一点，是直角三角形，，且，把绕点逆时针旋转得，直线和直线相交于点，若，，则_____；_____． 三、解答题（共9小题，6分+6分+6分+8分+8分+8分+10分+11分+12分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，将绕点B顺时针旋转到，分别连接， ． （1）求的度数： （2）若，求的长． 18. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）当时，直接写出取值范围为_____； （2）方程有实数根，取值范围是_____； （3）当时，直接写出的取值范围是_____． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 20. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． （1）[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． （2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； （3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． （4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 21. 如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； （3）与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每件涨价（元）与月销量（台）满足的函数关系式如下表所示．已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨元（为整数）时，月销售利润为元． 每件涨价（元） 0 1 2 … 月销售量（台） 180 170 160 … （1）上述表格中，_____（用含的代数式表示）； （2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品的售价应上涨多少元？ （3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在线段上，其中点与点，点与点分别是对应点，连接，与交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）求证：点是的中点； （3）若时． ①求的长； ②直接写出点到距离． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为，点为该抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上方抛物线上运动，点，连接，，若，求值． （3）①当该抛物线在点与点之间（包含点与点）的部分最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围，并写出这个定值； ②当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值范围或者的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大冶市2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A. 3x+1=0 B. x2+3=0 C. 3x2﹣1=0 D. 3x2+6x+1=0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数及常数项得到结果即可． 【详解】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1=0， 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次方程一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：物线的顶点坐标为， 故选：A． 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0下列变形正确的是（　　） A. （x﹣2）2＝0 B. （x﹣2）2＝7 C. （x﹣4）2＝9 D. （x﹣2）2＝1 【答案】B 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝7， （x﹣2）2＝7． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练运用配方法是解决问题的关键． 5. 把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则解答即可． 本题考查了抛物线的平移，熟练掌平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据左加右减，上加下减的平移原则，得． 故选：C． 6. 已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 7. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键． 根据两轮传播后，共有111人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加， 由题意，得：； 故选：C． 8. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线的表达式改写为顶点式，确定函数对称轴和开口方向，再根据二次函数的对称性即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的开口向下，对称轴为：， ∴当时，函数取最大值， ∵点距离对称轴1个单位长度，点距离对称轴3个单位长度， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性和增减性，解题的关键是将二次函数的表达式化为顶点式，根据函数的顶点式分析函数的对称轴和增减性． 9. 如图,在中,,,将绕点顺时针旋转至,使点恰好落在上,则旋转角度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转性质,三角形内角和定理,等腰三角形性质．根据题意可知,即,再代入已知条件即可求得本题答案． 【详解】解:∵,, ∴, ∵将绕点顺时针旋转至,即其中一个旋转角为, ∴ ∴是等腰三角形, ∴, ∴, 故选:C． 10. 在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ．   故选：C ． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 关于原点对称的点的坐标，横坐标和纵坐标都取相反数． 【详解】解：关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题． 求抛物线与x轴的交点距离，需先解一元二次方程得到交点横坐标，再计算两点间距离． 【详解】解：抛物线与轴交于点、， 令，得方程， 因式分解得， 解得，， 点在点左侧，故，． 线段的长为． 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，可得，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴, 解得, 又∵;是关于的一元二次方程， ∴, ∴且, 故答案为：且. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 14. 对于任意实数，若规定，若，是的两个根，则______． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，新定义下的实数运算；根据题意得到，，把原式整理成，代入计算求解即可． 【详解】解：∵，是的两个根， ∴， ∴ ， 故答案为：2027． 15. 在正方形中，是其内一点，是直角三角形，，且，把绕点逆时针旋转得，直线和直线相交于点，若，，则_____；_____． 【答案】 ①. 24 ②. 【解析】 【分析】先证明四边形是正方形，得到，设，在中，利用勾股定理求得x的值，根据取舍，即可求得的值；过D点作交的延长线于K，证明，再次利用勾股定理即可求得的值． 【详解】解：， ， 由旋转知：，， ，，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 又， ， ， ， 如图：过D点作交的延长线于K， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：24；． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 三、解答题（共9小题，6分+6分+6分+8分+8分+8分+10分+11分+12分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解； （2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方得：，即， ，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 17. 如图，将绕点B顺时针旋转到，分别连接， ． （1）求的度数： （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，可得是等边三角形，从而得到，即可求解； （2）由旋转的性质可得，根据等边三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 18. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）当时，直接写出的取值范围为_____； （2）方程有实数根，的取值范围是_____； （3）当时，直接写出的取值范围是_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． （1）利用因式分解法求出抛物线与x轴的交点，根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可； （2）根据二次函数图象即可求解； （3）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最大值为，再把、代入计算即可． 【小问1详解】 解：解得：，， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是． 故答案：． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，解得， ∴m的最小整数值为； （2）根据题意得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 20. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． （1）[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． （2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； （3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． （4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】（1）10 （2）12 （3）25 （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，配方法的应用； （1）根据新定义逐一判定即可； （2）根据配方法得到，代入计算即可； （3）根据配方法得到，得到，计算即可； （4）令，，为整数），得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴10是“雅美数”， 故答案为：10． 【小问2详解】 解：； ∴， ． 故答案为：12． 【小问3详解】 解： ， 要使为“雅美数”，其表达式应为两个整数的平方和的形式， ∵是整数， ∴是整数， ， ∴； 【小问4详解】 证明：∵实数，是“雅美数”， 令，，为整数）， ∴ ∵为整数， ∴均为整数， ∴是“雅美数” 21. 如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； （3）与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（－3，1） 【解析】 【分析】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可； （3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，可知与关于点成中心对称， 故答案为：（－3，1）． 【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键． 22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每件涨价（元）与月销量（台）满足的函数关系式如下表所示．已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨元（为整数）时，月销售利润为元． 每件涨价（元） 0 1 2 … 月销售量（台） 180 170 160 … （1）上述表格中，_____（用含的代数式表示）； （2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品售价应上涨多少元？ （3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）2 （3）当售价定为34元时，最大利润是1960元 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）设，把代入，计算求解析式即可； （2）根据题意，列式，解方程即可； （3）根据题意，列式，计算最大值即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入， 得 解得， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，每件利润为元，销量为台， 利润， 当时，可有， 整理得， 解得， ∵售价不能高于35元，即， ∴舍去 故每件商品的售价应上涨2元． 【小问3详解】 解：由题意， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 又∵x为整数且， ∴当时，w最大， 此时售价为元，最大利润元， 故当售价定为34元时，最大利润是1960元． 23. 将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在线段上，其中点与点，点与点分别是对应点，连接，与交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）求证：点是的中点； （3）若时． ①求的长； ②直接写出点到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线． （1）根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （2）如图1，过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （3）①如图2，过点作的垂线，解直角三角形得到，进而根据勾股定理计算即可； ②连接，，设点到的距离为，根据等面积法计算即可． 【小问1详解】 证明：矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形， ， ， 又， ， ， 平分； 【小问2详解】 证明：如图1，过点作的垂线， 平分，，， ， ， ，，， ， ， 即点是中点； 【小问3详解】 ①解：如图2，过点作的垂线， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②解：如图3，连接，， 由图可知， ， 设点到的距离为， 则， 即． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为，点为该抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上方抛物线上运动，点，连接，，若，求的值． （3）①当该抛物线在点与点之间（包含点与点）的部分最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围，并写出这个定值； ②当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值范围或者的值． 【答案】（1） （2） （3）①，4；② 【解析】 【分析】（1）把点，代入计算后可得该抛物线的解析式； （2）过点P作轴于点G，根据对称轴为直线，，得，得，，由,得，由，得，得，得，即得； （3）①根据图像可得抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时的点P的位置，从而确定m的取值范围；②分，，三种情况讨论满足时，m的取值范围． 【小问1详解】 解：把点，代入抛物线上， ∴ 解： ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：过点P作轴于点G，连接， ∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或． 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∴点C的纵坐标为4， ∵点P为该拋物线上一点，其横坐标为m， ∴点P纵坐标， 当时，最高点为点A，最低点为点P， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为， 不是定值，不符合题意； 当时，最高点为点C，最低点为点A， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为4，是定值，符合题意； 当时，最高点为点C，最低点为点A，点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4， 当时，最高点为点C，最低点为点P， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为，不是定值，不符合题意； 综上所述，当时，该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，这个定值为4； ②解：当时，最高点为点C，最低点为点P， ∴，， ∵， ∴， 解得或：（不合题意）； 当时，最高点为点P，最低点为点B， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， 当时，最高点为点B，最低点为点P, ∴，， ∴， 解得：或，不合题意． 综上所述，m的取值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，二次函数与三角形面积综合，二次函数与线段周长综合，轴对称的性质，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $