专题05 找规律题型专题 6大高频考点（期末真题汇编，福建专用）七年级数学上学期

专题05 找规律题型专题 6大高频考点概览 考点01 数字规律 考点02 代数式规律 考点03 周期型规律 考点04 递增型 考点05 累加型 考点06 杨辉三角型 地 城 考点01 数字规律 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）小强根据学习“数与式”积累的经验，对下面二次根式的运算规律进行探究，并写出了一些相应的等式如下：；；；若（均为正整数），则的值为（    ） A．2024 B． C． D．1 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知等式：，，，…，（，均为正整数），则 ． 三、解答题 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下面有规律排列的三行数： (1)第一行数中，第13个数是______； (2)第二行数中，第13个数是______； (3)请用含的式子表示第三行第数，并求出当时式子的值． 第一行数：，4，，16，，64，…… 第二行数：，3，，15，，63，…… 第三行数：6，，18，，66，，…… 地 城 考点02 代数式规律 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）观察一组单项式：，，，，，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建莆田·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25七年级上·福建宁德·期末）一定规律排列的单项式：，，，，，则第个单项式是 ． 5．（24-25七年级上·福建三明·期末）下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 6．（24-25七年级上·福建南平·期末）观察一组单项式，探究其规律：按照上述规律，第个单项式是 ． 三、解答题 7．（24-25七年级上·福建宁德·期末）（1）按规律填上所缺的单项式：，，，，________，________，…． （2）试写出（1）中第2024个和第2025个单项式． （3）试写出（1）中第n个单项式． （4）当时，求的值． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 地 城 考点03 周期型规律 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2025次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）有一数值转换器，原理如图，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2024次输出的结果是 ． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）观察下列等式：，，，，，，……，则的个位数字是 . 地 城 考点04 递增型 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图所示图形是按一定的规律构造的，第1个图形中有3个三角形；第2个图形中有7个三角形；第3个图形中有11个三角形；…；按照此规律，第100个图形中，三角形的个数是（    ） A．401个 B．399个 C．398个 D．395个 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第101个图案共有（    ）个小正六边形瓷砖． A．507 B．513 C．607 D．613 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，图①中搭1个小正方形需要4根火柴棒，图②中搭2个小正方形需要7根火柴棒，图③中搭3个小正方形需要10根火柴棒，……，那么搭21个这样的小正方形需火柴棒的根数为（   ） A．63 B．64 C．53 D．54 2、 填空题 4．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有个小圆圈…，按此规律，则第个图形中小圆圈的个数为 ． 三、解答题 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ； (3)利用（2）中的等式计算：． 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）某学习小组用火柴棒摆出下列图形，并制作出下列表格，请你参与共同完成研究： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 a b (1)_________，_________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_________；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 地 城 考点05 累加型 一、填空题 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知，，， ，... ，根据前面各式的规律可猜测 . 2．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则 ．（用含有S的式子表示）． 3．（24-25七年级上·福建三明·期末）观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： （1）第4个等式中，k= ； （2）写出第5个等式： ； （3）写出第n个等式： （其中n为正整数） 地 城 考点06 杨辉三角型 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建莆田·期末）为非负整数当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如下的图： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（    ） A．32 B．64 C．128 D．216 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为 （    ） A．324 B．243 C．81 D．285 2、 填空题 3．（24-25七年级上·福建漳州·期末）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 三、解答题 4．（24-25七年级上·福建南平·期末）杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作．“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ (1)横着观察，李涵发现了这样的规律． 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排：（ ）＝（ ）＝（ ）． …… 第n排，所有数的和是（ ）个2相乘的积． (2)张明也在积极探索规律，他有了新的发现． 第三排： 第四排： 第五排： 照这样的规律，张明认为第六排的算式的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”．这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 找规律题型专题 6大高频考点概览 考点01 数字规律 考点02 代数式规律 考点03 周期型规律 考点04 递增型 考点05 累加型 考点06 杨辉三角型 地 城 考点01 数字规律 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）小强根据学习“数与式”积累的经验，对下面二次根式的运算规律进行探究，并写出了一些相应的等式如下：；；；若（均为正整数），则的值为（    ） A．2024 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，求代数式的值，根据题中呈现的规律得出，，代入计算即可得出答案，找出题目呈现的规律是解此题的关键． 【详解】解：∵；；；， ∴若（均为正整数），则，， ∴， 故选：D． 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知等式：，，，…，（，均为正整数），则 ． 【答案】109 【分析】本题主要考查数字规律探索的能力，找出规律是解决本题的关键． 根据已知等式归纳出一般规律，并代入特定值求解即可． 【详解】解：观察已知等式： ，当时，的分母为； ，当时，的分母为； ，当时，的分母为；； ∴分母为， 等式可表示为：， 代入， ∴，， ∴． 故答案为：109． 三、解答题 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数的规律，观察数阵，推断出规律是解题的关键． （1）观察数阵，由此推断规律即可； （2）先将第5行所有数列出，再求其和即可； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数，前88个数分成44组，且每组的和为，由此求解即可． 【详解】（1）解：观察数阵可知：第1行有（个）数， 第2行有（个）数， 第3行有（个）数， 第4行有（个）数， 则第n行有个数； 第2行最右边的数为， 第3行最右边的数为， 第4行最右边的数为， 则第n行最右边的数为， 故答案为：，； （2）第5行的9个数为：17，，19，，21，，23，，25， 它们的和为； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 前88个数分成44组，每组的和为， 所以该行所有数的和为． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下面有规律排列的三行数： (1)第一行数中，第13个数是______； (2)第二行数中，第13个数是______； (3)请用含的式子表示第三行第数，并求出当时式子的值． 第一行数：，4，，16，，64，…… 第二行数：，3，，15，，63，…… 第三行数：6，，18，，66，，…… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，通过分析得到各行数的变化规律是解题的关键． （1）分析第一行数的规律，得出表示第n个数的式子，再代入求解； （2）找出第二行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子，再代入求解； （3）分析第三行数与第二行数的关系，得出含的式子，再代入计算． 【详解】（1）解：∵第一行数：，，，，，，…… ∴第一行数第n个数为， ∴当时，， 故答案为：； （2）解：∵，，，，，…… ∴第二行数的第n个数为， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：∵，，，，，……， 第三行数的第n个数为， 当时，． 地 城 考点02 代数式规律 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）观察一组单项式：，，，，，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式规律题，理解题意找到式子的规律是解题的关键．根据题意，可以发现第个单项式的规律为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …… 第个单项式为， 当时，， 第10个单项式是． 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：∵2=， ∴按一定规律排列的代数式为：，，，，，…， ∴第n个单项式是(-1)n-1， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·福建莆田·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式． 【详解】解：， ， ， ， ， …… ∴第个单项式是， 故选：D． 2、 填空题 4．（24-25七年级上·福建宁德·期末）一定规律排列的单项式：，，，，，则第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【详解】解：由，，，，可得： 第奇数个数的符号为“”，第偶数个数的符合为“”， 不含符合的系数的排列规律为：，，，，，， 指数的排列规律为：，，，，，， 故第个单项式是：． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·福建三明·期末）下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，分别找出单项式的系数和次数的变化规律是解决此题的关键． 观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及x的指数变化规律，写出代数式即可． 【详解】解：第1个单项式为：， 第二个单项式为：， 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， … 第n个单项式为：． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·福建南平·期末）观察一组单项式，探究其规律：按照上述规律，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律，根据已知单项式的系数与次数的规律得出一般式即可，根据已知单项式的系数与次数的规律得出一般式是解题关键． 【详解】解：由题意可得， 第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， 第6个单项式为， ， ∴当时，单项式为， 当时，第个单项式为， ∴第2025个单项式为， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级上·福建宁德·期末）（1）按规律填上所缺的单项式：，，，，________，________，…． （2）试写出（1）中第2024个和第2025个单项式． （3）试写出（1）中第n个单项式． （4）当时，求的值． 【答案】（1）, （2）， （3） （4）−5050 【分析】（1）观察单项式的系数和次数规律，直接填入即可； （2）通过（1）的规律变化直接写出第和个单项式即可； （3）通过（1）（2）的规律变化直接写出可得出第个单项式； （4）把代入后利用小学学习的高斯公式求值即可. 【详解】解：（1） ，； （2）第2024个单项式为，第2025个单项式为； （3）第个单项式为； （4）原式 = =． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数规律变化情况，同时利用规律的变化进行有理数的运算，其中掌握单项式系数和次数规律变化是解题的关键. 8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 地 城 考点03 周期型规律 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2025次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解题的关键．首先将代入运算程序输出结果，再将输出的结果代入运算程序，依次类推，找出其中的规律即可． 【详解】解：开始输入x的值为3，3为奇数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为奇数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为奇数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为偶数，输出， 输入，为偶数，输出， …． 依次类推，输出分别以，，，，，循环， ， 第2025次输出的结果是， 故选：D． 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）有一数值转换器，原理如图，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2024次输出的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求代数式的值，解此题的关键是能找出规律，从第二次开始，每三次一个循环．把代入数值转换器中计算，归纳总结得到一般性规律，即可确定出第2024次输出的结果． 【详解】解：把代入计算得：， 把代入计算得：， 把代入计算得：， 把代入计算得：， 把代入计算得：； …， 依次以4，2，1循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为4． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）观察下列等式：，，，，，，……，则的个位数字是 . 【答案】4 【分析】由题中可以得，，，，… 发现其和的末位数字是2，6，4，0…，依次循环，故2019÷4＝504…3．所以可知的个位数字是4． 【详解】∵，，，，，，…… ∴=2，末位数字为2； =6，末位数字为6； =14，末位数字为4； =30，末位数字为0； =62，末位数字为2； =126，末位数字为6； =254，末位数字为4； =510，末位数字为0； 发现其和的末位数字是2，6，4，0…，依次循环 ∴2019÷4＝504…3， 所以的个位数字是4， 故答案为：4． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到其末位数字的循环规律． 地 城 考点04 递增型 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图所示图形是按一定的规律构造的，第1个图形中有3个三角形；第2个图形中有7个三角形；第3个图形中有11个三角形；…；按照此规律，第100个图形中，三角形的个数是（    ） A．401个 B．399个 C．398个 D．395个 【答案】B 【分析】此题考查图形规律的探究，根据图形找到依次的变化规律，得到关系式并运用解题是关键，根据图形中三角形的数量找到图形中三角形数量的变化规律由此解题． 【详解】解：第一个图形中共有3个三角形， 第二个图形中共有7个三角形，即， 第三个图形中共有11个三角形，即， 由此得到三角形个数的变化规律是后一个图形比前一个图形多4个三角形， 第n个图形中三角形是， ∴第100个图形中三角形的个数是个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第101个图案共有（    ）个小正六边形瓷砖． A．507 B．513 C．607 D．613 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形（相邻的两个图形）多5个小正六边形瓷砖，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案有个小正六边形瓷砖， 第2个图案有个小正六边形瓷砖， 第3个图案有个小正六边形瓷砖， ……， 以此类推可得，第n个图案有个小正六边形瓷砖， ∴第101个图案共有小正六边形瓷砖， 故选：A． 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，图①中搭1个小正方形需要4根火柴棒，图②中搭2个小正方形需要7根火柴棒，图③中搭3个小正方形需要10根火柴棒，……，那么搭21个这样的小正方形需火柴棒的根数为（   ） A．63 B．64 C．53 D．54 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是找出规律． 根据图形的示例，找出规律进行计算即可． 【详解】解：根据给出的示例及图形的规律得， 第个图形中火柴棒的根数为， 搭21个这样的小正方形需火柴棒的根数为， 故选：B． 2、 填空题 4．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有个小圆圈…，按此规律，则第个图形中小圆圈的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，发现规律是关键．仔细观察图形，找到图形中圆圈个数的规律第个图形有个圆圈，然后代入求解即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， ， 第个图形有个圆圈， 当时，个圆圈， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ； (3)利用（2）中的等式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过观察点阵图和等式找到连续奇数和的规律是解题的关键． （1）观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方，据此写出等式； （2）根据规律总结第个等式； （3）利用（2）中规律，将所求式子转化为从开始到的连续奇数和减去从开始到的连续奇数和进行计算． 【详解】（1）解：观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方， ； 故答案为：； （2）解： 所以； 故答案为：； （3）解： ． 形中火柴棒的根数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）利用（2）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图形中火柴棒的根数为：； 第2个图形中火柴棒的根数为：； 第3个图形中火柴棒的根数为：； …， 所以第n个图形中火柴棒的根数为根． 当时，． 当时，． 故答案为：17，21； （2）解：由（1）知， 第n个图形中火柴棒的根数为根． 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当时， （根）， 即第2024个图形中火柴棒的根数为8097根． 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）某学习小组用火柴棒摆出下列图形，并制作出下列表格，请你参与共同完成研究： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 a b (1)_________，_________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_________；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 【答案】(1)17，21 (2) (3)8097 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式． （1）根据所给图形，依次求出图 地 城 考点05 累加型 一、填空题 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知，，， ，... ，根据前面各式的规律可猜测 . 【答案】 ；7500. 【分析】由所给式子可知，从1开始的几个连续奇数的和等于这几个连续奇数个数的平方，据此解答即可. 【详解】∵，，， ∴， ∴ =- =7500. 故答案为 ；7500. 【点睛】】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 2．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则 ．（用含有S的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查数的运算规律，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 通过观察给定的等式，得出规律：，然后将所求的和表示为从 到 的和与从 到 的和的差，利用规律代入计算． 【详解】解：根据规律， ， ， ∴， 已知 ，且 ， ∴原式． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建三明·期末）观察下列等式，探究其中的规律并解答问题： （1）第4个等式中，k= ； （2）写出第5个等式： ； （3）写出第n个等式： （其中n为正整数） 【答案】 7 【分析】（1）观察数字规律，即可得出k； （2）根据总结出的规律，即可列出第5个等式； （3）根据总结出的规律，即可列出第n个等式. 【详解】（1）根据题意，观察每个等式，得出规律，每个等式的结果是从1开始的奇数的平方，故 得；故答案为7； （2）根据规律，得出第5个等式是：；故答案为； （3）第n个等式为：，故答案为. 地 城 考点06 杨辉三角型 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建莆田·期末）为非负整数当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如下的图： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（    ） A．32 B．64 C．128 D．216 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意得出展开式中各项系数的和为是解题的关键．根据题意，依次求出展开式中各项系数的和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， 展开式中各项系数的和为； 展开式中各项系数的和为； 展开式中各项系数的和为； …， 所以展开式中各项系数的和为； ∴当时，展开式中所有项系数的和为； 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为 （    ） A．324 B．243 C．81 D．285 【答案】B 【分析】本题考查数字变化类规律问题，解题的关键是观察图形，找到图②和图③的关系．观察图②和图③的关系，类比可得答案． 【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0， ∴前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为（个）， 同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为（个）， 前32行中“1”的个数是前16行中“1“的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为（个）， 故答案为：243． 故选：B 2、 填空题 3．（24-25七年级上·福建漳州·期末）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形和数字类的规律探究，求代数式的值，正确发现规律是解题的关键． 根据前几个数字的变化得到，计算出，，进而代入计算即可． 【详解】解：因为，，，，···， 所以， 故， ， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25七年级上·福建南平·期末）杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作．“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ (1)横着观察，李涵发现了这样的规律． 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排：（ ）＝（ ）＝（ ）． …… 第n排，所有数的和是（ ）个2相乘的积． (2)张明也在积极探索规律，他有了新的发现． 第三排： 第四排： 第五排： 照这样的规律，张明认为第六排的算式的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”．这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法． 【答案】(1)；16；； (2)由于十进制计数法的进位以及估算可知，第六排的积是六位数161051而不是八位数15101051 【分析】本题考查数字规律探究，解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 （1）观察前几排数字和： 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为． 通过观察可以发现，第n排所有数的和是个2相乘的积．因为从第二排开始，数字和依次是，，，⋯，指数比排数少1．可以发现规律：第n排所有数的和是个2相乘的积． （2）从第三排到第五排，我们看到杨辉三角中的数与11的连乘有这样的对应关系： 第三排： ； 第四排： ； 第五排： ． 按照前面的规律，第六排对应的式子是 ，从杨辉三角看第六排数字是1、5、10、10、5、1 ． 估算方面：11接近10 ， ，是六位数 ，所以的结果应该是六位数． 十进制计数法方面：在杨辉三角中，这些数字相加时，因为满十要进一 ．像第六排的10，在计算时会产生进位．比如个位相加满十向十位进一，十位相加满十向百位进一等等 ，所以实际结果不是简单按照数字排列得到八位数15101051 ，而是六位数161051 ． 【详解】（1）解：第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为． 通过观察可以发现，第n排所有数的和是个2相乘的积． （2）解：第六排杨辉三角中的数字包含10和15等超过9的数，十进制中需向高位进位，导致位数合并。例如：1，5，10，10，5，1中，10变为0并向前进1，最终形成161051（六位数）。 因此，实际结果与预期不符是由于进位导致位数减少。 所以第六排的积是六位数161051而不是八位数15101051． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据题意和图形解答即可； （）由图形可求出第二行、第三行的数字之和，进而求出第四行、第五行的数字之和，从而找到规律，即可得到第行的数字之和； （）设前行所有的数字之和为，可得，，用即可求解； 本题考查了数字类变化规律，有理数的加法和乘方运算，整式的加减，解题的关键是观察图形的变化，找到数字的变化规律． 【详解】（1）解：由题意得，图中第行第个数是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第二行的数字之和是，第三行的数字之和， ∵第二行的数字之和是， 第三行的数字之和是， 第四行的数字之和是， 第五行的数字之和是， ， ∴第行的数字之和， 故答案为：，，； （3）解：设前行所有的数字之和为， 则， ∴ 得， ， 即， ∴图中前行所有的数字之和为． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $